陳旸

【摘要】方程是中小學(xué)數(shù)學(xué)中重要的解題工具，也是幫助小學(xué)生從算術(shù)思維向代數(shù)思維跨越的重要工具.因此，小學(xué)教師應(yīng)該重視培養(yǎng)學(xué)生的方程思想，進(jìn)行有效的中小銜接，為學(xué)生在中學(xué)階段用方程解決問題打下基礎(chǔ).筆者在對(duì)中小學(xué)方程教學(xué)進(jìn)行對(duì)比研究后提出了小學(xué)的方程教學(xué)可以從更高的定位來確定教學(xué)目標(biāo)，整合教學(xué)內(nèi)容，采取有效的教學(xué)策略，構(gòu)建起中小學(xué)方程教學(xué)的橋梁.

【關(guān)鍵詞】中小銜接；方程教學(xué)；教學(xué)策略

方程是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題時(shí)經(jīng)常用到的重要工具，不管是在小學(xué)還是初中的數(shù)學(xué)課程中都占有重要地位.小學(xué)生對(duì)于方程的學(xué)習(xí)主要停留在認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)易方程的階段，能夠列出方程解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生只知道什么樣的等式是方程，但是對(duì)方程的本質(zhì)、方程所體現(xiàn)出的代數(shù)思想及數(shù)學(xué)建模并沒有真正理解透徹.再加上小學(xué)階段固有的算術(shù)思維，學(xué)生還是習(xí)慣于列算式解決問題.到了初中階段，隨著代數(shù)成了學(xué)生學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，而且題目中的數(shù)量關(guān)系趨于復(fù)雜，學(xué)生對(duì)方程也會(huì)有重新的認(rèn)識(shí)，會(huì)更多地嘗試用方程去解決問題.這兩個(gè)學(xué)段對(duì)于方程的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)目標(biāo)都存在差異，這些差異會(huì)使學(xué)生從算術(shù)思維走向代數(shù)思維時(shí)存在著很多困難.因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師在中小銜接的過程中應(yīng)該打破小學(xué)數(shù)學(xué)方程教學(xué)的壁壘，站在更高的角度來看方程的教學(xué)，改進(jìn)教學(xué)方法，為學(xué)生平穩(wěn)過渡到初中階段打下扎實(shí)的基礎(chǔ).

一、抓住本質(zhì)，合理定位教學(xué)目標(biāo)

什么是方程？方程是描述生活中數(shù)量關(guān)系的基本數(shù)學(xué)模型.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中指出，方程的教學(xué)要從“數(shù)學(xué)建模”的角度開展.而在小學(xué)階段，以蘇教版教材為例，方程的概念和教材中方程的內(nèi)容，都與“數(shù)學(xué)建模”里模型的概念有所不同.小學(xué)階段對(duì)于方程的定義是“像x+50=150，2x=200這樣含有未知數(shù)的等式是方程”.這樣的定義其實(shí)只是一個(gè)描述性的定義，是對(duì)算式思維的一種補(bǔ)充，并未體現(xiàn)出方程的本質(zhì)特點(diǎn).教師在教學(xué)時(shí)，也會(huì)經(jīng)常把教學(xué)目標(biāo)定位為“了解什么樣的等式是方程”“掌握用方程解決問題的一般步驟是什么，學(xué)會(huì)用規(guī)范的書寫格式列方程解決問題”，等等.而且在小學(xué)階段，用方程解決的實(shí)際問題往往數(shù)量關(guān)系比較單一、分析起來比較簡(jiǎn)單，所以學(xué)生還是習(xí)慣于直接用算術(shù)的方法快速解決.有些小學(xué)生還認(rèn)為用方程解決問題的過程書寫更復(fù)雜，步驟也更多.所以在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生并沒有體會(huì)到用方程解決問題的優(yōu)勢(shì).其對(duì)方程的理解，也只是停留在簡(jiǎn)單的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上.對(duì)于方程的本質(zhì)，學(xué)生并沒有深刻的領(lǐng)會(huì).

從方程的本質(zhì)來看，學(xué)習(xí)方程的首要目標(biāo)應(yīng)該是充分體驗(yàn)“現(xiàn)實(shí)問題→抽象成數(shù)學(xué)（方程）模型→解決現(xiàn)實(shí)問題”這樣一個(gè)基本的數(shù)學(xué)化過程.從這個(gè)角度出發(fā)，教師在方程教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生充分意識(shí)到，做題時(shí)可以將問題中涉及的數(shù)量看成已知量，并在感受這些數(shù)量之間的關(guān)系后思考如何建立相等關(guān)系，再進(jìn)一步把這種相等關(guān)系抽象成符號(hào)語(yǔ)言———方程.只有通過這一過程，學(xué)生才能體會(huì)到方程的本質(zhì)是什么，感受到數(shù)學(xué)的建模思想，也能進(jìn)一步加強(qiáng)自身用方程解決問題的能力.

中學(xué)教材中對(duì)于方程的定義是“方程———表達(dá)數(shù)量之間相等關(guān)系的‘天平’，是解決實(shí)際問題的有效工具”.這樣的描述更側(cè)重于說明方程是反映實(shí)際生活中相等關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型，是一種數(shù)學(xué)思想，同時(shí)說明了方程的核心價(jià)值在于尋找未知量和已知量之間的聯(lián)系，從而建立起等量關(guān)系.但是從小學(xué)生的思維能力水平來看，他們還不具備獨(dú)立自主地從實(shí)際問題中抽象出方程模型的能力.所以方程的引入，只能是一種范例式的概念引入，而不是問題解決式的引入.這是小學(xué)階段方程教學(xué)和初中階段方程教學(xué)的本質(zhì)區(qū)別.但是在小學(xué)階段學(xué)生對(duì)方程有了初步的了解后，在教學(xué)中，尤其是在中小銜接時(shí)期的方程教學(xué)時(shí)，教師一定要認(rèn)清方程教學(xué)的本質(zhì)，從數(shù)量關(guān)系入手進(jìn)行方程的教學(xué)，選擇合適的教學(xué)方法.

二、分析教材，有效整合教學(xué)內(nèi)容

（一）刪繁就簡(jiǎn)，探尋單元間教學(xué)內(nèi)容整合

蘇教版教材在五年級(jí)上冊(cè)第八單元“用字母表示數(shù)”中其實(shí)已經(jīng)讓學(xué)生學(xué)會(huì)用字母來表示數(shù)量關(guān)系了，初步培養(yǎng)了學(xué)生的符號(hào)意識(shí).學(xué)生正式進(jìn)入方程的學(xué)習(xí)是在五年級(jí)下冊(cè)第一單元“簡(jiǎn)易方程”，教材中先是借助天平構(gòu)建方程的意義，然后給出等式的基本性質(zhì)，讓學(xué)生運(yùn)用等式的性質(zhì)解形如“x±b=c，ax=b，x÷b=c”這樣的基本方程，接著是在用方程解決實(shí)際問題的過程中練習(xí)形如“ax±b=c，（a±x）×b=c，ax±bx=c”這樣稍復(fù)雜方程的求解.教材將解方程和解決問題放在一起進(jìn)行教學(xué)，把算法和運(yùn)用相結(jié)合，一方面會(huì)使學(xué)生的學(xué)習(xí)難度增加，另一方面會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)既要嘗試分析題中的數(shù)量關(guān)系，又要關(guān)注解方程的方法習(xí)得，很可能會(huì)顧此失彼.

蘇教版教材中多以實(shí)際問題引入計(jì)算的教學(xué)，方程部分也是如此.這樣的編排有利于學(xué)生對(duì)算理的理解，也能讓學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)和現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.但是在方程這一部分的實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生除了要關(guān)注題中的數(shù)量關(guān)系，還需要學(xué)習(xí)求解稍復(fù)雜的方程，要求較高，學(xué)生往往不能二者兼顧.因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師可以嘗試對(duì)本單元的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合，如表1.

（二）更新視角，探尋學(xué)段間教學(xué)內(nèi)容整合

在小學(xué)教學(xué)中，學(xué)生習(xí)慣于用列算式的方法來解決問題.盡管已經(jīng)學(xué)習(xí)了方程，但是在實(shí)際解決問題時(shí)，方程思想并未在學(xué)生的解題過程中占據(jù)重要地位，這與初中階段方程的重要性形成了很大的對(duì)比.因此，在六年級(jí)中小銜接的過程中，教師如果有意識(shí)地在解決某些數(shù)量關(guān)系稍復(fù)雜的應(yīng)用題時(shí)，要求學(xué)生使用算術(shù)和方程這兩種不同的方法，進(jìn)而找出這兩種方法的不同，可使學(xué)生在對(duì)比中體會(huì)用方程解決實(shí)際問題在分析數(shù)量關(guān)系時(shí)的便捷性，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維升級(jí).通過多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與教學(xué)研究，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生在用方程的方法解決問題時(shí)的主要困難在于：從綜合性的算術(shù)思維到分析性的代數(shù)思維的心理轉(zhuǎn)換；從生活語(yǔ)言向形式化的符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換.所以在銜接過程中，教師要對(duì)小學(xué)階段應(yīng)用題的類型進(jìn)行歸類整理，并在教學(xué)時(shí)有意識(shí)地指導(dǎo)學(xué)生使用方程進(jìn)行求解，一方面對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行銜接，一方面為初中解決數(shù)量關(guān)系稍復(fù)雜的應(yīng)用題打下基礎(chǔ).因此在六年級(jí)的第二輪復(fù)習(xí)中，教師嘗試對(duì)方程的復(fù)習(xí)進(jìn)行了中小學(xué)段間的教學(xué)內(nèi)容整合，如表2.

三、滲透思想，采取有效的教學(xué)策略

在高年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，盡管教師會(huì)有意識(shí)地滲透方程思想來解決問題，但是實(shí)際上，學(xué)生對(duì)于方程的認(rèn)識(shí)還是僅僅停留在被動(dòng)的使用階段.如果沒有教師指向性的要求或引導(dǎo)，學(xué)生還是會(huì)首選列算式的方法來解決問題.因此，在明確了教學(xué)目標(biāo)、確定了教學(xué)內(nèi)容后，教師還要在教學(xué)策略上有所研究，用適合的教學(xué)方法滲透方程思想.

（一）正確看待“湊方程”，初步建立模型

在五年級(jí)初步接觸方程時(shí)，教師發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生列出的方程都擁有算式的本質(zhì)，只是披上了方程的“外衣”.比如用方程解決問題：學(xué)校學(xué)期初買了10個(gè)籃球和1個(gè)足球，共用去860元.已知每個(gè)足球60元，那么每個(gè)籃球多少元？（用方程解決）學(xué)生的方法是（860-60）÷10=x.從這里可以明顯看出學(xué)生使用的方法依舊是算術(shù)的方法，只不過題目要求用方程，便湊了一個(gè)“含有字母的等式”.對(duì)此，教師可以先給學(xué)生梳理用方程解決實(shí)際問題的一般步驟，再引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析等量關(guān)系、列出方程，并要求學(xué)生先根據(jù)題目的條件表述找等量關(guān)系，再根據(jù)關(guān)系列方程解決問題.學(xué)生在經(jīng)過指導(dǎo)后，再解決問題時(shí)明顯沒有了湊方程的痕跡，可以根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系列出思維方式最流暢的方程.

這也引發(fā)了教師的思考：學(xué)生為什么會(huì)“湊方程”呢？這可能是因?yàn)閷W(xué)生在用方程的方法解決問題的過程中，已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)給學(xué)生解題帶來很大的慣性，這種慣性也影響了學(xué)生對(duì)方程的掌握和運(yùn)用.只要遇到需要逆向解決的問題，學(xué)生就會(huì)根據(jù)題中已有的條件進(jìn)行逆向推理.因此，如果教師能夠給學(xué)生提供一個(gè)扭轉(zhuǎn)慣性思維的彈性空間，學(xué)生可能就會(huì)認(rèn)識(shí)到怎樣建構(gòu)方程才是有意義的.列方程的過程本質(zhì)上就是建構(gòu)模型的過程，模型可以幫助人們解決問題.在解決問題時(shí)，每道題中都會(huì)有數(shù)量關(guān)系，建立模型就是在建立等量關(guān)系.不同的人對(duì)于等量關(guān)系也會(huì)有不同的理解.比如，蘇教版五年級(jí)下冊(cè)教材中有一道例題，題中所提供的信息是“西安大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米”，這里包含了兩種方程層面的不同思路的等量關(guān)系：一種是“小雁塔的高度×2-22米=大雁塔的高度”，另一種是“小雁塔的高度×2-大雁塔的高度=22米”.學(xué)生如果沒有學(xué)習(xí)過方程，解決這個(gè)問題時(shí)基本上會(huì)想到“（大雁塔的高度+22米）÷2=小雁塔的高度”這種思路.由此可以看出，一道題可能會(huì)出現(xiàn)很多種數(shù)量關(guān)系，選擇哪一種數(shù)量關(guān)系是由不同的人所選取的不同思維方式?jīng)Q定的.教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)該尊重每名學(xué)生的思維方式，讓學(xué)生通過自己思維的轉(zhuǎn)變來接受新的學(xué)習(xí)要求.對(duì)于“湊方程”的做法，教師不僅不能回避，而且要讓學(xué)生主動(dòng)展示自己的方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更加深入的學(xué)習(xí)，并在這一過程中體會(huì)方程的思想方法.

因此，在六年級(jí)的第二輪整合復(fù)習(xí)中，教師也有意識(shí)地先對(duì)學(xué)生進(jìn)行了順逆問題的對(duì)比練習(xí)：

下面各組題你覺得哪一題適合用方程解答？

A1：全班有26人是男生，女生比男生少4人，全班有女生多少人？

A2：全班有26人是男生，比女生多4人，全班有女生多少人？

B1：一個(gè)足球上黑色皮都是五邊形的，白色皮都是六邊形的，黑色皮共有20塊，白色皮比黑色皮的2倍少4塊.足球上共有多少塊白色皮？

B2：一個(gè)足球上黑色皮都是五邊形的，白色皮都是六邊形的，白色皮共有20塊，比黑色皮的2倍少4塊.足球上共有多少塊黑色皮？

這樣順逆情境的實(shí)際問題對(duì)比可以讓學(xué)生充分感受到抓住合適的等量關(guān)系對(duì)于解決逆向問題的簡(jiǎn)單方便，從而形成尋找最本質(zhì)數(shù)量關(guān)系的思維習(xí)慣.

（二）進(jìn)行策略教學(xué)，掌握解題方法

學(xué)生在建立用方程解決問題的意識(shí)后，還應(yīng)該掌握正確運(yùn)用方程解決問題的方法.進(jìn)入初中后，應(yīng)用題不僅閱讀量大，而且涉及的知識(shí)內(nèi)容也很多，導(dǎo)致學(xué)生在列方程時(shí)出現(xiàn)困難.因此在六年級(jí)進(jìn)行中小銜接的復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)，教師就要進(jìn)行一些策略教學(xué)，讓學(xué)生掌握一些解題的方法，培養(yǎng)其列方程解決問題的能力.

應(yīng)用題包含三個(gè)部分———敘述部分、關(guān)系部分和問題部分.敘述部分是描述題目背景信息和已知數(shù)量的文字；關(guān)系部分是描述題中量與量之間的關(guān)系的文字；問題部分是描述題中需要求出的未知量的文字.列方程解決問題時(shí)，關(guān)鍵是梳理題中的數(shù)量關(guān)系，從而形成等量關(guān)系，列出方程.在對(duì)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行梳理的時(shí)候，解題者要注意的是要把題中所要求的未知量代入進(jìn)去，這樣才能有效地找到相等關(guān)系.

1.直譯法

當(dāng)題目中的數(shù)量關(guān)系非常清楚，特別是相等關(guān)系顯而易見時(shí)，比如題中的數(shù)量關(guān)系是用“是”“等于”“與……相等”之類的連接詞呈現(xiàn)的，那就可以直接把這樣的相等關(guān)系譯成等式.

例1 媽媽買了個(gè)數(shù)同樣多的蘋果和梨，一家人每天吃3個(gè)蘋果和2個(gè)梨.過了幾天，蘋果正好吃完，梨還有6個(gè).已經(jīng)吃了幾天？

教學(xué)時(shí)，教師可以先帶著學(xué)生分析題意，陳述部分：一家人每天吃3個(gè)蘋果和2個(gè)梨.過了幾天，蘋果正好吃完，梨還有6個(gè).

關(guān)系部分：媽媽買了個(gè)數(shù)同樣多的蘋果和梨.其中連接詞為“同樣多”.

提問部分：已經(jīng)吃了幾天？

如果設(shè)已經(jīng)吃了x天，那么蘋果的個(gè)數(shù)是3x個(gè)，梨的個(gè)數(shù)是2x+6個(gè).再依據(jù)關(guān)系部分的“同樣多”，可以把相等關(guān)系直譯成方程：

3x=2x+6，解得x=6.

答：已經(jīng)吃了6天.

2.扯平法

在一些應(yīng)用題中，數(shù)量之間的關(guān)系并不是直接的相等關(guān)系，看不到“是”“等于”“與……相等”這類的連接詞，而是“多”“少”這樣的連接詞.教師在教學(xué)時(shí)就要告訴學(xué)生要把“多”“少”的關(guān)系“扯平”，化為“相等”關(guān)系.具體的方法有：多-少=差；多-差=少；少+差=多.“扯平”的關(guān)鍵在于找出誰多、誰少，多多少、少多少.

例2 商店以每雙13元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批涼鞋，售價(jià)為14.8元，賣到還剩5雙時(shí)，除去購(gòu)進(jìn)這批鞋子所用的錢外還獲利88元.這批涼鞋共有多少雙？

教學(xué)時(shí)，教師還是要先帶學(xué)生分析題意，陳述部分：商店以每雙13元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批涼鞋，售價(jià)為14.8元.

關(guān)系部分：賣到還剩5雙時(shí)，除去購(gòu)進(jìn)這批鞋子所用的錢外還獲利88元.

提問部分：這批涼鞋共有多少雙？

需要扯平的數(shù)量關(guān)系：賣到還剩5雙時(shí)所獲得的錢和購(gòu)進(jìn)這批涼鞋所需要的錢.

多：賣到還剩5雙時(shí)，可以獲得a元.

少：購(gòu)進(jìn)這批涼鞋需要b元.

差：88元.

扯平為相等關(guān)系：a-b=88.

解：設(shè)這批涼鞋共有x雙.根據(jù)等量關(guān)系列出方程：

14.8（x-5）-13x=88，解得x=90.

答：這批涼鞋共有90雙.

結(jié) 語(yǔ)

不管是小學(xué)還是初中，實(shí)際問題的題型都千變?nèi)f化，教師在中小銜接的教學(xué)中，要告訴學(xué)生，不管題型如何變化，都要由已知量、未知量之間的數(shù)量關(guān)系尋找出等量關(guān)系從而建立方程，在解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)分析，把握問題的切入點(diǎn)，靈活運(yùn)用解題策略，這樣才能大大提高解題能力.

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