福建師范大學附屬福清德旺中學 (350319) 周 丹

福建省福清市進修學校 (350300) 林新建

數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象,用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法建構(gòu)模型解決問題的素養(yǎng).數(shù)學模型是借用數(shù)學的語言講述現(xiàn)實世界中的數(shù)量、圖形有關(guān)的故事,使數(shù)學走出了自我封閉的世界,構(gòu)建了與現(xiàn)實世界的橋梁.在解題過程中,“模型思想”的建立,能幫助我們更好地挖掘模型或者建構(gòu)模型,從而將復(fù)雜的問題化歸轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)學模型進行求解,進一步培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng),在教學中具有實際的意義.以下就“模型思想”在2022年新高考全國Ⅱ卷中的應(yīng)用作一探析,以饗讀者.

一、挖掘模型

應(yīng)用“模型思想”在題中挖掘所蘊藏的數(shù)學模型,借助找出的數(shù)學模型簡化運算,將問題輕松解決.

A.-6 B.-5 C.5 D.6

評析：本題中強調(diào)用數(shù)學的眼光去直觀想象并進行數(shù)學抽象,一步步地抽象出菱形模型,是“模型思想”的應(yīng)用,整個過程進行邏輯推理,培養(yǎng)了學生的數(shù)學眼光、數(shù)學思維和數(shù)學核心素養(yǎng).

例2 (第12題)若x,y滿足x2+y2-xy=1,則( ).

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

分析：由|MA|=|NB|可知,線段MN中點與線段AB中點重合,這樣就可以將問題抽象為中點重合模型進行求解.

評析：本題通過數(shù)學抽象,抽象出中點重合的模型,注重對數(shù)學運算的考查,中點模型的給出可以簡化運算,而圓錐曲線簡化運算實際上是基于數(shù)學抽象和邏輯推理下的運算簡化,進一步也培養(yǎng)了學生的數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng).

二、建構(gòu)模型

應(yīng)用“模型思想”,借助一些現(xiàn)有模型特征構(gòu)建滿足題意的新模型,或通過觀察、分析數(shù)學式子特征,建構(gòu)適當?shù)哪Ｐ?幫助問題更好、更快地解決.

A.-3 B.-2 C.0 D.1

評析：本解法先通過對模型的初步識別,發(fā)現(xiàn)這個模型與兩角和余弦公式的模型類似,由此受到啟發(fā),通過待定系數(shù)法建構(gòu)合理的建模,實現(xiàn)從特殊到一般,再從一般到特殊的轉(zhuǎn)化,實際上也是數(shù)學抽象的培育過程.

例5 (第22題)已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.

(1)當a=1時,討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當x>0時,f(x)<-1,求a的取值范圍;

評析：引導學生分析觀察數(shù)學式子,猜測探究適當?shù)臄?shù)學結(jié)論,給出解釋或證明,培養(yǎng)學生直觀想象,數(shù)學抽象,邏輯推理,數(shù)學建模核心素養(yǎng).

三、結(jié)語

“模型思想”的培養(yǎng),不止可以幫助學生快速地挖掘或建構(gòu)合理的模型來解決問題,從而有效地簡化求解途徑,還能通過數(shù)學建模的過程,提高學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.在“模型思想”的培養(yǎng)過程中,教師要引導學生用數(shù)學的眼光去觀察,用數(shù)學的思維去思考,用數(shù)學的語言去概括,進一步使學生掌握必備的基礎(chǔ)知識和關(guān)鍵能力,培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算等素養(yǎng).