鄭蓉蓉, 蔣逸卿, 唐恒鈞

(浙江師范大學教育學院,浙江 金華 321004)

《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)》指出,科學精神是學生必須具備的,能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力之一,具體包括理性思維、批判質(zhì)疑、勇于探究等基本要點.科學精神是一個學科超越性的概念,它指的并不是科學學科中的精神,而是各個學科中蘊涵的求真求實、開拓創(chuàng)新等優(yōu)秀精神品質(zhì).這些精神品質(zhì)正是米山國藏所提出“更高更好的教育”中的重要元素[1].

科學精神是能教育的,但它并不會從數(shù)學中自覺地轉(zhuǎn)移到學生身上,而需要通過教育過程中有意識地滲透與培養(yǎng)才能達成.現(xiàn)有研究認為數(shù)學史融入教學是培養(yǎng)科學精神的重要手段之一[2].但對于什么樣的數(shù)學史才能培養(yǎng)科學精神,如何設(shè)計數(shù)學史教學才能更好地培育科學精神并未做出更多的探索.基于此,筆者將分析對科學精神培養(yǎng)有重要價值的數(shù)學史形態(tài),以二項式定理為例,討論培養(yǎng)科學精神的教學策略系統(tǒng).

1 培養(yǎng)科學精神的重要數(shù)學史形態(tài)

數(shù)學史具有不同的形態(tài),可以分為數(shù)學概念形成史、數(shù)學名人史、數(shù)學名題史、數(shù)學名著史、數(shù)學證明方法史以及其他歷史[3].那么究竟哪些數(shù)學史形態(tài)在培養(yǎng)科學精神上具有更強的適切性?

從科學精神的3個基本要點的主要表現(xiàn)(見表1)來看,每種數(shù)學史都或多或少能與基本要點產(chǎn)生交集,但數(shù)學概念形成史、數(shù)學證明方法史、數(shù)學名人史這3種數(shù)學史形態(tài)與科學精神培養(yǎng)的3個方面最為契合.

表1 科學精神基本要點與主要表現(xiàn)

第一,以逐漸完備的數(shù)學概念形成史培養(yǎng)學生的理性思維.理性思維是基于證據(jù)和邏輯推理的一種思維方式[4],因此對學生理性思維的培養(yǎng)應(yīng)當以證據(jù)意識和邏輯能力為著力點,使學生具備尋找證據(jù)與審視證據(jù)的自覺.教學中教師呈現(xiàn)的往往是數(shù)學發(fā)展的最終結(jié)果,學生缺乏舉證辨?zhèn)巍⒎治鐾评淼臋C會,談何理性思維的培養(yǎng).弗賴登塔爾也強調(diào),數(shù)學教育不能從已經(jīng)是最終結(jié)果的那些完美的數(shù)學系統(tǒng)開始.呈現(xiàn)一個數(shù)學概念的形成過程,能夠讓學生感受數(shù)學概念形成的每一步都有據(jù)可依,經(jīng)歷立證又推翻的過程才使得概念逐漸完善.

第二,以多重視角的數(shù)學證明方法史啟發(fā)學生的批判質(zhì)疑.批判質(zhì)疑是科學精神的核心,指人面對既有認識和規(guī)矩的一種態(tài)度,表現(xiàn)出凸顯問題意識與批判質(zhì)疑態(tài)度的重要性,對經(jīng)驗和權(quán)威能有自己的辯證思考而不是簡單接受,因此應(yīng)當從學生看待事物的視角入手培養(yǎng)學生批判質(zhì)疑的習慣.歷史上數(shù)學家們樂于尋找不同方法,從不同角度證明同一個數(shù)學結(jié)論,這些方法對學生的思維都具有一定的啟發(fā)意義.在歷史脈絡(luò)中比較數(shù)學家們提供的不同方法,其中有值得欣賞與品味的地方,也可能有需要批判與質(zhì)疑的地方,審視過程中能夠啟發(fā)學生的辯證思考,正視經(jīng)驗與權(quán)威.如勾股定理至少有370余種證明方法,角度各異,想法新穎,值得細細品味.

第三,以尋求真理的數(shù)學名人史鼓勵學生勇于探究.勇于探究的關(guān)鍵在“勇”,沒有“勇”,即便學生有批判質(zhì)疑的愿望與能力,也無法挑戰(zhàn)主導性經(jīng)驗與權(quán)威[5].因此,要為學生樹立良好的榜樣引領(lǐng),鼓勵學生大膽提出看法,不畏困難、積極嘗試.數(shù)學史是人類不斷尋求真理的歷史,數(shù)學家們在尋求真理的路途中前赴后繼,他們執(zhí)著追求的精神、刻苦鉆研的毅力、勇攀高峰的勇氣,起到了優(yōu)秀的榜樣示范作用,能夠作為教育素材以激發(fā)學生探索真理、直面困難的勇氣.如笛卡爾勇于對當時權(quán)威的平面幾何提出質(zhì)疑,立志建立起使算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一的新的幾何學——解析幾何,帶領(lǐng)歐洲進入變量數(shù)學時期.

2 教學策略系統(tǒng)構(gòu)建

培養(yǎng)科學精神的數(shù)學史教學需要基于對數(shù)學知識與數(shù)學史料的充分理解,聚焦科學精神的基本要點,遵循歷史發(fā)展脈絡(luò),合乎數(shù)學邏輯與學生心理邏輯.在實踐層面,分析史料是基礎(chǔ)與前提,學生的學習過程就是歷史過程的簡約化,基于HPM的學習過程涵蓋“提出問題、分析問題、解決問題、總結(jié)”這4個環(huán)節(jié).學習過程必須以原則為導向才能更好地培養(yǎng)科學精神,包括在活動內(nèi)容中滲透精神內(nèi)核,在活動過程中關(guān)注學生體驗,在活動結(jié)果中注重精神凝練等.由此形成的教學策略系統(tǒng)如圖1所示.

圖1

2.1 以史料分析結(jié)果為依據(jù)尋找教學切入點

培養(yǎng)科學精神的數(shù)學史教學在設(shè)計與實施前必須先進行史料分析,以史料分析結(jié)果為依據(jù)尋找教學的切入點.

首先需要分析史料與科學精神基本要點的契合部分及契合程度.3種重要數(shù)學史形態(tài)中所蘊涵的逐漸完備、多重視角、尋求真理的精神內(nèi)核是理性精神、批判質(zhì)疑、勇于探究的重要體現(xiàn).史料素材中體現(xiàn)精神內(nèi)核的多少和程度,與史料素材的教育價值與應(yīng)用價值息息相關(guān).

史料的選擇既需回應(yīng)知識的訴求,也需蘊涵科學精神.數(shù)學教學中既需要從史料中尋找知識的生長點,實現(xiàn)數(shù)學知識的教學;更需要充分發(fā)揮科學精神對學生學習的啟發(fā)意義與感召作用,傳承科學精神.

選擇史料后,必須對史學形態(tài)的數(shù)學史料進行教育形態(tài)的改造,才能更好地服務(wù)于教學.將數(shù)學史料“問題化”是把數(shù)學史學形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的有效路徑[6].通過啟發(fā)與引導,引領(lǐng)學生走入問題情境、發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析與解決問題.

2.2 基于HPM的學習過程

在史料分析的基礎(chǔ)上,形成以原則為導向的、基于HPM的學習過程.

提出問題環(huán)節(jié)意在真實的問題情境中引發(fā)學生真實的疑問,促進學生主動探索發(fā)現(xiàn).真實的疑問是教學行進的不竭動力,這些疑問可以源自歷史、生活或數(shù)學發(fā)展等.

分析問題是提出問題與解決問題之間的過渡.高中階段學生的問題解決能力有限,尚未完全形成解決問題的一般思路,需要教師依據(jù)學生的思維水平為學生構(gòu)建學習支架,引導學生從何種角度、哪種方向思考與分析.

解決問題環(huán)節(jié)能夠檢驗學生是否習得解決問題的一般思路,遷移內(nèi)化得到多種解決方法.教師可以適當引進古人的解決方法,引導學生欣賞與品鑒,從古人的解決思路中獲得體悟與啟發(fā).

總結(jié)提煉階段是教學的升華點所在.培養(yǎng)科學精神的數(shù)學史教學蘊涵著豐富的思想與精神,學生經(jīng)歷了與數(shù)學發(fā)展歷史、與數(shù)學家們親密接觸的過程,獲得不一般的數(shù)學體驗,教師需要為學生提供表達自我的平臺與機會,深化學生的所思所感.

2.3 科學精神引領(lǐng)的活動組織原則

培養(yǎng)科學精神的HPM教學具有極強的導向性,導向的核心便是科學精神.

首先,在活動內(nèi)容中滲透精神內(nèi)核,以潛移默化的方式影響學生.蘊涵于數(shù)學史中的逐漸完備、多種視角、尋求真理的精神內(nèi)核是科學精神的高度凝練,附著在史料素材之上,滲透于活動內(nèi)容之中,能夠?qū)W生的思想與思維產(chǎn)生潛移默化的影響.

其次,在活動過程中關(guān)注學生體驗,帶動積極的情感交互.數(shù)學體驗是學生素養(yǎng)形成與發(fā)展的核心環(huán)節(jié),優(yōu)質(zhì)的情感體驗離不開開放的數(shù)學課堂氛圍與真實的數(shù)學問題情境.在此學習環(huán)境中能喚起學生真實的情感活動,對學生數(shù)學學習產(chǎn)生積極的影響.

再次,在活動結(jié)果中注重精神凝練,深化學生的所思所感.科學精神的培養(yǎng)是最終目的,但科學精神并不會從數(shù)學中自覺地轉(zhuǎn)移到學生身上,需要教師有意識地培養(yǎng)與滲透,注重總結(jié)與提煉.

3 培養(yǎng)科學精神的數(shù)學史教學實例

筆者以二項式定理為例,說明如何依據(jù)教學策略系統(tǒng)設(shè)計教學,實現(xiàn)科學精神的滲透培養(yǎng).

3.1 史料分析

3.1.1 契合點分析

綜觀二項式定理的發(fā)展歷史[7],數(shù)學證明方法史占據(jù)重要地位,但逐漸完備、尋求真理的精神內(nèi)核依舊在史料中有所體現(xiàn).

1)多重視角的二項式定理證明方法.

1654年,帕斯卡借助排列組合的有關(guān)知識,得到了二項式系數(shù)的一般公式,最早建立了一般正整數(shù)次冪的二項式定理:

(1)

1742年,英國數(shù)學家馬克勞林用求導法同樣證明了二項式定理指數(shù)為正整數(shù)的情況,甚至更進一步證明了一般有理數(shù)情形.首先設(shè)

(a+x)n=A0+A1x+A2x2+…+Anxn,

(2)

這便是二項展開式的系數(shù),代入式(2)即得二項式定理.

2)逐漸完備的二項式定理概念.

從1654年帕斯卡建立一般正整數(shù)次冪的二項式定理以來,數(shù)學家們一直致力于將(a+b)n(其中n∈N*)的項數(shù)與冪推廣到一般情形.1695年,萊布尼茨與伯努利首次對二項式的項數(shù)推廣,得到多項式定理(a1+…+am)n(其中m,n∈N*)的一般表達式.1665年英國數(shù)學家牛頓在研究數(shù)學問題之初就考慮有理數(shù)次冪的二項展開式.18—19世紀,蒙特摩爾、卡斯蒂隆、歐拉以及柯西對冪的推廣展開持續(xù)研究與證明,最終將二項式定理的冪推廣至一般的復數(shù)情形.這一過程也揭示了數(shù)學研究的發(fā)展趨勢便是盡可能一般化.

3)尋求真理的數(shù)學家精神.

二項式定理從雛形發(fā)展到成熟,離不開眾多數(shù)學家的努力與奮斗.數(shù)學家們并不滿足于單一的證明,又從不同視角提出多樣的方法,他們精益求精的研究態(tài)度值得我們學習.同時數(shù)學家們在二項式定理的推廣的過程中不懈奮斗、刻苦鉆研,為心中的真理矢志不渝,是我們心中優(yōu)秀的榜樣.

3.1.2 史料選擇

二項式定理教學需要思考的重點是二項式定理為何引入以及如何引入.前者與二項式定理的起源有關(guān),后者與二項式定理的證明有密切聯(lián)系.

二項式定理起源于開高次方根的需要,《九章算術(shù)》中呈現(xiàn)了與生產(chǎn)、生活息息相關(guān)的開高次方根需要的問題,以此激發(fā)學生強烈的好奇心:古人在沒有電子設(shè)備的情況下是如何實現(xiàn)開高次方根的?

探究二項式定理的一種比較自然的想法是觀察分析幾個具體的二項展開式,從中歸納一般二項展開式的規(guī)律.有些規(guī)律是比較容易發(fā)現(xiàn)的,比如項數(shù)、冪指數(shù)等,但系數(shù)的一般形式難以從中歸納得到.在教學中,可以沿著“從特殊到一般”的設(shè)計思路,除了使(a+b)n的冪n特殊化,還可將括號內(nèi)元素特殊化,這便是卡斯蒂隆的證明方法.在此基礎(chǔ)上引導學生發(fā)現(xiàn)帕斯卡證明方法.馬克勞林的求導法可拓展使用.

二項式定理的推廣是繼續(xù)一般化的過程,依然處于從特殊到一般的教學脈絡(luò)之中,對學生研究數(shù)學問題具有啟發(fā)意義.

綜上,二項式定理教學選擇《九章算術(shù)》的問題引入,以卡斯蒂隆的證明探究為主,引導發(fā)現(xiàn)帕斯卡的證明方法,呈現(xiàn)馬克勞林的證明方法的拓展,并以二項式定理的推廣歷史豐富課堂.

3.1.3 形態(tài)轉(zhuǎn)換

根據(jù)分析結(jié)果,將數(shù)學史料問題化,實現(xiàn)教育形態(tài)改造(見表2).

3.2 基于HPM的學習過程

3.2.1 提出問題

問題情境《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學發(fā)展史中最重要的著作之一,全書采用問題集的形式,收有246個與生產(chǎn)、生活實踐有聯(lián)系的應(yīng)用問題.其中記錄了這樣一個問題“今有積六萬三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七,問:為立方幾何?”翻譯成我們熟悉的單位便是“如今已知體積為74立方米,問:變成正立方體,它的邊長是多少?”

教師活動借助PPT為學生簡單介紹古人估算三次方根的操作.

設(shè)計意圖以《九章算術(shù)》中的問題引入,使學生真切地感受到估算三次方根在古代的需要,真實地產(chǎn)生古人是如何估算的疑問.進而引出估算高次方根的方法,使學生充分感受古人的智慧與數(shù)學的魅力,同時也為后續(xù)學習(a+b)n展開式的必要性做好鋪墊.

設(shè)計意圖二項式定理起源于開高次方根的需要,此問題與二項式定理的起源不謀而合,體現(xiàn)了學習二項式定理的必要性.

3.2.2 分析問題

師:如何明確(a+b)n展開式的情況?從特殊到一般,我們應(yīng)如何入手研究?

設(shè)計意圖在點明本節(jié)課的學習主題的同時,為學生提供了一個廣闊的、多角度的探索空間,教師給予學生適時的引導,為學生提供思考方向.

師:觀察當n=1,2,3時的展開式情況,是否存在規(guī)律?

設(shè)計意圖利用從特殊到一般的數(shù)學思想方法,引導學生發(fā)現(xiàn)項數(shù)、冪指數(shù)的規(guī)律,由此確定展開式中除系數(shù)外的一般情況,得到(a+b)n=A0anb0+A1an-1b1+…+Ana0bn,其中第k+1項的一般形式為Akan-kbk(其中k=0,1,2,…,n),因而將問題的研究重點轉(zhuǎn)移到確定系數(shù)的一般形式上.

師:我們把次數(shù)一般化,得到一些展開式的規(guī)律.現(xiàn)在如果再將元素特殊化,將(a+b)n轉(zhuǎn)化為(a+b1)(a+b2)…(a+bn),計算當n=1,2,3時的情況,有何發(fā)現(xiàn)?

設(shè)計意圖貫徹從特殊到一般的數(shù)學思想方法研究問題,卡斯蒂隆的方法能夠使學生對展開式每一項的形成更加明確,也為歸納系數(shù)的一般形式奠定基礎(chǔ).

3.2.3 解決問題

師:觀察展開式,我們發(fā)現(xiàn)每一項的結(jié)果都是從每個括號內(nèi)挑選一個數(shù)組合而成,如當n=3時,a3是選定每個括號內(nèi)的a相乘得到,ab2b3是選定第一個括號內(nèi)的a和第二、三個括號內(nèi)的bi相乘得到.當n=4時,由一個a與3個bi相乘得到的項共有幾個?

師:從特殊到一般,在(a+b1)(a+b2)…(a+bn)的展開式中,由n-k個a與k個bi相乘得到的項一共有幾個?

師:若現(xiàn)在令所有bi=b,你發(fā)現(xiàn)了什么?

師:現(xiàn)在你能寫出(a+b)n的展開式情況了嗎?

教師活動引導學生總結(jié)二項式定理,向?qū)W生介紹證明方法的發(fā)現(xiàn)者卡斯蒂隆.

設(shè)計意圖在采用卡斯蒂隆的方法得到二項式定理的過程中,始終貫徹從特殊到一般的數(shù)學思想方法,使學生對“從特殊到一般”形成更深刻的理解與認識,從而提高今后學習中遷移運用的可能性.

師:還有其他方法可以證明二項式定理嗎?

生4:可以直接對(a+b)n每個括號內(nèi)的數(shù)進行排列組合.

設(shè)計意圖卡斯蒂隆與帕斯卡的方法一脈相承,都與排列組合有關(guān).因此,以卡斯蒂隆的方法為始,能夠為學生搭建聯(lián)想的橋梁,得到直接利用排列組合方法得到二項式定理的靈感.

師:英國數(shù)學家馬克勞林與以上兩位不同,是利用我們前面學習過的導數(shù)探尋系數(shù)的一般形式.

教師活動PPT展示并講解馬克勞林的方法.

設(shè)計意圖引進歷史上數(shù)學家證明的其他視角,供學生選擇與比較,啟發(fā)學生不能用狹隘的眼光思考問題,而應(yīng)將問題放到完整的知識體系當中進行思考.

3.2.4 總結(jié)提煉

師:現(xiàn)在我們學習了二項式定理的3種證明方法,請大家回過頭來細細品味這3種方法,有何想法?是否存在不足之處?

設(shè)計意圖在品味過程中,有學生會認為卡斯蒂隆的方法清晰地標注了多項式來源,容易歸納系數(shù)的一般形式,較為基礎(chǔ);也有學生認為馬克勞林的求導法更具普適價值,在不是正整數(shù)時也能夠進行求導.在吸收數(shù)學家們證明方法中價值點的同時,學生也能夠正視這些以往被認為是“權(quán)威”的方法,鍛煉自身辯證思考能力的同時也逐漸養(yǎng)成批判質(zhì)疑的習慣.

師:今天的課程中有一個高頻詞“從特殊到一般”反復出現(xiàn),大家認為我們得到的二項式定理足夠一般化了嗎?

師生活動學生積極討論,教師為學生介紹二項式定理的項與冪指數(shù)逐步推廣的歷史以及其中數(shù)學家們不懈奮斗的過程.

設(shè)計意圖將二項式定理的學習浸潤在數(shù)學史當中,增添了數(shù)學的人文氣息,提升了學生的真實體驗感.學生也能從數(shù)學家們?yōu)槎検蕉ɡ淼耐茝V不懈奮斗的故事中收獲勇于探究的動力,在逐漸完備的歷史發(fā)展中感悟數(shù)學的一般性與嚴謹性,培養(yǎng)理性思維.

師:經(jīng)過這節(jié)課的學習,大家有什么收獲?

師生活動共同討論.

科學精神是學生面臨多變的時代環(huán)境所必須具備的基本素養(yǎng),如何培養(yǎng)科學精神也應(yīng)當有明確的指向.科學精神的培養(yǎng)重在滲透,而數(shù)學史是滲透科學精神的重要載體,能夠?qū)⒖茖W精神落實到實實在在的數(shù)學史料上,更好地達到培養(yǎng)效果.本文提出培養(yǎng)科學精神的重要數(shù)學史形態(tài)與教學策略系統(tǒng),為一線教師的實踐提供了參考.但必須明確的是,科學精神的培養(yǎng)絕不是一朝一夕就能完成的,需要教師有意識地、不間斷地滲透到教學當中,才能真正實現(xiàn)教育目的.