毋曉迪, 韋雙愛, 韋柳伶

(廣西民族大學(xué)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院,廣西 南寧 530006)

0 引言

教學(xué)的有效性根植于邏輯性[1].數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實與關(guān)鍵能力的發(fā)展需要教師根據(jù)教學(xué)的邏輯設(shè)計學(xué)習(xí)活動,引導(dǎo)學(xué)生在自主探究中主動生成.由于知識之間存在著具有相同邏輯形式的不同表達,有教師基于教材中知識呈現(xiàn)的布局進行教學(xué)準(zhǔn)備,也有教師根據(jù)自身的把握和理解對教材融合重組,展現(xiàn)出豐富多彩的設(shè)計文本.而一個好的教學(xué)設(shè)計需要關(guān)注數(shù)學(xué)知識的學(xué)科邏輯、關(guān)注學(xué)生的認知邏輯,更應(yīng)該落腳于教的邏輯[2].

點到直線的距離是解析幾何中常見的問題,是點到直線上所有點的距離的最小值,是刻畫幾何學(xué)中相關(guān)位置關(guān)系的重要幾何量.對“點到直線距離公式”內(nèi)涵的深入理解,有助于明確公式中字母的本質(zhì).2003年人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(必修2)采用面積法得出點到直線的距離公式,2019年人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(選擇性必修第一冊)(以下統(tǒng)稱“新教材”)采取定義法,把兩直線的交點坐標(biāo)求出來,利用兩點間的距離公式化簡而得,這兩種推導(dǎo)方法均是基于學(xué)生認知邏輯編寫的,體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位.由于學(xué)生心理認知具有階段性,即使再完整的知識結(jié)構(gòu)體系也會被分割,這樣對學(xué)生系統(tǒng)化學(xué)習(xí)會產(chǎn)生不利影響.例如,用定義法推導(dǎo)公式的過程中,求交點的坐標(biāo)以及代入兩點間距離公式后化簡過程是阻礙學(xué)生順利推導(dǎo)出公式的絆腳石.

另外,新教材中的另一種推導(dǎo)方法——向量投影法,對學(xué)生的要求較高,缺少腳手架式的知識銜接與過渡,多數(shù)學(xué)生很難達到理解并掌握的層面要求,最終演變成教師“一言堂”的教學(xué)模式,學(xué)生對公式的理解就停留在以記憶為主的淺層學(xué)習(xí)上.鑒于此,以順應(yīng)學(xué)生的認知規(guī)律為出發(fā)點,有必要對當(dāng)前教材中編排的內(nèi)容主線進行適度重組,重構(gòu)教學(xué)邏輯.

1 重構(gòu)導(dǎo)入情境,旨在激發(fā)促學(xué),追溯問題本源

新教材直接設(shè)置問題情境:如何求點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離?該問題涉及的字母較多,問題較為抽象.雖然多數(shù)學(xué)生有事先預(yù)習(xí)的行為,但是教材中采取定義法求距離,思路自然,而運算量較大,學(xué)生難以選取化簡方法,容易出現(xiàn)計算失誤等情況.如果一堂課的開始就出現(xiàn)思維阻塞,那么不僅無法有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望,也不能打消學(xué)生的畏難心理.

為了有效突破思維壁壘,從方法論視角突出“點到直線距離公式”的本質(zhì),有必要對當(dāng)前的導(dǎo)入情境進行重構(gòu).首先,簡單溫故平面內(nèi)兩點間距離公式:已知點A(x1,y1),B(x2,y2),則

其推導(dǎo)過程是通過構(gòu)造直角三角形,借助勾股定理得出公式.其次,順勢設(shè)置問題1:已知點C(2,4)和直線l:2x+y-2=0,設(shè)點D(x,y)是直線l上的任一點,則

請學(xué)生思考:|CD|的最小值是多少?此時點D在什么位置?

經(jīng)過討論,學(xué)生解決問題的思路有:

2)從已有的認知經(jīng)驗出發(fā),分析出點到直線的距離就是過該點的垂線段長度,只需要求出垂足坐標(biāo),根據(jù)兩點間距離公式即可求出;

3)構(gòu)造直角三角形,利用面積相等,求出斜邊上的高,即為所求最小值(如圖1所示);

圖1

由求點到直線距離的實例重構(gòu)導(dǎo)入情境,可以幫助學(xué)生降低思維認知負荷,在思考問題中發(fā)散思維,從多種方法中體悟求點到直線距離的核心本質(zhì).引導(dǎo)學(xué)生順著“求距離、作垂直、析關(guān)系、構(gòu)圖形、巧運算”的認知邏輯,構(gòu)建求點到直線距離公式的認知網(wǎng)絡(luò).

關(guān)于點到直線距離公式的得出,關(guān)注不同學(xué)生的知識表征方式,從具體實例感受求點到直線距離有不同的求解方法,為解決點P(x0,y0)到一般直線l:Ax+By+C=0的距離問題起鋪墊作用.這樣有助于合理消除公式推導(dǎo)中多字母混淆造成的思維抽象性與運算復(fù)雜性所引發(fā)的認知難度,彰顯“促學(xué)”意義,對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)具有促進意義.

2 重構(gòu)內(nèi)容順序,優(yōu)化教學(xué)路徑,發(fā)展思維品質(zhì)

學(xué)科教學(xué)的高效開展離不開三大邏輯,即學(xué)科邏輯、教的邏輯和學(xué)的邏輯.三大邏輯對標(biāo)回答整個“教與學(xué)”的三大問題:為什么要教這個內(nèi)容?為什么要這么教?為什么要這么學(xué)?因此,三大邏輯之間是相互關(guān)聯(lián)的,具體聯(lián)系可用圖2表示.

圖2

實際上,知識的學(xué)習(xí)需要遵循思維的秩序與規(guī)律,教學(xué)設(shè)計的過程是需要教師厘清教的邏輯的過程.而新知識的學(xué)習(xí)離不開舊知識的積累與鋪墊,這就要求教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)順序適配教的邏輯,目的是轉(zhuǎn)識(學(xué)科知識)成智(學(xué)生的個體經(jīng)驗).

從定性到定量重構(gòu)公式推導(dǎo)思路,符合知識的發(fā)展順序,也更貼合學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律.一方面,有助于學(xué)生捕捉關(guān)鍵信息,訓(xùn)練思維的靈活性,進而增加具身體驗;另一方面,有助于自主建構(gòu)新舊知識之間的邏輯關(guān)聯(lián),提升思維的深刻性和廣闊性.

3 重構(gòu)學(xué)生認知,變知識為能力,達成意義建構(gòu)

知識的掌握與運用的過程,往往以能力的增長為落腳點.數(shù)學(xué)教學(xué)必須寓能力的發(fā)展于知識傳授過程中,然而知識的傳授需要著眼于能力的培養(yǎng).而聯(lián)系數(shù)學(xué)知識與能力有3個不可或缺的要素,它們分別是知識結(jié)構(gòu)、思想方法和基本技能.上述3個要素使教學(xué)與學(xué)習(xí)活動變得更加有序,在此基礎(chǔ)上,通過應(yīng)用達到變通和遷移,進而促使能力得以形成和發(fā)展,變知識為能力,其過程如圖3所示.

圖3

圖3中最上面的長箭頭,表示數(shù)學(xué)知識可以直接轉(zhuǎn)化為能力,這是由數(shù)學(xué)知識自身獨有的價值所決定的.數(shù)學(xué)知識中蘊涵著豐富的思想方法,即便教師單純傳授知識,學(xué)生的能力也會獲得發(fā)展.但這種知識向能力直接轉(zhuǎn)化的途徑是被動盲目的,以新課程改革理念為教學(xué)立足點,發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)不能依賴于該教學(xué)路徑.圖3最下面的長箭頭則表明能力對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的決定作用.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識需要一定的能力作為基本保障,能力提升了,掌握知識的速度就會加快,習(xí)得的知識數(shù)量就會增多.

鑒于此,教師要把學(xué)生已有的知識儲備和認知基礎(chǔ)作為課堂教學(xué)的抓手,把握好教學(xué)時機,鋪設(shè)符合學(xué)生認知邏輯發(fā)展的教學(xué)思路.而學(xué)生嫻熟的基本活動經(jīng)驗?zāi)芴嵘轮墨@取效率.因此,教師要關(guān)注學(xué)生最先容易接受的問題解決思路,繼而逐階鋪墊問題,帶動學(xué)生思維拾級而上.

以學(xué)生對問題1的多視角解答思路為思維生長點重構(gòu)邏輯認知.為了避免學(xué)生思維定勢,以學(xué)生初中階段所熟知的直線方程y=kx+b為切入點,以直線斜率為問題起點,同時以學(xué)生熟悉的三角形相似知識為突破口,同化新知識,引起順應(yīng)過程,進而解決點到直線的距離公式推導(dǎo)中的顯性與隱性問題.

4 重構(gòu)公式內(nèi)涵,明確字母本質(zhì),助推思維進階

數(shù)學(xué)公式是用符號表示數(shù)學(xué)量之間關(guān)系的一種表達方式,是數(shù)學(xué)概念或者特有規(guī)律的簡潔反映.若學(xué)生只簡單記憶公式的具體表征,不能厘清公式中每個字母(或符號)的本質(zhì)含義,則容易養(yǎng)成“知其然”而“不知其所以然”的死記硬背的學(xué)習(xí)狀態(tài).

進一步思考,探索系數(shù)A,B,C的幾何意義,可以借助新教材第67頁習(xí)題第11題的結(jié)論:設(shè)點P(x0,y0)在直線Ax+By+C=0上,這條直線的方程還可以寫成A(x-x0)+B(y-y0)=0,實現(xiàn)對直線法向量法的認知.

本節(jié)課的教學(xué),不論采取何種方法推導(dǎo)點到直線的距離公式,最終都能得到公式

圖4

而點P(x0,y0),則

由直線l的法向量為n=(A,B),知

若設(shè)點Q(x1,y1)是直線l上的任意一點,則

Ax1+By1+C=0.

通過挖掘點到直線距離公式的內(nèi)涵,揭示公式中字母的本質(zhì),厘清數(shù)學(xué)知識的生成和發(fā)展路徑,豐富學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本活動經(jīng)驗,教會學(xué)生挖掘公式背后所蘊含的邏輯、思想、方法和思維,創(chuàng)造“理解為本”的學(xué)習(xí)體驗,引導(dǎo)學(xué)生思維結(jié)構(gòu)、思維品質(zhì)、思維方式和思維技巧向高層次進階,形成系統(tǒng)的思維培養(yǎng)方法.

5 結(jié)語

教材作為知識的載體,需要教師根據(jù)實際情況靈活處理,構(gòu)思具有可探究性和操作性的教學(xué)素材,規(guī)劃好教學(xué)流程.根據(jù)教學(xué)目標(biāo)預(yù)設(shè)學(xué)習(xí)“探究點”,在思維碰撞中發(fā)展思維能力,實現(xiàn)關(guān)鍵問題逐層突破.另外,教學(xué)應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生建立良好的知識結(jié)構(gòu),并發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng),若教材中的內(nèi)容不能有效地幫助學(xué)生實現(xiàn)從實際發(fā)展水平自然過渡到潛在發(fā)展水平,則教師要著眼于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”,敢于重構(gòu)、重組教材,嘗試對教材實施二次加工,設(shè)置問題情境,串聯(lián)起“思維斷層帶”,優(yōu)化教學(xué)流程,豐富思維度,促成思維延伸.教師從“獨自演奏”逐步向“協(xié)助伴奏”演變,實施從“預(yù)設(shè)建構(gòu)”到“動態(tài)生成”的教學(xué)轉(zhuǎn)變,學(xué)生的學(xué)習(xí)才能實現(xiàn)由低階思維的被動學(xué)習(xí)向高階思維的主動學(xué)習(xí)拾級邁進.