焦永垚

(蘭州市第六中學,甘肅 蘭州 730060)

1 試題呈現

1)求C的方程.

2)記C的左、右頂點分別為A1,A2,過點(-4,0)的直線與C的左支交于點M,N,且點M在第二象限,直線MA1與NA2交于點P．證明:點P在定直線上．

(2023年全國數學新高考Ⅰ卷第21題)

2 試題溯源

試題以雙曲線為背景,考查學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養(yǎng)．筆者發(fā)現,例1與以下幾道題同根同源:

1)求E的方程.

2)證明:直線CD過定點．

(2020年全國數學高考Ⅱ卷理科第20題)

不難發(fā)現,例1與例2高度相似,不同點在于:1)兩道題分別以雙曲線和橢圓為背景;2)兩道題第2)小題的條件和結論互換,即例1為例2的逆向考查．

例3已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(其中m∈R)．

1)若曲線C是焦點在x軸上的橢圓,求m的取值范圍.

2)設m=4,曲線C與y軸的交點為A,B(其中點A位于點B的上方),直線y=kx+4與曲線C交于不同的點M,N,直線y=1與直線BM交于點G．求證:點A,G,N共線．

(2012年北京市數學高考理科試題第19題)

筆者發(fā)現,例1又是例3的另一種逆向考查.若將例1第2)小題改為“記C的左、右頂點分別為A1,A2,過點(-4,0)的直線與C的左支交于點M,N,直線x=-1與直線MA1交于點P．求證:點A2,P,N共線”,則兩道試題的考查方式就完全一致了,同類考查方式還可在教材中找到原型:

例4設拋物線y2=2px(其中p>0)的焦點為F,經過點F的直線交拋物線于點A,B,點C在拋物線的準線上,且BC∥x軸,求證:直線AC經過原點O．

(新蘇教版《普通高中教科書·數學》(選擇性必修第一冊)第115頁第11題)

此題中由于拋物線只有一個頂點,故可把拋物線的另一個頂點看成“無窮遠點”,這就是題目中的條件“BC∥x軸”的含義．

1)求橢圓C的方程.

(2020年福建省高中數學競賽預賽第12題)

不難發(fā)現,例1與例5除了背景不同外,第2)小題的考查方法幾乎完全一致.可以證明,例5中的點T在一條定直線(即橢圓C的右準線)上．

對于此類問題的解法,筆者在文獻[1]中進行了詳細闡述,因此例1的解法本文不再贅述,下面對例1進行一般化探究．

3 試題探究

3.1 縱向探究

經探究發(fā)現,若將試題中的雙曲線一般化,則點P仍在一條定直線上,于是有如下結論:

證明設直線MN的方程為x=ty+m,與雙曲線C的方程聯立,消去x,得

(b2t2-a2)y2+2b2tmy+b2m2-a2b2=0,

其中b2t2-a2≠0,且由Δ>0可得

b2t2-a2+m2>0．

設M(x1,y1),N(x2,y2),則

評注在結論1中若取m=-4,a=2,則可得例1中的點P在定直線x=-1上．

由極點與極線的理論可知,結論1中的點P所在直線恰好為點T(m,0)所對應的極線,此結論是巧合還是對一般的極點極線也成立呢?我們首先來看圓錐曲線極點與極線的定義:

定義1(幾何定義)設P是不在圓錐曲線上的點,過點P引兩條割線依次交圓錐曲線于4個點E,F,G,H,聯結EH,FG交于點N,聯結EG,FH交于點M,則直線MN為點P對應的極線．若P為圓錐曲線上的點,則過點P的切線即為極線．

定義2(代數定義)已知圓錐曲線Γ:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,則稱點P(x0,y0)和直線l:Ax0x+Cy0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0是圓錐曲線Γ的一對極點和極線．

由極點與極線的幾何定義可快捷地得到結論1中點P所在的定直線:直線A1A2與MN交于點T(m,0),則由極點與極線的幾何定義可知點P必在點T(m,0)所對應的極線上,再由極點與極線的代數定義可知點T(m,0)所對應的極線方程為

即

同樣地,由極點與極線的兩個定義,可以輕松得到如下結論:

3.2 橫向探究

我們還可將結論1和結論2類比推廣到橢圓和拋物線中:

若把拋物線的另一個頂點看成“無窮遠點”,則有如下結論5:

結論5已知拋物線C:y2=2px(其中p>0),點T(m,0)(其中m≠0)為x軸上任意一點,過點T的直線與拋物線C交于點M,N.若過點M且與x軸平行的直線與直線NO交于點P,則點P在定直線x=-m上．

結論6已知拋物線C:y2=2px(其中p>0),過點T(m,n)(點T不在C上)的直線與拋物線C交于點M,N,過點T的另一直線與C交于點A,B.若MA與NB交于點P,則點P在定直線ny=p(x+m)上．

3.3 逆向探究

受例2～4的啟發(fā),我們還可對上述結論進行逆向推廣:

分析如圖1,由極點與極線的幾何定義可知直線MN與直線AB的交點在點P的極線上,只需證明點P的極線過點T(m,n).

圖1

設P(x0,y0),則點P的極線方程為

故點T(m,n)的坐標滿足直線

即點P的極線過點T(m,n)．而點P在直線l上,從而點P的極線必共點,且該點為直線l的極點,此點即為直線MN恒過的定點,故直線MN恒過點T(m,n)．

分析由極點與極線的幾何定義可知直線MA與直線BN的交點在點T的極線l上,從而直線MA、直線BN及直線l共點,故點B,P,N共線．

結論11已知拋物線C:y2=2px(其中p>0),點P為點T(m,n)(點T不在C上)的極線l:ny=p(x+m)上的動點,過點T的直線與C交于點A,B,直線PA,PB與C的另一個交點分別為點M,N,則直線MN恒過點T(m,n)．

結論12已知拋物線C:y2=2px(其中p>0),點T(m,n)(點T不在C上)關于拋物線C的極線為l:ny=p(x+m),過點T的直線與C交于點A,B,過點T的另一直線與C交于點M,N,直線MA交l于點P,則點B,P,N共線．

以上結論的證明過程略．

4 感悟反思

從歷年的高考試題可以看出,很多高考圓錐曲線試題的命制都以極點、極線理論為指導．雖然極點與極線的知識不屬于高考考查的內容,但是了解極點與極線的相關知識,能夠幫助學生快速明確解題方向,能夠培養(yǎng)學生探究問題和解決問題的能力．在例1中,如果學生了解極點與極線的相關知識,那么就很容易預見點P所在的定直線就是點(-4,0)所對應的極線,即直線x=-1,這為學生指明了解題的方向．另外,許多高考試題都可以從教材例題、習題以及往年的高考題中找到原型,因此在備考復習中,我們要做好以下幾點:1)回歸教材,立足于教材,對教材上的典型例題或習題加以概括、提高和延伸,以達到觸類旁通的效果;2)重視往年高考題的導向作用,在臨考前要讓學生做一些歷年高考中的經典試題,對這些試題的解法、命題背景、一般規(guī)律等進行總結歸納(如果學生考前對例2的解法、命題背景、一般規(guī)律等做過總結和歸納,那么在面對例1時相信不會有困難);3)在解題教學中,要用深度教學促進深度學習,力求達到“解一題,懂一法,會一類,通一片”的目標,要教會學生高位審視問題,深刻識別隱藏在題目背后的本質,這樣才能在考試中“臨危不亂”,才能做到“會當凌絕頂,一覽眾山小”．