? 福建省同安第一中學(xué) 范丹妮

1 引言

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)與研究,能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀(guān)想象等核心素養(yǎng),同時(shí)也向?qū)W生滲透方程與函數(shù)、化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想.縱觀(guān)近幾年的高考數(shù)學(xué)試題,壓軸題通常是考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù),而且含有參數(shù)的題型更是熱點(diǎn)[1],這類(lèi)問(wèn)題綜合性強(qiáng)、難度高,學(xué)生不易掌握.目前,解決含有參數(shù)問(wèn)題的常見(jiàn)方法主要有分類(lèi)討論法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等[2].根據(jù)筆者平時(shí)教學(xué)工作中的觀(guān)察發(fā)現(xiàn),學(xué)生對(duì)于含參數(shù)問(wèn)題的討論常常找不到分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn),無(wú)從下手,或者是分類(lèi)重復(fù)、缺漏,導(dǎo)致失分,故解這類(lèi)題時(shí)學(xué)生往往更喜歡選擇分離參數(shù)法,然而該法在解題中有時(shí)也會(huì)碰到一些問(wèn)題.本文旨在通過(guò)典型例題的對(duì)比解析,以期為學(xué)生在遇到相關(guān)的含參問(wèn)題時(shí)提供解題思路參考.

2 典例解析

例1已知函數(shù)f(x)=lnx+a(x-1)2(a∈R),當(dāng)x≥1時(shí),f(x)≥a(x2-1)-ex+e恒成立,求a的取值范圍.

解法1:分離參數(shù)法.

當(dāng)x≥1時(shí),f(x)≥a(x2-1)-ex+e恒成立,即x≥1時(shí),2a(x-1)≤lnx+ex-e恒成立.

①當(dāng)x=1時(shí),0≤0顯然成立.

對(duì)g(x)求導(dǎo),得

解法2:分類(lèi)討論法.

由題意得,當(dāng)x≥1時(shí),lnx+ex-2ax+2a-e≥0恒成立.

故h′(x)≥h′(1)=1+e-2a.

點(diǎn)評(píng):該方法條理清晰,分類(lèi)不重不漏,討論有理有據(jù),但實(shí)際情況是讓學(xué)生給出這樣的解答并不容易.對(duì)于高三第一輪復(fù)習(xí)中的學(xué)生來(lái)說(shuō),當(dāng)一次求導(dǎo)不能解決問(wèn)題,尚能想到二次求導(dǎo),而該題的難點(diǎn)在于求導(dǎo)之后對(duì)參數(shù)的分類(lèi)討論.

解法3:導(dǎo)數(shù)定義法.

由解法1可知g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

點(diǎn)評(píng):在解法1的基礎(chǔ)上分離參數(shù)后,具有導(dǎo)數(shù)定義式特征的函數(shù),如果最值點(diǎn)取不到,可以巧用導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義求出極限值.

例2(2017年全國(guó)卷Ⅱ)已知f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0.求a的值.

解法1:分離參數(shù)法+導(dǎo)數(shù)定義法.

f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).由題意,知f(x)=ax2-ax-xlnx≥0,即a(x-1)≥lnx.

②當(dāng)x=1時(shí),0≥0顯然成立.

令g(x)=x-1-xlnx,則g′(x)=1-lnx-1=-lnx.當(dāng)00,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.所以g(x)max=g(1)=0,故g(x)≤0恒成立,從而h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.然而x=1時(shí),h(x)的分母無(wú)意義.

綜上可知,a=1.

點(diǎn)評(píng):導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義在求解極限時(shí)具有獨(dú)特的不可替代的作用,給原本看似走到絕境的解答迎來(lái)了柳暗花明.有些問(wèn)題并非只能借助高等數(shù)學(xué)的洛必達(dá)法則.該解法巧妙地回歸了課本導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義,避開(kāi)了洛必達(dá)法則.實(shí)用性在于分離參數(shù)時(shí)若出現(xiàn)分母分子均為0的形式,我們又多了一條解決策略.

3 結(jié)語(yǔ)

學(xué)無(wú)止境,數(shù)學(xué)的世界更是充滿(mǎn)了無(wú)限的奧妙,關(guān)于利用導(dǎo)數(shù)定義解決含參問(wèn)題還有待深入研究.數(shù)學(xué)含參問(wèn)題變化多端,需要靈活多變地采取應(yīng)對(duì)策略,這就需要我們平時(shí)注重培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維,以及剖析關(guān)鍵問(wèn)題、靈活轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力,以便在遇到含參問(wèn)題時(shí)能更高效地解題.