孫杭哲, 孫波英

(慈溪中學,浙江 慈溪 315300)

在2023年3月的寧波十校聯(lián)考和4月的寧波二模考試中,都出現(xiàn)了零點大小關系的相關問題.寧波十校聯(lián)考中的壓軸題以極其“詭異”的形式難倒了一眾學生,又以簡約、質樸無華的解法驚艷了所有人.驚嘆、贊賞之余,筆者仔細揣摩,似乎洞察出此題的核心,擬從不同視角對這一試題進行多元分析,以此猜想參考答案的由來以及函數擬合與不等式放縮的內在聯(lián)系,彰顯數學思想在解題中的引領作用,并談談筆者對于今后導數復習備考的一點看法與建議.

例1已知函數f(x)=|x-1|ex和g(x)=a|x|的圖象共有3個不同的交點,并且它們的橫坐標從左到右依次記為x1,x2,x3.

1)求實數a的取值范圍;

2)求證:2x3-x2+x1<2a.

(2023年浙江省寧波市十校聯(lián)考數學試題第22題)

1 解題預備

例1和后文的例2解題中要用到的經典放縮式如下(可作為二級結論):

1)ex≥x+1.

2)ex≥ex.

本文僅對例1第2)小題重點分析,為便于后文的分析,先對第1)小題進行解答.

1)解顯然,xi≠0,其中i=1,2,3,則

根據趨勢分析可得函數h(x)的圖象如圖1所示,故a>0,且x1<0

圖1

2 解法分析

以下重點對第2)小題進行分析:

待證不等式雖為三元,但變量間彼此關聯(lián).比較自然的想法是對其進行拆分,化歸為熟悉的類型.拆分的方式分為兩種:1)x1+x2+2(x3-x2)<2a;2)(x3-x2)+x1+x3<2a.利用對稱構造法不難得到x1+x2<0,證明的重點在于x3-x2

思路1結合函數圖象,該函數為下凸函數,在其外側必定存在兩條切線可以把它“包住”,并且由此得到的兩個零點很容易解出,以此為橋梁即可得證.

圖2

該切線放縮的本質即ex≥ex.

由此可見,切線放縮只不過是線性擬合的一種,在一定程度上會將不等式變緊,但能得到降低證明難度的效果.解題時可根據需要選擇特定的直線,而不應局限于“切線”.值得注意的是,割線擬合也是一種線性擬合手段.

思路2思路1利用ex≥ex進行放縮,然而ex≥x+1更為常見,能否仿照思路1求解呢?

則

函數的大致圖象如圖3所示,故|x2-x3|<|x4-x5|=a.

圖3

這就是參考答案給出的解法:

從而

2x3-x2+x1<2a.

對上述解法進行優(yōu)化,即得解法3:

即

兩式相加,得

x1+x3

同理可得

兩式相加,得

x3-x2

從而

2x3-x2+x1<2a.

事實上,解法2和解法3殊途同歸.

3 拓展延伸

探究問題往往比得到答案更有價值.答案的作用是在苦苦思索與探究無果之后,提供一種可能的思路.但答案的負面作用也很明顯——它會大大限制你的思維.因此,從答案中汲取經驗,為今后的解題服務,這才是答案的價值.

此題的參考答案從一定程度上解釋了可利用“函數擬合”方法解題的原因.無論是零點差還是零點和、零點積,其實都是在研究函數零點之間的大小關系.如果零點可以解出,那么就轉化為不等式進行求證.但大多數情況下,由于ex,lnx等元素的存在,方程往往是超越方程,不可解.可以嘗試使用其他函數來逼近它,由此得到零點的大小關系.這在幾何上是函數擬合(函數逼近);在代數上,是解不等式、解方程.

泰勒擬合是函數擬合的一種常用方法,即利用待定系數法在極值點處用二次函數、對勾函數擬合.但此方法有時精度不夠,局限性較強.例1提供了另一種對學生而言切實可行的操作方案——利用熟知不等式進行放縮、擬合.下面再通過例2對此方法進行深入分析.

(2023年浙江省寧波市高三數學第二次模擬試題第22題)

圖4

lnm1+lnm2>1+ln(2a).

因為

lnx-ax2=0,

即

lnx2-2ax2=0,

所以

lnm-m-ln 2a=0,

于是只需證m1+m2>1-ln(2a).考慮使用

代入擬合即可(下略).

評注上述兩種解法都用到了同一個不等式,參考答案中使用的對數均值不等式其實也來源于此.只要找到命題時的“母函數”,各種方法都可以信手拈來.

3 總結

本文從例1的自然解法入手,從切線擬合到雙曲擬合,從特殊的切線到一般的放縮式,并由此拓展介紹了函數擬合在解決零點大小相關問題時的多角度應用.

零點和、差、積、商問題中必定存在等式,其實質是利用等式證明不等式,“放縮式”溝通了“等”與“不等”,在超越式與有理式之間架起了橋梁.導數的本質在于“于細微處化曲為直”,函數擬合思想的重要性可見一斑.同時,換元思想對于簡化問題起著重要作用,通過換元法構建新的不等式是一種常用方法.解題時可根據需要對函數進行平移、伸縮變換.

在新高考的背景下,回歸本質成為復習備考的重中之重.在教材中,對于函數逼近留下了不少可圈可點的試題.在教學中,教師應利用已有習題、深挖內涵,向學生灌輸這一思想.作為學生,養(yǎng)成畫圖意識十分重要.數缺形時少直觀,形少數時難入微,一個個的放縮式并不是孤立的代數式,而是有其深刻的幾何內涵.如果將二者割裂,那么無疑是囫圇吞棗,不得要領.

本文旨在揭示一類零點范圍問題的本質,并提供一種命題的思路.但函數擬合對于高等數學知識有限的高中生而言并非是一種通法.命題手段是唯一的,但解題方法是多元的,目光不應禁錮于此.