張 軍，王郁赫，任宗金，孫文舉，蔡佳樂

（大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116024）

1 引言

多維力傳感器廣泛用于機器人［1-2］、航空航天［3］等領域，用于力和力矩的測量與反饋，其測量精度直接影響裝備性能。基于石英的壓電力傳感器具有高剛度、動態(tài)特性好和耐高溫等特點，適于強振動、大溫變等惡劣工況［4-5］下高頻動態(tài)力的測量，在大型精密裝備研發(fā)中起著重要作用。

在使用前，力傳感器需經(jīng)標定獲取其靈敏度參數(shù)［6］，包括主向靈敏度和耦合靈敏度，用于測量與解耦，其標定精度一般取決于標定模型與標定裝置精度。標定模型一般采用改進傳統(tǒng)矩陣方法［7］和機器學習［8］方法，以提高標定精度。Yu［9］等針對機器人腕力傳感器采用旋轉(zhuǎn)標定方法以減少安裝偏差帶來的精度損失。李映君［10］等采用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡改進了力傳感器標定算法。田雨［11］提出基于深度置信網(wǎng)絡的壓電多維力傳感器標定解耦方法。此外，標定裝置的角度偏差也會使傳感器在標定中損失精度［12］。付立悅［13］等從不確定度角度指出加載力源偏角是砝碼張線式裝置標定誤差的主要來源。范志強［14］等分析了壓電薄膜式力傳感器在標定中安裝基面傾角帶來的精度影響。上述研究表明，標定中安裝和加載帶來的角度偏差會影響標定精度，導致獲取的傳感器參數(shù)不準確。為了減小標定角度偏差的影響，研究多集中于精度評定和裝置精度提高［15］，但精度提升的成本較高。對于削弱和分離角度偏差引入的誤差，則缺乏相關研究。

本文改進了傳統(tǒng)標定模型，分析標定角度偏差來源與影響并引入標定模型，以組內(nèi)自制壓電式三維力傳感器為研究對象，采用實際測量+優(yōu)化算法的方法獲取了傳感器的真實性能參數(shù)，有效分離了角度偏差的影響。解耦效果證明，改進的新標定模型更貼合實際數(shù)據(jù)。最后，基于新模型分析了標定角度偏差對傳感器耦合特性的影響。

2 原理

2.1 傳感器結構與偏差來源

壓電石英三向力傳感器一般包含3 組晶組，每組包含2 片石英晶片。兩組Y0°晶組基于剪切效應測量Fx和Fy，一組X0°晶組基于縱向效應測量Fz，實現(xiàn)正交三維力測量。標定傳感器時，為了標定側(cè)向力（Fx，F(xiàn)y），通過螺栓和螺母將傳感器預緊在上下壓塊間形成標定結構，如圖1 所示。預緊力一般是側(cè)向力的10 倍，保證傳感器通過摩擦感受足夠的側(cè)向力。

圖1 壓電傳感器與預緊標定結構Fig.1 Piezoelectric sensor and preload calibration structure

對于多維力傳感器，一般在不同測量方向分別進行單維力標定，逐步獲取每個方向的靈敏度。理想情況下，標定力源的加載方向與傳感器的測量敏感軸完全共線。而標定角度偏差，例如加載偏斜、安裝偏角等，會使二者存在夾角，降低主向靈敏度，增大了耦合靈敏度（橫向靈敏度）。對于圖1 所示坐標系下的力傳感器，偏差來源如圖2 所示。在傳感器預緊成標定結構時，夾具固定上下壓塊，力矩扳手施加預緊力，帶動傳感器相對上下壓塊轉(zhuǎn)動［16］，敏感軸繞Z軸轉(zhuǎn)動，如圖2（a）所示；固定基面不平，傳感器傾斜，敏感軸繞X/Y軸轉(zhuǎn)動，如圖2（b）所示；標定裝置加載力源偏斜，對其他非標定方向產(chǎn)生附加分力，如圖2（c）所示。

圖2 標定角度偏差來源Fig.2 Sources of calibration angle deviation

為敘述方便，以繞軸順時針旋轉(zhuǎn)為正，用x表示傳感器的敏感坐標系繞X軸轉(zhuǎn)動的角度，y，z同理，用θab表示b方向加載力源對a方向的偏角。

2.2 裝置偏差測量

以實驗室的三維力加載裝置和力傳感器為對象，測量圖2 中偏差值。

測量傳感器轉(zhuǎn)角時，下壓塊固定在臺面上，將精度為0.02 mm 的數(shù)顯千分表打在傳感器側(cè)面，推動傳感器移動29 mm，千分表示值差為0.11 mm，通過反正切函數(shù)測得z為+0.22°，如圖3（a）所示。

圖3 傳感器轉(zhuǎn)角與基面傾角測量Fig.3 Measurement of sensor angle and base angle

測固定基面傾角時，將精度為0.1°的傾角儀緊貼單元與底面，通過讀數(shù)讀取傾角值，測得x為+0.5°，如圖3（b）所示，同理測得y為-0.4°。

測量力源傾斜偏角時，以測量X向加載偏角為例，傾角儀1 為0 時，一方向讀取傾角儀2 示數(shù)，測得θzx為-0.15°；另一方向?qū)⑶Х直泶怪贝蛟跍y量處，加載桿向前移動距離，根據(jù)千分表示值差求出θyx為-0.13°，如圖4 所示。其他方向偏角測量同理。

圖4 標定力源偏角測量Fig.4 Deflection measurement of calibration force source

為方便后續(xù)的計算處理，將測量角度值單位換為弧度制（rad），測量結果如表1 所示。

表1 角度偏差測量Tab.1 Angle deviation measurement （rad）

結果表明，傳感器標定中確實存在角度偏差，理論上標定精度會降低。

2.3 標定模型改進

壓電力傳感器受力產(chǎn)生電荷，電荷經(jīng)放大器轉(zhuǎn)為電壓信號。由于使用的石英壓電系數(shù)不同，Y0°晶組靈敏度是X0°晶組的兩倍左右，實際中電荷放大器會將它們歸一化為-1 附近的力電系數(shù)。為了便于比較，這里使用力電系數(shù)代表傳感器靈敏度。

傳統(tǒng)標定模型如下：

其中：U為輸出電壓向量，K為力電系數(shù)矩陣，F(xiàn)為標定力值向量，kab為力電系數(shù)。當a=b時，為該向主向力電系數(shù)；當a≠b時，為b對a的耦合力電系數(shù)。

考慮標定角度偏差下，K為帶有偏差的力電矩陣，F(xiàn)也不是標準的正交標定力源，用Kr代表真實的傳感器矩陣，F(xiàn)I代表理想正交的標定力源。

z的測量基準為千分尺所固定的面，即為下壓塊，相當于自轉(zhuǎn)或相對轉(zhuǎn)動，而x，y的測量基準為大地坐標系（出廠校準的傾角儀）。在旋轉(zhuǎn)矩陣中左乘代表繞大地坐標系旋轉(zhuǎn)，右乘代表繞自身坐標系旋轉(zhuǎn)，用旋轉(zhuǎn)矩陣R1與R2修正傳感器的力電矩陣，得到K與Kr的關系：

其中：

考慮角度較小，旋轉(zhuǎn)矩陣采用簡化形式。以X向加載標定為例，產(chǎn)生的Z向干擾力為：

將公式推至3 個方向，則得到F與FI的關系：

其中：

式中：lx，ly，lz分別代表x，y，z主方向的加載系數(shù)，理想下均為1。將式（3）與式（5）帶入傳統(tǒng)模型式（1），建立新模型：

其中：Kr即為真實的傳感器力電系數(shù)矩陣，去除了角度偏差影響，U是采集的電壓，F(xiàn)I是理想的正交加載力，力大小可通過標準力傳感器測得。

新模型共有21 個參數(shù)，x，y，z和θab在2.2 中已測得，lx，ly，lz可由勾股定理求解，剩余9 個力電系數(shù)為未知量?？紤]測量儀器和方法的精度較低，采用優(yōu)化算法，首先通過實驗獲得U，再根據(jù)數(shù)據(jù)建立合理的目標函數(shù)與約束條件，以測量值為優(yōu)化起點，給予參數(shù)一定的變化范圍，獲取傳感器參數(shù)。

3 標定實驗與參數(shù)獲取

3.1 標定實驗

在2.2 的基礎上繼續(xù)實驗，標定裝置配備MCL-S 型標準力傳感器，放大器為聯(lián)能LN5861，采集卡為DT9800，軟件為DEWESOFT，如圖5 所示。傳感器Z向量程為12 000 N，X，Y向量程為2 400 N。根據(jù)劃好的中心線，在傳感器中心分別對3 個方向加載階梯力，記錄輸出，得到傳感器3 個方向的電壓輸出如表2～表4 所示。加載過程中，采用儀器復測表1 中的參數(shù)，參數(shù)無變化，測量后卸載。

表2 X 向加載輸出數(shù)據(jù)Tab.2 X-directional load output data

表3 Y 向加載輸出數(shù)據(jù)Tab.3 Y-directional load output data

表4 Z 向加載輸出數(shù)據(jù)Tab.4 Z-directional load output data

圖5 力傳感器標定設備Fig.5 Equipment for calibration of force sensor

3.2 參數(shù)獲取與比較

傳統(tǒng)參數(shù)獲取方式是采用最小二乘法分別擬合3 個輸出方向?qū)屋斎敕较虻闹本€斜率，從而求得主向和耦合力電系數(shù)。新模型增加了角度矩陣，參數(shù)數(shù)量較多，難以采用上述方法求解。由于摩擦和加載振動等原因，數(shù)據(jù)摻雜隨機誤差，所以采用優(yōu)化算法求解。為了盡量避免局部最優(yōu)解，加入約束條件。

優(yōu)化模型包括設計變量、目標函數(shù)和約束條件3 個步驟，設計變量即為式（6）中的21 個參數(shù)。

目標函數(shù)采用文獻［17］中基于極大似然法建立函數(shù)，即：模型輸出與實際數(shù)據(jù)差的二范數(shù)平方和越小，模型越貼合數(shù)據(jù)。根據(jù)表2～表4得到：

約束條件如下：

（1）受限于測量儀器和方法的精度，根據(jù)傾角儀測量精度0.1°，將表1 測量值作為參數(shù)優(yōu)化起點，限制范圍為±0.002 rad，彌補測量精度不足，同時一定程度上也能避免局部最優(yōu)解。

（2）單方向加載系數(shù)平方和的根應在1 附近，以滿足勾股定理，考慮實際加載和采集有一定偏差，平方根限制為1±0.01，如式（8），避免不合理參數(shù)。

算法選擇斯坦福大學開發(fā)的稀疏非線性優(yōu)化求解算法（Sparse Nonlinear Optimizer，SNOPT），其核心是基于序列二次規(guī)劃優(yōu)化算法，適合于解決各類規(guī)劃問題，可集成于MATLAB 和COMSOL 等計算軟件。該算法處理實際大規(guī)模問題時的計算速度比一般智能算法快，且收斂性好［18-19］。

考慮到配合壓電傳感器使用的電荷放大器靈敏度設置位數(shù)一般到小數(shù)點后3 位，為了保證精度，同時縮短收斂時間，將優(yōu)化容差（停止閾值）設置為0.000 1，最小化目標函數(shù)Q以求解21個參數(shù)。所有參數(shù)連續(xù)3 次迭代差值小于閾值時即認為收斂，經(jīng)過12 次優(yōu)化，計算收斂。

R1，R2，C的求解結果如下：

力電系數(shù)的優(yōu)化求解過程如圖6 所示。

圖6 參數(shù)求解迭代過程Fig.6 Parameter solving iterative process

將分離偏差前后力電系數(shù)，即K與Kr的元素進行對比，見表5～表6。角度偏差對主向力電系數(shù)標定的影響較小，但對耦合力電系數(shù)的影響較大。由于偏差存在，部分耦合力電系數(shù)的變化較大甚至反向，會獲取虛假的系數(shù)，導致傳感器性能評定的謬誤。

表5 耦合力電系數(shù)比較Tab.5 Comparison of coupling coefficients

表6 主向力電系數(shù)比較Tab.6 Comparison of main direction coefficients

4 模型效果對比與分析

4.1 解耦效果對比

理論上如果模型貼近傳感器的實際情況，應更貼合實驗數(shù)據(jù)，解耦誤差更小。為驗證新模型的合理性，采用兩種模型對實驗數(shù)據(jù)進行解耦，即將表中3 個方向的加載力值代入模型，比較模型計算的電壓輸出與表中記錄的電壓輸出間的差值，如圖7 所示。

圖7 解耦誤差比較Fig.7 Decoupling error comparison

用解耦誤差的均值、極值進一步比較，以舊模型的解耦誤差為基準，分析新模型相比其解耦誤差下降的比例，如表7～表8 所示。

表7 解耦誤差均值下降比例Tab.7 Decoupling error mean reduction ratio（%）

Y向加載時，X向耦合輸出的解耦誤差沒有下降，因其原本耦合輸出較小，新舊模型的解耦差值幾乎重合。而從其他方向的均值來看，解耦誤差減少了80% 左右，極值減少了20%～49%。結果顯示，新模型更吻合實際數(shù)據(jù)，驗證了新模型的正確性。新模型矩陣相乘后仍為3×3 矩陣，在降低解耦誤差的同時沒有增加復雜性。

4.2 耦合系數(shù)占比研究

由于結構與制作原因，多維力傳感器難免具有耦合靈敏度，精確測量耦合靈敏度或解決耦合問題［20］是研究焦點。由于標定角度偏差會影響傳感器的耦合特性，將傳感器轉(zhuǎn)角和固定基面傾角合稱為安裝偏差。根據(jù)新標定模型，每個偏差影響矩陣均已知，分析安裝偏差與力源偏斜偏差兩種因素對耦合力電系數(shù)的影響占比，具體步驟如下：

（1）將R1KrR2C作為所有角度偏差作用下的標定結果A；R1KrR2表示僅受安裝偏差影響的標定結果B；KrC表示僅受標定力源偏斜影響的結果C；

（2）將B 與C 的耦合系數(shù)元素分別與真實結果Kr相應元素做差，求得安裝偏差和力源偏斜對耦合系數(shù)的影響數(shù)值。

（3）將Kr元素和（2）影響數(shù)值除以A 中對應元素，求得耦合系數(shù)下的傳感器自身、安裝偏差和力源偏斜的數(shù)值占比。

理論上矩陣間為乘法，會疊加影響，不應加減。但由于角度較小，經(jīng)過驗算，Kr與兩個因素影響差值和與A 各項差不到0.000 1，可以忽略。如圖8 所示，標定角度偏差對于傳感器耦合性能的影響不可忽略，在部分耦合系數(shù)中，標定角度影響占比達到70%以上，應加以控制。本次標定中，力源偏斜主要影響了X，Y向?qū)向力的耦合系數(shù)，而安裝偏差主要影響了X，Z向?qū)向力的耦合系數(shù)。

圖8 耦合力電系數(shù)占比分析Fig.8 Proportion analysis of coupling coefficients

5 結論

本文針對力傳感器標定角度偏差影響精度的問題，以壓電三向力傳感器為對象，相比舊標定模型與傳統(tǒng)參數(shù)獲取方法，建立了考慮標定中多環(huán)節(jié)角度偏差的新模型，并通過測量和優(yōu)化計算結合獲取參數(shù)，基本實現(xiàn)了分離角度偏差的傳感器標定。新模型大部分方向的解耦誤差均值下降80%左右，極值下降20%～49%，驗證了新方法有效性。

研究表明，一般被當作標準力源的標定裝置，其偏差會影響傳感器的標定精度，尤其會在耦合靈敏度的標定中引起謬誤，放大或縮小真實的靈敏度。從標定精度角度，如何控制或者給出偏差容差范圍，給出標定裝置的精度檢定標準，值得進一步研究。經(jīng)矩陣維數(shù)推廣和數(shù)量增加，本文模型可推廣到六維力傳感器或測力儀的標定中，覆蓋更多影響因素。