? 哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院 潘 婷

新課程改革不僅對教師的學(xué)術(shù)專業(yè)能力和授課技巧有了更高層次的要求,對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力相比以前也有了更高挑戰(zhàn).在新課程改革背景下,教師不僅要傳授學(xué)生知識(shí)和技能、更要培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、解決問題的能力以及嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的思維素質(zhì),尤其在數(shù)學(xué)學(xué)科中,日常要進(jìn)行大量且多種變式的數(shù)學(xué)練習(xí),以提高學(xué)生對眾多題型的系統(tǒng)把握程度,這將直接影響學(xué)生的解題水平.本文中將簡述在學(xué)習(xí)了基本初等函數(shù)中的冪指對函數(shù)后,如果遇到比較大小之類的問題,該如何系統(tǒng)地分析與解決.

1 理論背景

1.1 函數(shù)思想

函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界中變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)語言,反映了一個(gè)事物隨著另一個(gè)事物的變化而變化的規(guī)律.函數(shù)思想是指運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)去研究和分析有關(guān)問題中的數(shù)量關(guān)系,通過建立函數(shù)模型或者構(gòu)造輔助函數(shù),運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題,是探究變量變化規(guī)律的工具;同時(shí),函數(shù)思想也是客觀世界中事物運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互制約的普遍規(guī)律在數(shù)學(xué)中的反映,它的本質(zhì)是變量之間的對應(yīng).學(xué)習(xí)函數(shù)的同時(shí)要更注重函數(shù)思想的滲透[1].

1.2 冪指對函數(shù)的單調(diào)性

(1)冪函數(shù)y=xα的單調(diào)性

當(dāng)α>0時(shí),冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上單調(diào)遞增;

當(dāng)α<0時(shí),冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

(2)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的單調(diào)性

當(dāng)0

當(dāng)a>1時(shí),指數(shù)函數(shù)y=ax在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.

(3)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的單調(diào)性

當(dāng)0

當(dāng)a>1時(shí),對數(shù)函數(shù)y=logax在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

2 實(shí)踐應(yīng)用

2.1 利用函數(shù)的性質(zhì)

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>b>aD.b>c>a

2.2 找中間值

2.3 利用函數(shù)的圖象

A.c

C.b

解題分析:含有未知數(shù)的等式叫做方程,但題目中的方程我們解不出來,因此可借助函數(shù)的圖象求解.畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,如圖1,由圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)的大小,可知b

圖1

2.4 取特殊值

變式訓(xùn)練3已知a,b,c滿足a=log5(2b+3b),c=log3(5b-2b),則( ).

A.|a-c|≥|b-c|,|a-b|≥|b-c|

B.|a-c|≥|b-c|,|a-b|≤|b-c|

C.|a-c|≤|b-c|,|a-b|≥|b-c|

D.|a-c|≤|b-c|,|a-b|≤|b-c|

解題分析:由題目可知,a是b的函數(shù),c也是b的函數(shù).由函數(shù)三要素中的定義域,可知b>0.

當(dāng)b=1時(shí),a=1,c=1.

當(dāng)b=2時(shí),a=log513,c=log521,即c>b>a,于是|c-a|≥|c-b|,故排除選項(xiàng)C,D;

此題通過賦值法,簡單快捷地比較出來了大小.由此可知,在一些形式稍為繁雜的題目中,賦值法不失為一種好方法,值得一試.

2.5 合理構(gòu)造函數(shù)

A.b

C.c

圖2 函數(shù)的圖象

A.a

C.a

故選:B.

3 結(jié)論

通過對以上比較大小問題的不同變式訓(xùn)練的求解可以看出,函數(shù)思想是高考考查的重要數(shù)學(xué)思想之一,所以,掌握函數(shù)思想不僅有助于幫助學(xué)生找到解題思路,提高解題效率,積累解題經(jīng)驗(yàn),還能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S素質(zhì).因此,在鞏固學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的同時(shí),更應(yīng)該注重題目中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法,促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成[2].