趙 博

(山西大學附屬中學,山西 太原 030006)

同課異構是一種“直觀”的教學研究方式.2022年11月,筆者參加了一次這樣的活動,課題是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》(必修第一冊)第4.5.1節(jié)“函數(shù)的零點與方程的解”,分別由3位教師執(zhí)教.

這是一節(jié)兼有概念與定理的課型.該課型的教學定位是在概念定理發(fā)生發(fā)展過程中,把概念定理的抽象理論轉(zhuǎn)化為學生能接受的具體知識,通過知識的演練進一步揭示它的本來面目.通過初中階段和高中階段前4章的學習,學生能運用列表、描點、連線畫函數(shù)圖象,知道了一些基本初等函數(shù)的圖象,有一定的看圖識圖能力.因此,教學的思路是突出函數(shù)的核心地位,通過大量的函數(shù)圖形,讓學生觀察,進而提煉概念,歸納定理.

根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》建議的教學目標及教材的教學內(nèi)容,本節(jié)課的學習內(nèi)容依次為:建立“函數(shù)零點”的概念;理解3個“等價關系”;學習一個定理(零點存在定理)并體會方程與函數(shù)的聯(lián)系,感悟“函數(shù)方程思想與數(shù)形結合思想”[1].在教學的實施中,3位教師呈現(xiàn)了不同的教材處理方式和教學理念.現(xiàn)把3節(jié)課的教學設計精彩之處記錄下來,與廣大讀者分享和交流.

1 重視節(jié)引言的先行組織者作用

本節(jié)課是第4章的應用課,這節(jié)課的引入是承上啟下,因此教師首先回顧之前的知識,讓學生明確本章的任務.

下面是教師A的教學片段.

師:前面,我們已經(jīng)掌握了函數(shù)的定義及研究的基本方法,并以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)這3個初等函數(shù)為例,從定義、圖象和性質(zhì)這3個角度展開分析,初步熟悉了研究的基本方法.這節(jié)課,我們開始學習第4.5節(jié)“函數(shù)的應用(二)”．這一節(jié)我們將要學習什么內(nèi)容呢?那就是以函數(shù)的思想為統(tǒng)領,研究如何用函數(shù)這一工具解方程,學會如何建立合適的函數(shù)模型,解決日常生活中的一些實際問題．怎樣用函數(shù)建立數(shù)學模型呢?這是我們在后續(xù)要研究的內(nèi)容.今天我們研究函數(shù)的應用之一——解方程.解方程我們很熟悉,為什么要研究利用函數(shù)解方程?如何利用函數(shù)來求方程的根?體現(xiàn)了函數(shù)與方程之間怎樣的聯(lián)系呢?我們將逐一去探索.

評注以上引入說明了本節(jié)課的整體結構,讓學生對新的一課有一個全局的把握,并指出本節(jié)課要用到的數(shù)學思想方法,讓學生在全局觀念下去逐一學習,增強了學生學習的針對性.

2 創(chuàng)設合理情境導入,激活學生的思維

教材的編寫是在回憶初中階段已經(jīng)學習過二次函數(shù)的圖象與一元二次方程關系的基礎上引入函數(shù)零點的概念.3位教師上課的班級是普通班,學生對二次函數(shù)方面的基礎知識掌握不夠牢固,在教學中如何處理、如何呈現(xiàn)才能揚長避短,從而降低學習新知識的門檻呢?3位教師對教材內(nèi)容作了合理的改編,以所教學生現(xiàn)有的知識為出發(fā)點,結合學生的實際情況對教材內(nèi)容進行重組,從復習回顧初中的知識入手,即一元一次方程與一次函數(shù)圖象的關系,逐步得到函數(shù)零點的概念.

下面是教師B的教學片段.

師:我們來看這樣一個問題,如圖1所示的函數(shù)關系式為y=-x+2,這個式子表示什么?

生1:從代數(shù)角度看是一次函數(shù),從幾何角度看是一條直線.

師:將上式改寫成x+y-2=0后呢?

生2:變?yōu)榈仁剑袃蓚€未知數(shù),就成為二元一次方程．

師(出示PPT):回答準確．請同學們看如下對應關系:函數(shù)(一次函數(shù))——圖象(一條直線)——方程(二元一次方程).

師:對于y=-x+2,令y=0,得-x+2=0,則x=2．這里的2與上式有何關系?

生3:從代數(shù)角度來看,2是方程-x+2=0的根;從幾何直觀分析,2是函數(shù)y=-x+2的圖象與x軸交點的橫坐標．

師:若令函數(shù)值為0,則(2,0)是函數(shù)y=-x+2的圖象與x軸的交點,2就是相應函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標,此時把2稱為函數(shù)的零點．這節(jié)課,我們就來探討這個問題．

評注教材編寫的內(nèi)容是問題生成的一種方式,是否適合所有的學生,這就需要授課教師選擇適合學生的授課方式和內(nèi)容.教師B的授課從初中的舊知識出發(fā),引出了新知識,讓學生回憶的問題恰好是函數(shù)零點概念的本質(zhì),并且由易到難,逐步深入,與學生的認知規(guī)律相符.

3 分析等價關系,揭示利用函數(shù)解方程的本質(zhì)

方程f(x)=0有實根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y=f(x)有零點.這3個等價關系是利用函數(shù)解方程的本質(zhì)所在,是溝通數(shù)與形的橋梁．函數(shù)y=f(x)的零點就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標,在數(shù)值上等于方程f(x)=0的根[2]．這里要強調(diào)從數(shù)值上看,它們是等價的.于是給出了解方程的新天地:當方程的解容易求得時,就用代數(shù)方法;當方程的解不易求得時,轉(zhuǎn)化為該方程相應的函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標,由形求數(shù),體現(xiàn)數(shù)形結合思想.

下面是教師C的教學片段.

師:對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.那么函數(shù)f(x)=x2-3x-1,f(x)=x2-2x+1,f(x)=x2-2x+4的零點分別是什么?

生5:函數(shù)f(x)=x2-2x+1的零點是1.

生6:函數(shù)f(x)=x2-2x+4沒有零點.

師:那么,零點是不是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點呢?

(學生討論、思考.)

生7:零點不是y=f(x)的圖象與x軸的交點,而是y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標,也是方程f(x)=0的根.

師:那么函數(shù)y=f(x)的零點、方程f(x)=0的根以及函數(shù)y=f(x)的圖象之間有怎樣的聯(lián)系呢?

教師C引導學生思考并幫助學生分析得到:函數(shù)y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的根,即函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標,亦即方程f(x)=0有實根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)有零點.

評注教師C從零點定義出發(fā),找出具體函數(shù)的零點,通過找到的零點,是數(shù)而不是點,進一步引導學生發(fā)現(xiàn)圖象與x軸交點的橫坐標就是零點.一環(huán)套一環(huán),幫助學生分析得到零點的意義,讓學生體會利用函數(shù)解方程的本質(zhì)所在,也為零點存在定理鋪平了道路.

4 豐富典型例證,促進學生探索發(fā)現(xiàn)

探索發(fā)現(xiàn)零點存在定理是本節(jié)課的一個難點.為此首先設置具體問題,接著給出大量圖示,引導學生從不同角度審視,獲得猜想.

下面是教師A的教學片段.

練習1求下列函數(shù)的零點:

1)f(x)=2x+4;

2)f(x)=x2+x-2.

師:若把第2)小題中的2換成3,則函數(shù)f(x)=x2+x-3是否有零點?大家有什么辦法解決這個問題?

生8:利用一元二次方程根的判別式定理進行判斷.

生9:解方程x2+x-3=0,求出方程的兩個根x1,x2.

生10:利用列表、描點、連線畫出函數(shù)的圖象,觀察圖象.

師:同學們想出多種方法解決這個問題,都是正確的.現(xiàn)在若把第2)小題中的x2換成3x,則得函數(shù)f(x)=3x+x-3是否有零點?

師:用大家之前想到的方法能給出方程3x+x-3=0的解嗎?

(全體學生陷入了思考.)

師:前面我們找到了“3個等價關系”,這是方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)的工具,能否作為解決問題的辦法?

生12:作出函數(shù)圖象.

(學生小組討論.)

師:哪個小組有初步的研究結果?

生13:取6個值(如表1所示),在同一坐標系中描出當x=-1,0,…時相應的點觀察發(fā)現(xiàn),函數(shù)與x軸有交點,根據(jù)等價關系,這就是函數(shù)的零點.還能發(fā)現(xiàn)零點所在的區(qū)間.

表1 y=3x+x-3的取值

師:用幾何畫板軟件畫出函數(shù)圖象驗證,如圖2所示為函數(shù)f(x)=3x+x-3的圖象.據(jù)此觀察可知:函數(shù)有一個零點,在區(qū)間(0,1)內(nèi)．

圖2

圖3

師:同學們的討論結果完全正確．這個有零點的區(qū)間,函數(shù)值具有怎樣的特征?

評注通過具體的問題,設計臺階式的問題,逐步讓學生體會定理的生成過程.本問題用代數(shù)的方法求出方程的實數(shù)根,就得到了函數(shù)的零點,讓學生體會零點與方程的關系[3].接下來利用數(shù)形結合的思想,引導學生用畫圖的方法,畫出函數(shù)y=f(x)的圖象,找到零點,這樣也可以解決問題.

練習2分析函數(shù)y=f(x)的圖象并回答問題,總結函數(shù)在一個區(qū)間內(nèi)有零點的條件是什么?

1)f(x1)f(x2)______0,在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)______(有或無)零點;

2)f(x2)f(x3)______0,在區(qū)間(x2,x3)內(nèi)______(有或無)零點;

3)f(x3)f(x4)______0,在區(qū)間(x3,x4)內(nèi)______(有或無)零點;

完成練習2,并得出結論.

生15:函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且兩端點函數(shù)值異號(f(a)>0且f(b)<0或f(a)<0且f(b)>0),則f(x)在(a,b)內(nèi)有零點．

于是可得零點存在定理:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有f(a)f(b)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點．

師:現(xiàn)在將定理中,兩端點函數(shù)值“異號”改成“同號”,即:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象連續(xù),且f(a)>0,f(b)>0(或f(a)<0,f(b)<0),則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)仍有零點嗎?

生16:不一定,因為根據(jù)現(xiàn)有條件,判斷不了函數(shù)圖象是否與x軸相交．

評注通過具體案例,教師C讓學生動手操作感知,并發(fā)動學生找例子來驗證;對于探尋定理的條件和結論,教師C通過設計逐層深入的問題,逐個擊破定理的關鍵點,最終學生自主地得到該定理.

5 通過辨析,深化對定理的理解

通過定理的應用,糾正錯誤思維,深刻理解定理的內(nèi)涵和外延.零點存在定理只解決了零點存在的充分性,且該命題不可逆,無法判定唯一性.利用學生現(xiàn)有的知識,可以采取糾錯法來訓練學生的思維.

下面是教師B的教學片段,通過判斷辨析達到深入學習知識的目的.

練習1

1)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m,n]上僅滿足f(m)<0且f(n)>0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(m,n)上存在零點嗎?(反例如圖4所示.)

圖4 圖5

2)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m,n]上僅滿足f(m)>0且f(n)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(m,n)上存在零點嗎?(反例如圖5所示.)

3)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m,n]上連續(xù)且滿足f(m)f(n)>0,那么函數(shù)y=f(x)區(qū)間(m,n)上一定沒有零點嗎?(反例如圖6所示.)

圖6 圖7

4)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[m,n]上連續(xù)且滿足f(m)f(n)<0,那么函數(shù)y=f(x)區(qū)間(m,n)上一定有且只有一個零點嗎?(反例如圖7所示.)

接下來的目標檢測又進一步強化了對定理的理解.目標檢測如下:

練習2

1)判斷下列說法正確與否:

①函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,則f(a)f(b)<0;

②函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,若f(a)f(b)>0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)無零點．

2)(教材習題)已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,且有如表2所示的對應關系,指出函數(shù)f(x)存在零點的區(qū)間?

表2 函數(shù)f(x)的對應關系

3)下列函數(shù)在相應區(qū)間內(nèi)是否存在零點?

①f(x)=4x-x2,其中x∈[-1,0];

②f(x)=-x3-x+3,其中x∈[1,2].

評注在思考這些辨析題目的過程中,學生結合舉出的反例,不斷糾錯,逐步建立完善的知識結構.典型習題的訓練解決了學生“上課聽得懂,作業(yè)不會做”的問題.

6 注重知識的前后聯(lián)系,從整體把握授課內(nèi)容

在教材整體的把握上,教師B和教師C的設計體現(xiàn)了“函數(shù)的零點與方程的解”這節(jié)內(nèi)容教材的設計意圖,那就是通過本節(jié)課的學習,為二分法求根做前期理論準備,使學生了解求方程根的“逐步逼近”的依據(jù).

下面是教師C的教學片段.

師:對于函數(shù)f(x)=3x+x-3,它的零點個數(shù)還可以怎么確定?

生17:在同一坐標系內(nèi)作函數(shù)y=3x與y=-x+3的圖象來確定.由圖8知,函數(shù)f(x)=3x+x-3有一個零點．

圖8

師:說說你的想法?

生18:函數(shù)y=3x與函數(shù)y=-x+3圖象交點的橫坐標,是方程3x+x-3=0的解,也就是函數(shù)f(x)=3x+x-3的零點．

師:從圖象上能看出這個零點所在的區(qū)間嗎?

生19:(0,1),(0.5,1),(0.7,0.8)等．

師:這種確定零點個數(shù)的方法,用到了函數(shù)圖象,這種數(shù)形結合思想,也是解決問題的方法之一.對于得到的零點所在區(qū)間,后續(xù)學習中將進一步研究:如何進一步縮小這個區(qū)間的范圍,如何求出這個零點的近似值?這些問題將在下次課中探討(為下節(jié)課學習“用二分法求方程的近似解”進行鋪墊).

評注教學設計就是體現(xiàn)教師引導學生逐步分析、理解知識的過程.教師C設計的結尾承上啟下,既讓學生學到了求函數(shù)零點的新方法,又為下一節(jié)課的教學內(nèi)容做鋪墊,引發(fā)學生的求知欲,讓學生期待數(shù)學的學習.