王梅梅 （貴州省黔西市鐵石苗族彝族鄉(xiāng)鐵盔小學(xué)）

一、符號(hào)、語言、模型的數(shù)學(xué)思維進(jìn)階路徑梳理

小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成長進(jìn)路有著明確的規(guī)律可循，教師在教學(xué)過程中需要遵循學(xué)生思維進(jìn)階的成長規(guī)律，從學(xué)生角度出發(fā)，進(jìn)行教學(xué)體系建構(gòu)?！胺?hào)”“語言”“模型”所代表的是小學(xué)生三個(gè)不同階段的思維認(rèn)知，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師在進(jìn)行思維進(jìn)階培養(yǎng)時(shí)，需要優(yōu)先完成對(duì)于思維進(jìn)階的路徑梳理。

（一）數(shù)學(xué)符號(hào)階段

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)符號(hào)是最基本的組成部分，它是一種約定俗成的表示方法，可以簡潔明了地表達(dá)數(shù)學(xué)思想。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號(hào)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力具有重要意義。在此階段，學(xué)生能夠接觸到的符號(hào)類型主要包括以下三種。

其一是數(shù)字及運(yùn)算符：例如1, 2, 3……表示數(shù)量的數(shù)字，以及加減乘除等表示運(yùn)算的符號(hào)。通過這些符號(hào)，學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到數(shù)的大小、順序關(guān)系，掌握基本的四則運(yùn)算。其二是圖形符號(hào)：如點(diǎn)、線、面等。利用這些符號(hào)，學(xué)生可以描述平面圖形的特征，學(xué)會(huì)分類、測量、作圖等操作。其三是代數(shù)符號(hào)：例如字母x、y 等。在小學(xué)高年級(jí)，引入字母表示數(shù)的概念，有助于學(xué)生初步理解方程和函數(shù)的含義，培養(yǎng)抽象思維能力。

符號(hào)思維的特點(diǎn)主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：首先是抽象性。學(xué)生通過接觸和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號(hào)，逐漸從具體事物中抽象出概念，并用符號(hào)來表達(dá)這些概念。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)字1、2、3 等，將實(shí)際生活中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行抽象表示。這有助于提高學(xué)生的抽象思維能力。其次是簡潔性。符號(hào)思維可以幫助學(xué)生更加簡潔明了地表達(dá)數(shù)學(xué)概念和關(guān)系。例如，在解決四則運(yùn)算問題時(shí)，利用加減乘除等運(yùn)算符號(hào)可以使過程變得簡單易懂。這有助于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的清晰理解。再次是規(guī)律性。數(shù)學(xué)符號(hào)思維有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建立數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系。在學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)，學(xué)生可以通過觀察數(shù)列中的數(shù)學(xué)符號(hào)，總結(jié)出數(shù)列的規(guī)律。掌握規(guī)律性思維，對(duì)于學(xué)生分析問題和解決問題具有重要價(jià)值。最后是邏輯性。符號(hào)思維可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，學(xué)生需要按照嚴(yán)密的邏輯關(guān)系去理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)，形成正確的推理和證明過程。這有助于提高學(xué)生的邏輯分析能力，為以后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

（二）數(shù)學(xué)語言階段

數(shù)學(xué)語言是一種特定的表達(dá)形式，它通過數(shù)學(xué)符號(hào)、文字?jǐn)⑹鲆约皥D像等方式表達(dá)數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)語言在數(shù)學(xué)中具有如下特點(diǎn)：

其一是簡潔明了：數(shù)學(xué)語言具有表達(dá)簡明、直觀易懂的特點(diǎn)。例如，利用運(yùn)算符號(hào)可以清晰地表示復(fù)雜數(shù)學(xué)運(yùn)算過程。其二是具有抽象性：數(shù)學(xué)語言能夠跳出具體事物，表示更加抽象的概念。如引入代數(shù)符號(hào)，使得數(shù)學(xué)問題可以更為通用地解決。其三是具有邏輯性：數(shù)學(xué)語言遵循嚴(yán)密的邏輯關(guān)系，有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

數(shù)學(xué)語言思維是在小學(xué)階段學(xué)生形成符號(hào)思維基礎(chǔ)上的進(jìn)階思維。這一階段，學(xué)生需要掌握數(shù)學(xué)語言，以便更加深入和全面地理解數(shù)學(xué)概念、公式和定理。數(shù)學(xué)語言思維特點(diǎn)主要包括以下幾個(gè)方面：一是數(shù)學(xué)語言具有嚴(yán)密的結(jié)構(gòu)性，它包括了定義、公式、定理等多種形式。學(xué)生需要學(xué)會(huì)區(qū)分和理解這些結(jié)構(gòu)，并能夠運(yùn)用它們解決實(shí)際問題。這有助于提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)思維的條理性。二是數(shù)學(xué)語言思維注重整體性，要求學(xué)生能夠?qū)⒏鱾€(gè)數(shù)學(xué)概念聯(lián)系起來。例如，在學(xué)習(xí)幾何時(shí)，學(xué)生需要理解點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，從而掌握更為復(fù)雜的幾何圖形及其性質(zhì)。這有助于培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維能力。三是數(shù)學(xué)語言思維強(qiáng)調(diào)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性，要求學(xué)生在推理證明過程中遵循嚴(yán)密的邏輯關(guān)系。這有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力，形成正確的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。四是掌握數(shù)學(xué)語言思維，力求創(chuàng)新性，要求能讓學(xué)生更好地理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，解決問題。例如，學(xué)生在研究數(shù)學(xué)問題過程中，可以嘗試運(yùn)用不同方法或策略，發(fā)現(xiàn)新的解題思路。這有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

（三）數(shù)學(xué)模型階段

數(shù)學(xué)模型是將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析求解的一種方法。掌握建立數(shù)學(xué)模型的能力，對(duì)于學(xué)生解決復(fù)雜問題具有重要意義。數(shù)學(xué)模型的類型與功能主要有三種：幾何模型：利用幾何圖形描述現(xiàn)實(shí)問題，如測量長度、計(jì)算面積等。代數(shù)模型：利用代數(shù)公式表達(dá)問題間的關(guān)系，如求解未知數(shù)等。函數(shù)模型：利用函數(shù)關(guān)系研究變量之間的依賴關(guān)系，如分析數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)等。

數(shù)學(xué)模型思維是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的最終進(jìn)階階段，建立在學(xué)生已經(jīng)掌握符號(hào)思維和數(shù)學(xué)語言思維的基礎(chǔ)上。在這一階段，學(xué)生需要運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，并通過建立模型來解決實(shí)際問題。數(shù)學(xué)模型思維具有以下特點(diǎn)：首先，數(shù)學(xué)模型思維要求學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際生活中的問題解決。例如，在分析商店促銷活動(dòng)時(shí)，學(xué)生就可以利用所學(xué)的比例、百分比等知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而計(jì)算優(yōu)惠幅度。這有助于培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力。同時(shí)，學(xué)生需要學(xué)會(huì)從實(shí)際問題中提取關(guān)鍵信息，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)方法和策略求解。這有助于提高學(xué)生的問題解決能力。在建立和運(yùn)用數(shù)學(xué)模型的過程中，學(xué)生對(duì)問題的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，選擇合適的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解，以及對(duì)結(jié)果進(jìn)行推理和驗(yàn)證。這有助于提高學(xué)生的分析推理能力。數(shù)學(xué)模型思維要求學(xué)生能夠?qū)⒔忸}過程和結(jié)果用清晰、簡潔的語言進(jìn)行表達(dá)和交流。這有助于培養(yǎng)學(xué)生的溝通能力，使他們能夠更好地向他人解釋自己的思路和方法。

二、思維奠基——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中基于符號(hào)認(rèn)知的抽象思維培養(yǎng)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，基于符號(hào)認(rèn)識(shí)的抽象思維培養(yǎng)具有重要意義。符號(hào)思維作為學(xué)生接觸數(shù)學(xué)、從具象的真實(shí)世界認(rèn)識(shí)并理解抽象數(shù)學(xué)概念的關(guān)鍵思維方式，對(duì)于小學(xué)階段學(xué)生數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階至關(guān)重要。因此，在這一階段的教學(xué)中，教師需要深刻理解學(xué)生的思維特點(diǎn)、整合教育資源開展教學(xué)活動(dòng)，以培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)思維能力。

（一）強(qiáng)化符號(hào)意識(shí)和概念理解

在符號(hào)思維培養(yǎng)的初級(jí)階段，教師應(yīng)主要關(guān)注引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解各種數(shù)學(xué)符號(hào)、術(shù)語和概念，使學(xué)生逐步適應(yīng)抽象的數(shù)學(xué)世界。在教學(xué)當(dāng)中教師可以通過觀察和操作實(shí)物，引導(dǎo)學(xué)生初步認(rèn)識(shí)數(shù)、量等基本概念，使學(xué)生從直觀層面感受數(shù)學(xué)的美。教授加減乘除等基本運(yùn)算符號(hào)，讓學(xué)生理解它們代表的含義和運(yùn)算規(guī)律，形成運(yùn)算意識(shí)。采用幾何圖形、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)等多種方式，幫助學(xué)生建立空間觀念和數(shù)據(jù)敏感性，拓展知識(shí)領(lǐng)域。

（二）培養(yǎng)符號(hào)運(yùn)算能力和邏輯推理能力

在符號(hào)思維培養(yǎng)的中級(jí)階段，教師應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算的能力，同時(shí)啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用邏輯推理解決問題。在教學(xué)過程中，教師可以通過設(shè)計(jì)簡單的數(shù)學(xué)題目，讓學(xué)生熟練掌握加減乘除等基本運(yùn)算技能，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)；可以通過利用數(shù)學(xué)游戲、謎題等方式，培養(yǎng)學(xué)生在解決問題過程中運(yùn)用邏輯推理的能力，提高思維質(zhì)量；可以通過教授初步的方程式和代數(shù)表達(dá)式，并引導(dǎo)學(xué)生分析和解決簡單的代數(shù)問題，培養(yǎng)抽象思維能力。

（三）注重實(shí)際應(yīng)用和問題解決能力的培養(yǎng)

在符號(hào)思維培養(yǎng)的高級(jí)階段，教師應(yīng)關(guān)注將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活相結(jié)合，提高學(xué)生的問題解決能力。在教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)與生活實(shí)際相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生通過解決這些問題理解數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；可以通過引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和好奇心，培養(yǎng)創(chuàng)新思維；可以通過開展小組合作、分享交流等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作和溝通表達(dá)的能力，提升綜合素質(zhì)。

三、思維升級(jí)——小學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)語言的閱讀與表達(dá)能力培養(yǎng)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)語言能力的培養(yǎng)是學(xué)生思維升級(jí)的重要環(huán)節(jié)。就是可以基于學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)和思維進(jìn)階要求，從數(shù)學(xué)語言閱讀能力和表達(dá)能力兩個(gè)方面提出針對(duì)性建議，旨在為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提供有益參考。

（一）數(shù)學(xué)語言閱讀能力培養(yǎng)

數(shù)學(xué)語言閱讀能力是指學(xué)生能夠理解并提煉數(shù)學(xué)問題中的關(guān)鍵信息，以便更好地解決問題。針對(duì)小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，推出以下可用于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言閱讀能力的建議：教師可以在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)學(xué)符號(hào)、術(shù)語和概念的使用，幫助學(xué)生逐步形成對(duì)數(shù)學(xué)語言的感知；可以設(shè)計(jì)不同難度的數(shù)學(xué)閱讀材料，讓學(xué)生通過閱讀理解習(xí)題來鍛煉提煉關(guān)鍵信息的能力；可以開展課堂討論和分享，鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)自己對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解，培養(yǎng)他們從多角度觀察問題的能力。

（二）數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力培養(yǎng)

數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力是指學(xué)生能夠?qū)⒕唧w的數(shù)學(xué)內(nèi)容運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)、術(shù)語和概念準(zhǔn)確、完善地表達(dá)出來。結(jié)合小學(xué)生的思維發(fā)展階段，以下建議可用于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，教師可以通過示范和指導(dǎo)，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)符號(hào)和術(shù)語的規(guī)范使用，強(qiáng)調(diào)精確表達(dá)的重要性；可以設(shè)計(jì)一系列結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)表達(dá)練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述和解析；可以鼓勵(lì)學(xué)生在課堂上積極發(fā)言，分享自己的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和解題思路，培養(yǎng)他們運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的能力。

四、思維進(jìn)階——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)模型思維的系統(tǒng)化意識(shí)培養(yǎng)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)模型思維是學(xué)生思維進(jìn)階的最終階段。為了培養(yǎng)學(xué)生在符號(hào)思維和數(shù)學(xué)語言思維之后形成數(shù)學(xué)模型思維能力，本文從實(shí)際情境、建模過程引導(dǎo)、分析推理能力培養(yǎng)以及交流與表達(dá)等四個(gè)方面提出教學(xué)建議，并給出具體的教學(xué)策略。

（一）融入實(shí)際情境

選取與學(xué)生生活相結(jié)合的實(shí)際問題，讓學(xué)生在解決問題中感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。教師可以設(shè)計(jì)基于實(shí)際問題的項(xiàng)目式任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析現(xiàn)實(shí)生活中的問題，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和動(dòng)手能力。例如，在教授“計(jì)算周長”的課程時(shí)，教師選擇了一個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中的問題：如何給花壇鋪設(shè)灌溉系統(tǒng)？

教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

首先，讓學(xué)生觀察并描述花壇的形狀和大小，引導(dǎo)學(xué)生思考需要多少長度的灌溉管道。其次， 教師講解周長的概念和計(jì)算方法，并在實(shí)際問題中進(jìn)行應(yīng)用。最后，讓學(xué)生通過實(shí)踐操作來計(jì)算所需管道長度，并督促他們自己動(dòng)手制作模型，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用價(jià)值的認(rèn)識(shí)。

（二）引導(dǎo)建模過程

教導(dǎo)學(xué)生如何從實(shí)際問題中提取關(guān)鍵信息，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型。例如，教師通過問答方式讓學(xué)生思考并提煉問題的核心要素；通過講解數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的方法和步驟，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模技巧，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)和示范；通過鼓勵(lì)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解，培養(yǎng)他們獨(dú)立解決問題的能力。例如，在教授“分?jǐn)?shù)”的課程中，教師設(shè)計(jì)了一個(gè)關(guān)于購物的問題：如何使用優(yōu)惠券最大限度地節(jié)省開支？

教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

首先，引導(dǎo)學(xué)生從問題中提取關(guān)鍵信息，例如商品價(jià)格、優(yōu)惠比例等。其次，教導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，如使用分?jǐn)?shù)表示優(yōu)惠比例，并計(jì)算優(yōu)惠后的價(jià)格。最后，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解，找出使花費(fèi)最小的購物策略。

（三）培養(yǎng)分析推理能力

設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)模型問題，鼓勵(lì)學(xué)生在解題過程中進(jìn)行分析、推理和驗(yàn)證。教師可以在課堂教學(xué)中設(shè)置反思環(huán)節(jié)，讓學(xué)生對(duì)解題過程進(jìn)行總結(jié)和評(píng)價(jià)，提高他們的思考品質(zhì)和自我監(jiān)控能力。例如，在教授“方程”的課程中，教師設(shè)計(jì)了一個(gè)關(guān)于水果攤銷售的問題：如何求解蘋果和橙子的單價(jià)？

教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

首先，提供包含蘋果和橙子銷售總額的信息，讓學(xué)生嘗試自己提出方程式。其次，教導(dǎo)學(xué)生方程的求解方法，并引導(dǎo)他們進(jìn)行分析、推理和驗(yàn)證。最后，設(shè)立反思環(huán)節(jié)，讓學(xué)生對(duì)求解過程進(jìn)行總結(jié)和評(píng)價(jià)。

（四）注重交流與表達(dá)

創(chuàng)設(shè)合作學(xué)習(xí)環(huán)境，如小組討論、課堂展示等，讓學(xué)生充分交流解題過程和結(jié)果。例如教師可以鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語言闡述解題思路，培養(yǎng)他們使用數(shù)學(xué)符號(hào)、術(shù)語和概念進(jìn)行表達(dá)的能力，并對(duì)學(xué)生在交流和表達(dá)過程中出現(xiàn)的問題給予及時(shí)指導(dǎo)和反饋，幫助他們不斷提升溝通效果。在教授“幾何圖形”的課程中，教師讓學(xué)生通過小組合作來研究各種三角形的性質(zhì)。

教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

首先，將學(xué)生分成小組，分配不同類型的三角形進(jìn)行研究。其次，鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語言描述三角形的性質(zhì)，并要求他們使用數(shù)學(xué)術(shù)語和符號(hào)進(jìn)行表達(dá)。最后，在課堂展示環(huán)節(jié)，讓每個(gè)小組分享他們的發(fā)現(xiàn)，教師對(duì)學(xué)生的表達(dá)進(jìn)行指導(dǎo)和反饋。

綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)關(guān)注學(xué)生的思維進(jìn)階，通過實(shí)際情境、建模過程引導(dǎo)、分析推理能力培養(yǎng)和交流與表達(dá)等策略深入教學(xué)。這些方法有助于激發(fā)學(xué)生興趣，提高他們的數(shù)學(xué)思維能力，并為日后學(xué)生成長奠定基礎(chǔ)。教師在教學(xué)中在不斷探索創(chuàng)新，因材施教，以便更好地滿足學(xué)生的發(fā)展需求，培育學(xué)生具備扎實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和優(yōu)秀思維品質(zhì)。