? 哈爾濱師范大學(xué) 李思琦

1 極化恒等式

1.1 代數(shù)形式

極化恒等式的代數(shù)形式為

推導(dǎo)過(guò)程:

(a+b)2=a2+2a·b+b2,

①

(a-b)2=a2-2a·b+b2,

②

①-②,得(a+b)2-(a-b)2=4a·b.

1.2 幾何意義

圖1

=AO2-OB2.

這樣,我們就可以把一組不共線的向量數(shù)量積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線平方差的四分之一;在三角形中,可以將其轉(zhuǎn)化為三角形中線長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)一半的平方差.

2 極化恒等式的應(yīng)用

解法一:坐標(biāo)法.

故選:B.

解法二:極化恒等式法.

圖2

評(píng)析:根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量數(shù)量積的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題,運(yùn)算量較大.本題可先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為同起點(diǎn)兩向量的數(shù)量積求最值,化動(dòng)為定,落點(diǎn)于初中幾何問(wèn)題,大大減少運(yùn)算量.

解法一:坐標(biāo)法.

解法二:極化恒等式法.

圖3

評(píng)析:三角形與向量的綜合題屬于高考經(jīng)典題,解決此類問(wèn)題的通法是坐標(biāo)法,直接、易想,但有時(shí)計(jì)算量較大.本題用坐標(biāo)法實(shí)現(xiàn)向量與代數(shù)的轉(zhuǎn)化,最終將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二元二次函數(shù)的最值問(wèn)題.而利用極化恒等式可以完美地把它轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題.

圖4

解法一:基底法.

解法二:極化恒等式法.

圖5

解法一:基底法.

解法二:極化恒等式法.

因?yàn)镕為定點(diǎn),E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn),所以EF的最小值為過(guò)點(diǎn)F作CD的垂線段FG的長(zhǎng).

評(píng)析:例3和例4分別為高考試卷中填空題和選擇題的壓軸題,難度較大.對(duì)于數(shù)量積的最值問(wèn)題,多數(shù)人在解題時(shí)會(huì)選擇利用坐標(biāo)法或者基底法分解向量,二者本質(zhì)上都是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值,過(guò)程繁冗且計(jì)算量較大,容易出錯(cuò).

例3、例4的解法對(duì)比,充分體現(xiàn)了極化恒等式在解決平面向量數(shù)量積最值問(wèn)題的精妙之處,在一些題目復(fù)雜難解、計(jì)算量大的情況下,有化繁為簡(jiǎn)、出奇制勝的作用.

坐標(biāo)法和基底法作為解決向量數(shù)量積最值問(wèn)題的常規(guī)方法雖然易想,但有時(shí)過(guò)于循規(guī)蹈矩導(dǎo)致運(yùn)算復(fù)雜,解題效率不高.而極化恒等式是解決同起點(diǎn)向量數(shù)量積問(wèn)題的強(qiáng)有力手段,完美展現(xiàn)向量與幾何之間的轉(zhuǎn)換,快速簡(jiǎn)化問(wèn)題.這充分體現(xiàn)了小題小做、小題巧做的思想,為讀者提供一種新的解題思路.

解題之道,貴在審時(shí)度勢(shì),因題擇宜.在實(shí)際求解向量數(shù)量積最值問(wèn)題時(shí),要根據(jù)題目條件和問(wèn)題表征,從數(shù)與形兩個(gè)角度分析問(wèn)題,選擇行之有效的解題方法和策略.