? 廣州市從化區(qū)流溪中學(xué) 劉 容

1 聚焦高考試題,明晰教學(xué)方向

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說(shuō)明》明確指出:高考基本功能——服務(wù)選材;基礎(chǔ)教育對(duì)高考的現(xiàn)實(shí)要求——引導(dǎo)教學(xué).高考命題觀念從“基礎(chǔ)知識(shí)立意”“技能立意”向“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”過(guò)渡.2022年,教育部教育考試院命制了六套新高考數(shù)學(xué)試卷,包括全國(guó)甲卷文、理試卷,乙卷文、理試卷,以及新高考的Ⅰ、Ⅱ試卷(不分文理),六套考卷中有五套設(shè)制了開(kāi)放式問(wèn)題,按類(lèi)型分為:結(jié)果開(kāi)放、條件開(kāi)放、條件和結(jié)果均開(kāi)放(綜合開(kāi)放式).

考題溯源:人教A版選擇性必修第一冊(cè)第124頁(yè)練習(xí)4“雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±2x,虛軸長(zhǎng)為4,求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程”,弱化條件可變式為“雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±2x,求雙曲線(xiàn)的離心率”.此變式題仍是封閉題,再次弱化條件“漸近線(xiàn)”,抓住漸近線(xiàn)的特性,與雙曲線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn),即衍生出此高考題.

聚焦點(diǎn)2:(2022新高Ⅰ卷填空題第14題)寫(xiě)出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線(xiàn)方程______.

考題溯源:此題由人教A版選擇性必修第一冊(cè)第98頁(yè)練習(xí)1“已知圓C1:x2+y2=4,圓C2:x2+y2-8x-6y+16=0,判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系”演變而來(lái).教材中,關(guān)于圓與圓的位置關(guān)系的例習(xí)題,出現(xiàn)得較多的是求相交圓的公共弦問(wèn)題,對(duì)于相切問(wèn)題僅要求會(huì)判斷兩圓的位置關(guān)系即可,此考題是對(duì)相切知識(shí)點(diǎn)的補(bǔ)充考查.

聚焦點(diǎn)3:(2022全國(guó)乙卷文、理填空題第14題)過(guò)四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,-1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為_(kāi)_____.

考題溯源:此題源自人教A版選擇性必修第一冊(cè)第86頁(yè)例4“求過(guò)三點(diǎn)O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程,并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑”.

(1)求C的方程;

聚焦點(diǎn)3與聚集點(diǎn)4對(duì)應(yīng)的考題是現(xiàn)在比較流行的開(kāi)放題類(lèi)型,問(wèn)題的前提條件、處理方式和結(jié)果之間具有某種不明確的關(guān)聯(lián),從而使得問(wèn)題的基本條件、解題方法與結(jié)論都呈現(xiàn)出非常大的開(kāi)放性.因?yàn)閷W(xué)生思考問(wèn)題的視角和知識(shí)能力有所不同,解題的方式必然存在差異,方法多樣,得到的結(jié)論自然也不相同.此類(lèi)題目學(xué)生可以自由選擇個(gè)人比較喜歡的條件作答,賦予學(xué)生自主獨(dú)立探究問(wèn)題的余地,可以開(kāi)闊他們的思路,培養(yǎng)創(chuàng)新和遷移意識(shí).

2022年高考數(shù)學(xué)大看點(diǎn):創(chuàng)新試題類(lèi)型,進(jìn)一步提高試題的開(kāi)放性,指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用創(chuàng)新性、發(fā)散性思維分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.數(shù)學(xué)高考設(shè)置開(kāi)放性試題并不是為了減少對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念的考核,而是“以考促學(xué)”,指引學(xué)生注重訓(xùn)練思維的靈活性,充分把握知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵與外延,以及獲取并遷移信息的能力.“考向即方向”,2022年高考題為一線(xiàn)教師指出了一個(gè)教學(xué)新方向,即在教學(xué)中有效開(kāi)展開(kāi)放題教學(xué),為學(xué)生提供寬廣的想象、探究和創(chuàng)新空間,有效訓(xùn)練學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,開(kāi)發(fā)學(xué)生發(fā)散、創(chuàng)造性思考問(wèn)題的能力,進(jìn)而培養(yǎng)“終身學(xué)習(xí)的能力”.通過(guò)考題溯源,聚焦點(diǎn)1～3的考題都可以在教材例習(xí)題中找到源頭,契合“源于教材,高于教材”的高考命題思路,同時(shí)也讓我們認(rèn)識(shí)到教材例習(xí)題的價(jià)值.

2 挖掘教材例習(xí)題,引導(dǎo)編設(shè)開(kāi)放題

本文中主要思考如何引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘教材中的例題、習(xí)題,并將之改編為開(kāi)放性試題.通過(guò)利用身邊的題庫(kù)——教材,引導(dǎo)他們“回歸教材、關(guān)注教材”,充分發(fā)揮教材的應(yīng)用功能.

2.1 條件開(kāi)放,層出不窮

條件開(kāi)放性數(shù)學(xué)題的設(shè)計(jì)比較簡(jiǎn)單,可以把課本中的例題、習(xí)題的條件弱化一個(gè)甚至取消一個(gè),就能夠改編為一個(gè)有意義的條件開(kāi)放性問(wèn)題.

如,人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第158頁(yè)練習(xí)2:已知直線(xiàn)a,b與平面α,β,γ,能使α⊥β的充分條件是( ).

A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=a,b⊥a,b?β

C.a∥β,a∥αD.a∥α,a⊥β

解決條件開(kāi)放性問(wèn)題,實(shí)質(zhì)是探尋結(jié)論成立的充分條件.因而,此題只需把選擇題改成填空題“已知直線(xiàn)a,b與平面α,β,γ,寫(xiě)出一個(gè)能使α⊥β成立的條件______”,即可得到一道思考方向非常廣闊的條件開(kāi)放性試題.

再如,人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第54頁(yè)第22題可改編成:

從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在問(wèn)題中,使得三角形存在,并求b的值:

①(a+b)(sinA-sinB)=c(sinC-sinB);

此題三個(gè)供選擇的條件還可以有多種變化,開(kāi)放度非常大,但又不偏離教學(xué)內(nèi)容.因此,可以讓學(xué)生自己設(shè)計(jì),然后自己解決,或者同學(xué)之間交換解決彼此出具的問(wèn)題,這樣不僅可以促進(jìn)生生交流,讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的氛圍更加濃厚,還可以讓教材的習(xí)題變成取之不盡的題庫(kù).

2.2 結(jié)論開(kāi)放,百花齊放

教學(xué)時(shí),只要在幾個(gè)條件充足、結(jié)果明顯而簡(jiǎn)單的問(wèn)題中隱去結(jié)論,就可設(shè)置為結(jié)論多樣化的開(kāi)放性問(wèn)題.如,人教A版必修第一冊(cè)第214頁(yè)第15題“已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上周期為2的奇函數(shù),若f(0.5)=1,求f(1),f(3.5)的值”.學(xué)生利用周期和奇函數(shù)的定義不難得出f(1)=f(-1+2)=f(-1)=-f(1),即f(1)=0;f(3.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-1.解決此題還可以構(gòu)造符合已知條件的函數(shù)來(lái)求值,滿(mǎn)足定義在R上周期為2且f(0.5)=1的奇函數(shù)可以是f(x)=sin πx,由此得出f(1)=0,f(3.5)=-1,雖然作為解答題過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn),但這樣很容易引導(dǎo)學(xué)生將此題改編為“寫(xiě)出一個(gè)定義在R上周期為2的奇函數(shù)______”;再弱化條件“寫(xiě)出一個(gè)周期為2的奇函數(shù)______”.習(xí)題并不難,在教師指導(dǎo)學(xué)生編設(shè)的過(guò)程中,極易調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)生興趣,解決自己提出的問(wèn)題會(huì)更容易讓學(xué)生全身心投入到學(xué)習(xí)中.

這些由教材例題、習(xí)題改編的開(kāi)放題,容易被學(xué)生接納,每位學(xué)生都能根據(jù)個(gè)人的基礎(chǔ)收獲不同的成果,真正做到數(shù)學(xué)課堂,人人有所得,同時(shí)也讓學(xué)生逐步養(yǎng)成熱愛(ài)思考、熱衷創(chuàng)造的良好品質(zhì).

善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并大膽提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更關(guān)鍵.再如,學(xué)習(xí)了線(xiàn)面垂直的判定定理后,布置學(xué)生完成人教A版必修第二冊(cè)第163頁(yè)綜合運(yùn)用第14題:如圖1,在棱錐V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VB,AD=BD,你能判定CD⊥AB,以及AC=BC嗎?引導(dǎo)學(xué)生思考:(1)條件不變的情況下,是否還能得出其他結(jié)論?(2)能否弱化或刪除某條件,改成條件開(kāi)放題?(3)調(diào)換條件和結(jié)論的位置,命題是否仍然成立?

圖1

在教師的啟發(fā)下,學(xué)生編設(shè)了以下開(kāi)放題:

(1)如圖1,在棱錐V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VB,AD=BD,你能得出哪些結(jié)論?(從空間元素的位置關(guān)系、等量關(guān)系,以及空間角等方面進(jìn)行思考.)

(2)如圖1,在棱錐V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,你能增加一個(gè)條件,使得CD⊥AB嗎?

(3)如圖1,在棱錐V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,從下面三個(gè)條件①②③中選出兩個(gè)作為條件,證明另一個(gè)成立:①AC=BC;②AB⊥VD;③D是AB的中點(diǎn).

在課堂上指導(dǎo)學(xué)生編設(shè)開(kāi)放題,促使他們積極思考“條件能不能改變或弱化”“還能不能得出其他結(jié)論”“結(jié)論是否能推廣”“條件和結(jié)論之間是充分、必要還是充要關(guān)系”“還能不能探索出其他解法”等提升性問(wèn)題.這樣的方式可有效讓學(xué)生變“被動(dòng)式”學(xué)習(xí)為“主動(dòng)式”學(xué)習(xí),并幫助他們積極地創(chuàng)設(shè)新情景和問(wèn)題,在新情景與問(wèn)題中有效交流,進(jìn)而深化對(duì)知識(shí)的理解與掌握.

3 開(kāi)放教學(xué)過(guò)程,提升核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科的“六大”核心素養(yǎng)——數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提到,“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的”.新高考數(shù)學(xué)試卷中開(kāi)放題出現(xiàn)得越來(lái)越頻繁,我們也不難發(fā)現(xiàn),新教材習(xí)題中設(shè)置的開(kāi)放題所占比例也越來(lái)越大,因此要洞悉高考、教材的導(dǎo)向作用,順應(yīng)教育要求,加大開(kāi)放題教學(xué)的程度.開(kāi)放題教學(xué)可以設(shè)計(jì)在情境引入、新知識(shí)探究、知識(shí)應(yīng)用等各個(gè)環(huán)節(jié),但并不是每個(gè)環(huán)節(jié)都需要設(shè)計(jì)開(kāi)放題,有效設(shè)計(jì)即可.

如,學(xué)習(xí)人教A版必修第二冊(cè)第八章中“棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與體積”時(shí),結(jié)合教科書(shū)中只要求學(xué)生知道公式,“會(huì)算”即可,推遲對(duì)“會(huì)證”的要求,以及高中課程方案中描述的“學(xué)”,即“具有強(qiáng)烈的好奇心、積極的學(xué)習(xí)態(tài)度和濃厚的學(xué)習(xí)興趣”,教學(xué)時(shí)可以設(shè)計(jì)公式應(yīng)用型的開(kāi)放題組:構(gòu)造三個(gè)多面體,使它們的體積均為24;構(gòu)造三個(gè)棱長(zhǎng)相同的不同多面體,使它們的體積均為24;構(gòu)造三個(gè)棱長(zhǎng)相同的不同多面體,使它們的表面積都是24.題目難度不大,但結(jié)果的開(kāi)放程度較大,容易入手,極易激起學(xué)生的“好奇心”與解決問(wèn)題的“學(xué)習(xí)興趣”.在避免機(jī)械記憶公式的情況下,既能讓學(xué)生有效、熟練掌握公式,提高學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的積極性,又能有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和建模(幾何模型)素養(yǎng).

再如,人教A版必修第二冊(cè)中,探究直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)時(shí),以問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié):

問(wèn)題已知直線(xiàn)與平面垂直,則該直線(xiàn)與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線(xiàn)是什么位置關(guān)系?

師生活動(dòng):在一般觀念的引領(lǐng)下,先對(duì)已知直線(xiàn)與平面內(nèi)的直線(xiàn)具有的位置關(guān)系有個(gè)整體了解,然后再添加新的直線(xiàn)、平面進(jìn)行探究.

追問(wèn)1:在研究直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)時(shí),除了研究已有的線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系,還可進(jìn)行怎樣的研究?

師生共同探究,確定“加入新的直線(xiàn)或平面,尋找不變的性質(zhì)”.

追問(wèn)2:如果在線(xiàn)面垂直的前提下加入新的直線(xiàn)或平面,如,已知a⊥α,b?α,β是與α不重合的平面,a?β,你能得出哪些結(jié)論?

學(xué)生自主探究,相互交流,得出一些結(jié)論.然后每組選一名代表發(fā)言,學(xué)生共同對(duì)學(xué)生代表提出的結(jié)論進(jìn)行辨析并完善,錯(cuò)誤的舉出反例辯駁.學(xué)生提到了以下結(jié)論:

(1)若b∥a,則b⊥α;

(2)若b∥α,則b⊥a;

(3)若b⊥a,則b∥α;

(4)若b⊥α,則b∥a;

(5)若β∥α,則a⊥β.

此教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)置的追問(wèn)1和追問(wèn)2屬于開(kāi)放性問(wèn)題,環(huán)環(huán)相扣,讓學(xué)生經(jīng)歷了一系列線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面平行以及線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面垂直的性質(zhì)研究,從而逐步掌握怎樣有邏輯地思考問(wèn)題,分析問(wèn)題,發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題,逐步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直覺(jué)思考和邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).