韓 偉, 王國(guó)師, 晏 凱, 宋亞偉

(空軍預(yù)警學(xué)院雷達(dá)士官學(xué)校, 湖北 武漢 430345)

0 引 言

由于技術(shù)體制的限制,機(jī)載預(yù)警雷達(dá)存在固有的多普勒盲區(qū)問(wèn)題[1-4]。在目標(biāo)跟蹤過(guò)程中,多普勒盲區(qū)造成的點(diǎn)跡連續(xù)丟失現(xiàn)象極易引起目標(biāo)航跡的中斷。因此,國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者致力于研究多普勒盲區(qū)條件下的目標(biāo)跟蹤問(wèn)題。該問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是將雷達(dá)多普勒盲區(qū)作為先驗(yàn)信息應(yīng)用到各類(lèi)跟蹤算法中。Gordon等[5]最早將該先驗(yàn)信息運(yùn)用到基于粒子濾波的目標(biāo)跟蹤算法中。在此基礎(chǔ)上,很多學(xué)者針對(duì)目標(biāo)不同的機(jī)動(dòng)場(chǎng)景提出了機(jī)動(dòng)模型下的改進(jìn)盲區(qū)粒子濾波算法[6-9]。Clark等[10-11]則將多普勒盲區(qū)先驗(yàn)信息并入高斯和濾波算法中,獲得了較好的地面動(dòng)目標(biāo)指示雷達(dá)對(duì)地面目標(biāo)的跟蹤性能。還有一些學(xué)者針對(duì)地面目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)特性,在多模型中增加“停止”狀態(tài)模型,解決其盲區(qū)跟蹤問(wèn)題[12-14]。文獻(xiàn)[15-17]則根據(jù)目標(biāo)多普勒盲區(qū)先驗(yàn)信息提出了多假設(shè)運(yùn)動(dòng)模型,解決了空中目標(biāo)的盲區(qū)跟蹤問(wèn)題。但以上研究均是在有雜波或無(wú)雜波的單目標(biāo)環(huán)境下開(kāi)展的,在多目標(biāo)雜波環(huán)境下并不適用。

針對(duì)多普勒盲區(qū)下的多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題已進(jìn)行了一些研究。第1類(lèi)方法是在隨機(jī)有限集框架下將多普勒盲區(qū)信息融入基于高斯混合的跟蹤算法中[17-18],獲得較好的多目標(biāo)跟蹤性能;第2類(lèi)方法是基于航跡-航跡關(guān)聯(lián)的思想,在目標(biāo)航跡已經(jīng)發(fā)生斷裂的情況下,研究斷裂前航跡與斷裂后航跡的關(guān)聯(lián)方法[19-21],但該類(lèi)方法需要在航跡形成較好的片段下才能有較好的性能;第3類(lèi)方法是基于邊跟蹤邊關(guān)聯(lián)的思想,研究多普勒盲區(qū)下的多目標(biāo)點(diǎn)跡-航跡數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)方法[22-24]。文獻(xiàn)[22-23]將分配算法應(yīng)用到點(diǎn)跡-航跡關(guān)聯(lián)中,且綜合考慮了多普勒盲區(qū)和目標(biāo)檢測(cè)概率小于1的兩類(lèi)測(cè)量值丟失的原因,但上述研究針對(duì)的是GMTI 雷達(dá)對(duì)地面目標(biāo)跟蹤的背景,不適用于空中目標(biāo)跟蹤。文獻(xiàn)[24]根據(jù)地面目標(biāo)和空中目標(biāo)進(jìn)入多普勒盲區(qū)的運(yùn)動(dòng)方式不同,研究了針對(duì)空中目標(biāo)的點(diǎn)跡-航跡關(guān)聯(lián)方法,借用文獻(xiàn)[22-23]算法中第2類(lèi)空量測(cè)的思想,進(jìn)行點(diǎn)跡-航跡的最優(yōu)二維分配。但二維分配僅利用了當(dāng)前幀的量測(cè)信息完成與前一幀目標(biāo)航跡的配對(duì),并未充分利用基于多幀量測(cè)的航跡演變信息。本文在二維分配算法的基礎(chǔ)上,提出了多普勒盲區(qū)條件下的基于多維分配算法的目標(biāo)點(diǎn)跡-航跡關(guān)聯(lián)方法,其思想為通過(guò)構(gòu)建并入兩類(lèi)空量測(cè)的多維分配的代價(jià)函數(shù),完成雷達(dá)當(dāng)前幀測(cè)量數(shù)據(jù)與多個(gè)舊時(shí)刻的目標(biāo)點(diǎn)跡、航跡的配對(duì),代價(jià)函數(shù)最小的配對(duì)即為最終的關(guān)聯(lián)結(jié)果。

1 多普勒盲區(qū)下的多維分配算法

1.1 候選測(cè)量值計(jì)算

為減小點(diǎn)跡-航跡二維分配計(jì)算量,充分運(yùn)用目標(biāo)的速度和位置限制進(jìn)行初步關(guān)聯(lián),篩選出候選測(cè)量值集合。

(1) 利用速度限制的關(guān)聯(lián)

根據(jù)目標(biāo)的最大速度,可以在k-1時(shí)刻狀態(tài)估計(jì)值的條件下預(yù)測(cè)k-1時(shí)刻的測(cè)量值范圍,經(jīng)過(guò)速度關(guān)聯(lián)的k時(shí)刻測(cè)量值集合可表示為

(1)

(2) 利用距離誤差的關(guān)聯(lián)

在極坐標(biāo)系下,假設(shè)位置測(cè)量誤差服從高斯分布,則經(jīng)過(guò)無(wú)偏轉(zhuǎn)換后,直角坐標(biāo)下的測(cè)量誤差近似服從高斯分布,故歸一化新息平方服從χ2分布,自由度為測(cè)量值的維數(shù)。航跡n在k時(shí)刻的新息表示如下:

(2)

經(jīng)過(guò)位置關(guān)聯(lián)的測(cè)量值集合可表示為

(3)

1.2 分配代價(jià)函數(shù)

1.2.1 二維分配算法的代價(jià)函數(shù)

測(cè)量值經(jīng)過(guò)篩選后,剔除了不可能參與關(guān)聯(lián)的點(diǎn)跡,使得點(diǎn)跡-航跡配對(duì)的數(shù)量大為減小。對(duì)于二維分配算法,如圖1所示,配對(duì)的對(duì)象為k-1時(shí)刻的目標(biāo)航跡和k時(shí)刻的目標(biāo)點(diǎn)跡(測(cè)量值)。左邊航跡集合中的標(biāo)號(hào)0為空航跡,用n=0表示,與該航跡關(guān)聯(lián)的測(cè)量值為虛警,右邊的測(cè)量值集合中的標(biāo)號(hào)0表示空測(cè)量值,表示雷達(dá)發(fā)生漏檢,無(wú)法獲取目標(biāo)的測(cè)量值。其中,由目標(biāo)檢測(cè)概率Pd<1造成的空測(cè)量值稱(chēng)為第1類(lèi)空量測(cè),由多普勒盲區(qū)引起的空測(cè)量值稱(chēng)為第2類(lèi)空量測(cè),分別用mk=01和mk=02表示。

圖1 點(diǎn)跡-航跡二維分配示意圖Fig.1 Schematic deagram of two-dimension assignment of plot-to-track

點(diǎn)跡-航跡二維分配目標(biāo)為全局代價(jià)函數(shù)最小,因此可等效為求解全局代價(jià)函數(shù)的最小值問(wèn)題[25],表示如下:

(4)

(5)

式中:a(k,n,mk)為二進(jìn)制分配變量;c(k,n,mk)為a(k,n,mk)的代價(jià);Nk-1為k-1時(shí)刻航跡的數(shù)量;Mk為k時(shí)刻測(cè)量值的數(shù)量。

1.2.2 多維分配算法的代價(jià)函數(shù)

二維分配算法用于完成當(dāng)前幀測(cè)量值與前一幀目標(biāo)航跡的關(guān)聯(lián),這種單測(cè)量值與航跡的配對(duì)沒(méi)有充分利用目標(biāo)航跡演變信息[26]。因此,可以利用雷達(dá)從k-S+2時(shí)刻到k時(shí)刻(當(dāng)前時(shí)刻)的測(cè)量序列實(shí)現(xiàn)與k-S+1時(shí)刻航跡的關(guān)聯(lián),從而形成點(diǎn)跡-航跡的S維分配,這里S≥3。如圖2所示,與k-S+1時(shí)刻的航跡關(guān)聯(lián)的測(cè)量值除了當(dāng)前k時(shí)刻的測(cè)量值,還包括k時(shí)刻以前的測(cè)量值,即時(shí)間窗內(nèi)的S-1維測(cè)量值序列,可表示如下:

圖2 點(diǎn)跡-航跡多維分配示意圖Fig.2 Schematic diagram multiple-dimension assignment of plot-to-track

Zmk-S+2,…,mk={zmk-S+2(k-S+2),…,zmk(k)}

(6)

k-S+2時(shí)刻的航跡則可表示為T(mén)n(k-S+1)。

定義多維分配條件下的二進(jìn)制變量如下:

(7)

借鑒二維分配算法代價(jià)函數(shù)的表示方法,多維分配的代價(jià)函數(shù)也可表示為負(fù)對(duì)數(shù)似然比的形式:

(8)

(9)

(10)

在點(diǎn)跡-航跡關(guān)聯(lián)過(guò)程中,將二維分配算法中的兩類(lèi)虛測(cè)量值以及與虛警對(duì)應(yīng)的空航跡引入到多維分配的似然函數(shù)中,故多維分配的似然函數(shù)可以表示為

(11)

式中:f(ms)和g(ms)為二進(jìn)制函數(shù),分別可表示為

(12)

(13)

(14)

(15)

求解多維分配算法(S≥3)的復(fù)雜度會(huì)隨著點(diǎn)跡-航跡關(guān)聯(lián)數(shù)的增加呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)的規(guī)律,計(jì)算量成為分配算法可行性的重要制約因素。因此,本文采用文獻(xiàn)[28]中的方法,將點(diǎn)跡-航跡的多維分配問(wèn)題轉(zhuǎn)化為松弛的二維子問(wèn)題進(jìn)行處理,再采用廣義拍賣(mài)算法[29]求得最優(yōu)解。

2 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

跟蹤濾波算法:當(dāng)關(guān)聯(lián)的測(cè)量值為第1類(lèi)空量測(cè)值(ms=01)時(shí),采用常規(guī)的IMM與擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter, EKF)算法。當(dāng)關(guān)聯(lián)的量測(cè)值為第2類(lèi)空量測(cè)值(ms=02)時(shí),采用文獻(xiàn)[30]中的IMM與多普勒盲區(qū)粒子濾波(Doppler blind zone particle filter, BDPF)算法。

航跡撤銷(xiāo)準(zhǔn)則:采用文獻(xiàn)[31]中多普勒盲區(qū)條件下的改進(jìn)航跡撤銷(xiāo)準(zhǔn)則(改進(jìn)的基于航跡似然比和序列概率比檢驗(yàn)的撤銷(xiāo)準(zhǔn)則)。

進(jìn)行性能比較的跟蹤關(guān)聯(lián)方法:① 基于單類(lèi)空量測(cè)+IMM-EKF算法的二維分配方法(簡(jiǎn)稱(chēng)為單類(lèi)空量測(cè)二維分配方法);② 基于兩類(lèi)空量測(cè)+IMM-BDPF算法的二維分配方法(簡(jiǎn)稱(chēng)為兩類(lèi)空量測(cè)二維分配方法);③ 基于兩類(lèi)空量測(cè)+IMM-BDPF的三維分配方法(簡(jiǎn)稱(chēng)為兩類(lèi)空量測(cè)三維分配方法,即本文所提方法)。

2.1 雜波+單目標(biāo)環(huán)境

運(yùn)動(dòng)模型設(shè)置:將IMM模型集設(shè)為一個(gè)恒速度(constant velocity, CV)模型和一個(gè)恒轉(zhuǎn)速(constant turn, CT)模型。其中,CT模型的狀態(tài)方程為

(16)

式中:w(k)為過(guò)程噪聲;ω為目標(biāo)角速度。ω為正值時(shí),目標(biāo)做逆時(shí)針圓周運(yùn)動(dòng),ω為負(fù)值時(shí),目標(biāo)做順時(shí)針圓周運(yùn)動(dòng);T為雷達(dá)采樣間隔。假設(shè)目標(biāo)圓周運(yùn)動(dòng)的法向加速度a和線(xiàn)速度V已知,則角速度ω可表示為

(17)

V可以用目標(biāo)做CT運(yùn)動(dòng)的前一時(shí)刻的x方向和y方向速度表示:

(18)

參數(shù)設(shè)置如下。

(2) 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)參數(shù):目標(biāo)初始狀態(tài)x(0)=(-53 km,0 m/s,180 km,-220 m/s)T,雷達(dá)狀態(tài)為(0 km,0 m/s,0 km,0 m/s)T。目標(biāo)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為3次勻速運(yùn)動(dòng)和兩次恒速轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng),其中3次勻速運(yùn)動(dòng)的持續(xù)時(shí)間分別為250 s、250 s和350 s,兩次恒速轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)穿插在3次勻速運(yùn)動(dòng)之間,法向加速度分別為0.3g和-0.12g,其中g(shù)為重力加速度。正加速度表示目標(biāo)逆時(shí)針轉(zhuǎn)彎,負(fù)加速度表示目標(biāo)順時(shí)針轉(zhuǎn)彎,持續(xù)時(shí)間分別為120 s和160 s。

這里比較3種方法的跟蹤性能,采用位置估計(jì)均方根誤差(x方向)來(lái)衡量,可表示如下:

(19)

圖3 目標(biāo)真實(shí)運(yùn)動(dòng)航跡和雷達(dá)多普勒盲區(qū)分布Fig.3 Real motion trajectory of target and distribution of radar Doppler blind zone

由圖3可以看到,雷達(dá)有3段多普勒盲區(qū),雷達(dá)在盲區(qū)內(nèi)丟失的點(diǎn)跡數(shù)目分別為14、7和 13。采用3種方法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤,在運(yùn)用文獻(xiàn)[31]的改進(jìn)航跡撤銷(xiāo)準(zhǔn)則后,目標(biāo)航跡沒(méi)有發(fā)生中斷。因此,在航跡不中斷的條件下,比較3種算法的濾波估計(jì)性能。在不同虛警率條件下經(jīng)過(guò)1 000次蒙特卡羅仿真得到的3種算法的位置估計(jì)均方根誤差如圖4所示。

圖4 3種算法下x方向的位置濾波誤差Fig.4 x-position filtering errors in three algorithms

由圖4可以看到,盲區(qū)內(nèi)的狀態(tài)估計(jì)誤差由大到小依次為單類(lèi)空量測(cè)二維分配法,兩類(lèi)空量測(cè)二維分配法和兩類(lèi)空量測(cè)三維分配法,這是由于兩類(lèi)空量測(cè)法充分考慮了多普勒盲區(qū)對(duì)目標(biāo)狀態(tài)的約束信息,減小了多普勒盲區(qū)內(nèi)的狀態(tài)估計(jì)誤差,三維分配算法較二維分配算法的位置跟蹤誤差有一定程度的減小。其中,在高虛警率情況下,誤差減小更為明顯,這是因?yàn)槿S分配利用了多幀量測(cè)的信息,雜波環(huán)境下量測(cè)與航跡的誤關(guān)聯(lián)概率更小。表1為3種方法在不同虛警率下的平均位置估計(jì)均方根誤差(多普勒盲區(qū)內(nèi))。由圖3可以看到,在高虛警率和低虛警率條件下,兩類(lèi)空量測(cè)三維分配法的盲區(qū)內(nèi)目標(biāo)位置估計(jì)誤差明顯小于單類(lèi)空量測(cè)法和兩類(lèi)空量測(cè)二維分配法,且在虛警率越高的環(huán)境下跟蹤精度改善越大。

表1 兩種算法的多普勒盲區(qū)平均位置濾波誤差Table 1 Mean position filtering errors of two algorithms in Doppler blind zone m

2.2 雜波+多目標(biāo)環(huán)境

在多目標(biāo)雜波環(huán)境下,有4批飛機(jī)目標(biāo)編隊(duì)航行,在航線(xiàn)過(guò)程中進(jìn)行了數(shù)次交叉飛行,并數(shù)次進(jìn)入雷達(dá)的多普勒盲區(qū)。目標(biāo)1、目標(biāo)2、目標(biāo)3和目標(biāo)4的初始位置分別為(-50 km, 140 km),(-53 km, 140 km),(-56 km, 140 km)和(-59 km, 140 km),4個(gè)目標(biāo)勻速運(yùn)動(dòng)持續(xù)70 s,速度均為(0 m/s, -220 m/s)。隨后,4個(gè)目標(biāo)完成90°的勻速轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng),再進(jìn)行勻速運(yùn)動(dòng)。其中,目標(biāo)2和目標(biāo)4做加速度為2g的勻速轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng),目標(biāo)1和目標(biāo)3做加速度為0.8g的勻速轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)。圖5為多目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡和多普勒盲區(qū)分布情況。

圖5 多目標(biāo)真實(shí)運(yùn)動(dòng)航跡和雷達(dá)多普勒盲區(qū)分布Fig.5 Real motion trajectory of multi-target and distribution of radar Doppler blind zone

從圖5可以看到,目標(biāo)2、目標(biāo)4兩次進(jìn)入雷達(dá)多普勒盲區(qū),目標(biāo)1、目標(biāo)3進(jìn)入雷達(dá)多普勒盲區(qū)3次。這里,目標(biāo)檢測(cè)概率Pd=0.9,雷達(dá)虛警概率Pfa=0.001。跟蹤性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)選用航跡中斷率RTBR,可表示為

RTBR=Nbreak/(Nblind·M)

(20)

式中:Nblind為4批目標(biāo)經(jīng)歷的多普勒盲區(qū)的總次數(shù)(Nblind=10),M為蒙特卡羅仿真次數(shù);Nbreak為M次蒙特卡羅仿真條件下統(tǒng)計(jì)的目標(biāo)航跡中斷總數(shù)。

下面比較3種分配方法的目標(biāo)跟蹤關(guān)聯(lián)性能,采用單次蒙特卡羅仿真條件下的計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間表征算法的復(fù)雜度。假設(shè)在10 000次蒙特卡羅仿真條件下,統(tǒng)計(jì)每次仿真中的航跡中斷數(shù)量Nb。3種方法的Nb次中斷出現(xiàn)頻數(shù)、航跡中斷率和計(jì)算時(shí)間如表2所示。從表2中的仿真結(jié)果可以看到,兩類(lèi)空量測(cè)二維分配法由于利用了多普勒盲區(qū)引起丟點(diǎn)信息,其航跡中斷率RTBR較單類(lèi)空量測(cè)二維分配法有了明顯降低,而兩類(lèi)空量測(cè)三維分配算法由于利用了連續(xù)多幀量測(cè)信息,即充分運(yùn)用了航跡的演變信息,其航跡中斷率RTBR較二維分配法有了進(jìn)一步降低,但其計(jì)算復(fù)雜度明顯高于二維分配算法。

表2 3種算法下的航跡中斷率和計(jì)算時(shí)間的比較(10 000次蒙特卡羅仿真條件下的平均仿真時(shí)間)Table 2 Track breakage rate and computing time of three algorithms (mean simulation time of 10 000 Monte Carlo simulations)

3 結(jié) 論

本文針對(duì)多普勒盲區(qū)條件下的機(jī)載預(yù)警雷達(dá)多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題展開(kāi)了研究?；谶吀欉呹P(guān)聯(lián)的思想,在兩類(lèi)空量測(cè)二維分配算法的基礎(chǔ)上,提出了基于多維分配算法的點(diǎn)跡-航跡關(guān)聯(lián)方法。由于多維分配算法考慮了連續(xù)多幀量測(cè)信息,充分利用了目標(biāo)航跡演變信息,進(jìn)一步提升了雜波環(huán)境下目標(biāo)的跟蹤精度,同時(shí)在編隊(duì)目標(biāo)交叉飛行的復(fù)雜多目標(biāo)場(chǎng)景中,進(jìn)一步降低了航跡中斷率。