孫雅琪

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510631)

解題在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中占據(jù)重要地位,對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的完善起到很大作用.美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞(George Polya)認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本目的是“教會學(xué)生思考”,并通過《怎樣解題》一書中所提出的“怎樣解題表”給出了具體的實施方案.“怎樣解題表”包括四個步驟:理解問題、擬定計劃、實行計劃、回顧,充分展現(xiàn)了學(xué)生應(yīng)如何在一個“念頭”的引導(dǎo)下進(jìn)行層層遞進(jìn)地聯(lián)想,這也為學(xué)生提供了一套解決數(shù)學(xué)問題的一般方法與模式[1].

1 解題表的設(shè)計

1.1 原題呈現(xiàn)

題目已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

第(1)問根據(jù)導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系,可以快速得出f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在[1,+∞)上單調(diào)遞減;第(2)問則是一個經(jīng)典的極值點偏移問題,以此為例,基于波利亞解題思想,下文對極值點偏移問題的解題表設(shè)計進(jìn)行探究.

1.2 理解問題

根據(jù)波利亞解題思想,當(dāng)面對一道陌生題目時,學(xué)生首先要對題目所蘊含的信息進(jìn)行提取,進(jìn)而全面理解題目,結(jié)合“怎樣解題表”,學(xué)生可從以下四個問題入手進(jìn)行思考分析:已知是什么?未知是什么?條件是什么?滿足條件是否可能?

進(jìn)一步,結(jié)合f(x)圖象,發(fā)現(xiàn)存在m,n>0,使得f(m)=f(n),且m,n分別在區(qū)間(0,1)和(1,e)內(nèi),又當(dāng)x∈(0,1)時f(x)增長的速率比x∈(1,e)時f(x)下降的速率快,因此初步判斷2

圖1 f(x)的圖象

結(jié)合以上分析,針對導(dǎo)數(shù)極值點偏移問題,可將問題具體表述為:該函數(shù)的解析式是什么?你能寫出該函數(shù)的基本性質(zhì)嗎?能否畫出函數(shù)的對應(yīng)草圖?你能判斷兩個未知數(shù)所在的區(qū)間嗎?根據(jù)草圖能否判斷滿足條件是否可能?

1.3 擬定計劃

學(xué)生提取出本題所蘊含的信息后,接下來要建立已知與未知之間的關(guān)系,進(jìn)而擬定出一個解決該題的計劃,這一步驟很考驗學(xué)生的邏輯思維,結(jié)合“怎樣解題表”,可從以下三個問題入手進(jìn)行思考分析:你以前曾經(jīng)見過它嗎?這里有一個與你有關(guān)且以前解過的問題,你能應(yīng)用它嗎?你能改述這個問題嗎?

通過上文可知m,n分別在區(qū)間(0,1)和(1,e)內(nèi),不妨設(shè)m∈(0,1),n∈(1,e),顯然本題無法通過作差、作商等方法直接對不等式進(jìn)行證明,因此需借助其他方法:利用分析法,若22-m和nf(e-m).由于m是(0,1)區(qū)間中可變化的值,因此可以構(gòu)造函數(shù):

g(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1),

h(x)=f(x)-f(e-x),x∈(0,1).

此時不等式證明問題就轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題,通過求導(dǎo)判斷g(x),h(x)的單調(diào)性,進(jìn)而得到其最值,如果能得到g(x)<0,h(x)>0在(0,1)上恒成立,則可證得不等式成立.

結(jié)合以上分析,針對導(dǎo)數(shù)極值點偏移問題,可將問題具體表述為:能否直接判斷m+n與2和e之間的大小關(guān)系?如果不能,你可以借助什么方法進(jìn)行判斷?如何判斷兩個可以變化的函數(shù)值的大小?你能構(gòu)造出新函數(shù)嗎?你可以在上述處理的基礎(chǔ)上對題目進(jìn)行改述嗎?你能將新函數(shù)的值與0進(jìn)行比較嗎[2]?

1.4 實行計劃

這一步驟中,學(xué)生需依據(jù)前面所擬定的計劃,對題目展開計算、證明,并對每一個步驟進(jìn)行校核.

就極值點偏移問題而言,學(xué)生在實行上述計劃時所面臨的最大障礙往往存在于對新函數(shù)g(x),h(x)求導(dǎo)來判斷其最值,進(jìn)而證明其與0之間關(guān)系的過程中,但其中運算量卻常參差不齊,本題恰巧可對其進(jìn)行說明,具體如下:

令g(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1),

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.

所以g(x)

即f(x)-f(2-x)<0,x∈(0,1).

將x=m代入可得f(n)=f(m)

因為n,2-m∈(1,e),f(x)在(1,e)上單調(diào)遞減,所以n>2-m,即n+m>2.

令h(x)=f(x)-f(e-x),x∈(0,1),

則h′(x)=f′(x)+f′(e-x)=-lnx-ln(e-x),

所以h′(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.

因為當(dāng)x→0+時,h′(x)→+∞,h′(1)=-ln(e-1)<0,所以存在唯一x0∈(0,1)使得h′(x0)=0.

當(dāng)x∈(0,x0)時,h′(x)>0,h(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(x0,1)時,h′(x)<0,h(x)在(x0,1)上單調(diào)遞減,因為當(dāng)x→0+時,由洛必達(dá)法則知,

又f(x)在(1,e)上單調(diào)遞減,所以f(1)>f(e-1).即h(x)=f(1)-f(e-1)>0.所以h(x)=f(x)-f(e-x)>0對于所有x∈(0,1)恒成立.

同理可得f(n)=f(m)>f(e-m).

進(jìn)而有n+m

結(jié)合以上分析,針對導(dǎo)數(shù)極值點偏移問題,可將問題具體表述為:按照你所擬定的計劃,你能否判斷新函數(shù)的值與0之間的關(guān)系?若不能,你要如何進(jìn)行改進(jìn)?在計算過程中,你的演算是否正確?

1.5 回顧

在這一步驟中,學(xué)生首先應(yīng)校核所得的答案,其次要梳理、反思本題的解答思路與過程,最后嘗試在一種解法的基礎(chǔ)上延伸出多種不同解法并進(jìn)行推廣,結(jié)合“怎樣解題表”,可從以下三個問題入手進(jìn)行思考分析:你能校核論證嗎?你能用不同的方法得出結(jié)果嗎?你能應(yīng)用這結(jié)果或方法到別的問題上嗎?

回顧本題的解答過程,當(dāng)證明g(x)<0時,學(xué)生僅需對g(x)求一次導(dǎo)數(shù)且計算較易,而對于h(x)>0,學(xué)生不僅要求二次導(dǎo)數(shù)還需應(yīng)用洛必達(dá)法則等超前知識,因此到這里大部分學(xué)生就會陷入迷茫,此時就需開辟新思路:前面所涉及的方法是在函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)上通過構(gòu)造新函數(shù)實現(xiàn)的,那么學(xué)生可以思考,能否對已知條件進(jìn)行進(jìn)一步處理,進(jìn)而構(gòu)造更易于計算的新函數(shù)?作為雙變量不等式,可以想到將兩個變量與某一個相同變量之間建立聯(lián)系來減少變量個數(shù),再關(guān)于該變量構(gòu)建函數(shù),而學(xué)生又至少有兩種不同的方法來減少變量,既可以嘗試通過換元處理得到新變量進(jìn)而構(gòu)造函數(shù),也可以嘗試?yán)梅趴s法減少某一變量進(jìn)而構(gòu)造函數(shù).事實上,上述兩種方法均可應(yīng)用于此題,具體過程此處不再贅述.

結(jié)合上述分析,針對導(dǎo)數(shù)極值點偏移問題,可將問題具體表述為:你能核驗論證嗎?回顧這一解題過程,你能通過其它的方法論證這一結(jié)果嗎?如換元、放縮.你如何將該題的解題方法應(yīng)用至其他題目?

2 解題表的應(yīng)用

(1)若f(x)≥0,求a的取值范圍;

(2)若f(x)有兩個零點x1,x2,則x1x2<1.

應(yīng)用上述解題表,可得表1所示的解題思路[3].

表1 導(dǎo)數(shù)極值點問題的解題表設(shè)計在2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷第21題中的應(yīng)用

3 結(jié)語

本文基于波利亞解題思想,以2021年新高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷第22題為例,對導(dǎo)數(shù)極值點偏移問題的解題表設(shè)計進(jìn)行了探究,旨在為學(xué)生梳理解答此類問題的思路,提高學(xué)生的解題能力.而探究式的解題表設(shè)計則可以鍛煉學(xué)生的逆向思維、發(fā)散思維以及創(chuàng)新思維,同時分析法的充分運用也可以鍛煉學(xué)生自主思考的能力,這充分貼合波利亞所強調(diào)的“中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本目的是‘教會學(xué)生思考’”這一觀點,也符合新課標(biāo)中對中學(xué)生四基四能的要求.