○天津市河?xùn)|區(qū)益壽里小學(xué) 姜 澤

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)（2022 年版）》）中“圖形與幾何”領(lǐng)域的“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”，主要包括立體圖形和平面圖形的認(rèn)識(shí)，線(xiàn)段長(zhǎng)度的測(cè)量，以及圖形的周長(zhǎng)、面積和體積的計(jì)算等內(nèi)容。

量感作為《課標(biāo)（2022 年版）》在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)之一，是指對(duì)事物的可測(cè)量屬性和大小關(guān)系的直觀(guān)感知。建立量感有助于養(yǎng)成用定量的方法認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的習(xí)慣，是形成抽象能力和應(yīng)用意識(shí)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)的《面積》單元承上啟下，是在學(xué)生掌握了長(zhǎng)方形、正方形的特征和理解周長(zhǎng)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，也是建立量感的重要載體。我們可以實(shí)施單元整體教學(xué)，以一條主線(xiàn)貫穿的策略幫助學(xué)生體會(huì)度量的意義，即從一維空間（長(zhǎng)度）→二維空間（面積）→三維空間（體積），感悟度量的本質(zhì)。

如何通過(guò)“面積和面積單位”的學(xué)習(xí)建立量感，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀(guān)念呢？我認(rèn)為，應(yīng)基于學(xué)習(xí)路徑分析設(shè)計(jì)真實(shí)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生積極主動(dòng)地探索，在深度體驗(yàn)中將量感內(nèi)化于心，并自然生長(zhǎng)。

一、基于起點(diǎn)分析，規(guī)劃教學(xué)路徑

從認(rèn)知領(lǐng)域看，由范希爾夫婦研究的幾何思維水平可知，三年級(jí)學(xué)生處于直觀(guān)水平——整體地認(rèn)識(shí)幾何對(duì)象，即能根據(jù)對(duì)形狀的操作解決幾何問(wèn)題，但無(wú)法使用圖形的特征或要素名稱(chēng)來(lái)分析圖形，也無(wú)法對(duì)圖形進(jìn)行概括的論述，興趣還受制于學(xué)習(xí)內(nèi)容能否吸引注意。

為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，即對(duì)面積的理解程度，我對(duì)學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)，分析如下：當(dāng)周長(zhǎng)與面積同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，學(xué)生能在理解周長(zhǎng)的基礎(chǔ)上用排除法找尋面積；對(duì)面積的含義處于可意會(huì)無(wú)法言傳的狀態(tài)；在大小有明顯區(qū)別的情況下，學(xué)生能準(zhǔn)確、快速地比較面積。學(xué)生通過(guò)生活經(jīng)驗(yàn)或知識(shí)遷移得到的對(duì)面積最樸素的理解，正是教師在課堂教學(xué)中可以利用的學(xué)習(xí)資源。

此階段學(xué)生對(duì)抽象的“面”感知模糊，不具備借助一個(gè)小圖形先測(cè)量再比較的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)“只有封閉的平面圖形才有面積”理解不透，描述面積存在一定困難，需借助畫(huà)圖說(shuō)明，對(duì)抽象的面積概念的構(gòu)建尚依賴(lài)于直觀(guān)。

課堂教學(xué)應(yīng)通過(guò)操作豐富學(xué)生的體驗(yàn)，夯實(shí)學(xué)生對(duì)面積的理解，建立面積的數(shù)學(xué)模型。三年級(jí)學(xué)生可以在認(rèn)識(shí)平面圖形和學(xué)習(xí)周長(zhǎng)的基礎(chǔ)上，通過(guò)具身活動(dòng)完成面積和面積單位的構(gòu)建，體驗(yàn)統(tǒng)一和認(rèn)識(shí)常用面積單位的必要性，在感悟中建立空間表象，對(duì)事物的可測(cè)量屬性進(jìn)行直觀(guān)感知，培養(yǎng)量感等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、經(jīng)歷學(xué)習(xí)過(guò)程，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

既然面積是幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從一維空間向二維空間轉(zhuǎn)化的核心內(nèi)容，讓學(xué)生完整經(jīng)歷真實(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程，在積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，清楚“面積”作為一種可觀(guān)察和測(cè)量進(jìn)而辨識(shí)其性質(zhì)的“量”，對(duì)于空間觀(guān)念的形成具有重要價(jià)值。

1.談話(huà)引入，明確學(xué)習(xí)內(nèi)容。

以喬遷新居話(huà)題開(kāi)展交流，聚焦同學(xué)所說(shuō)的“××平方米”并揭示：其實(shí)就是房子的面積，確定本課研究“面積”。

前測(cè)反映學(xué)生感受具體實(shí)物面積比較容易，能理解實(shí)物表面的大小就是面積，但對(duì)“面”二維特征的認(rèn)知還停留在表象上。

2.深入生活，理解面積含義。

以“什么是面積”的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生借助實(shí)物感受：先摸數(shù)學(xué)書(shū)的封面，再摸課桌面。哪個(gè)面積大，哪個(gè)面積??？如果將課桌面和黑板面相比呢？

通過(guò)摸一摸和比一比的活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)物體的表面有大有小，物體表面的大小就是它們的面積。比如數(shù)學(xué)書(shū)表面的大小就是數(shù)學(xué)書(shū)的面積。什么是課桌面的面積？黑板面的面積呢？

組織學(xué)生看一看，數(shù)學(xué)書(shū)的表面是什么形狀的？引導(dǎo)：物體表面的形狀可以看作一個(gè)封閉圖形，比如長(zhǎng)方形。

出示一組平面圖形（如下圖）：長(zhǎng)方形、圓、平行四邊形和一個(gè)不封閉的圖形，以“哪個(gè)圖形是封閉圖形”為核心問(wèn)題引發(fā)思考，得出結(jié)論：前三個(gè)是，最后一個(gè)因缺了一塊兒導(dǎo)致兩個(gè)端點(diǎn)未相接，所以不是。

學(xué)生說(shuō)明：如果給它們（前三個(gè)圖形）涂上顏色，涂色部分就是它們的面積。最后一個(gè)如果把兩個(gè)端點(diǎn)連在一起也能涂色，涂色部分就是它的面積。

前測(cè)表明學(xué)生對(duì)平面圖形的面積并非一無(wú)所知，結(jié)合涂色活動(dòng)感悟面積，建立封閉圖形面積的表象，借助第四個(gè)不封閉圖形的涂色結(jié)果，理解不封閉圖形的面積無(wú)法確定，追問(wèn)“怎樣改變就可以涂出它的面積”，從正、反兩個(gè)方面完善學(xué)生對(duì)面積的認(rèn)知，將面積的表象清晰化。

聚焦三個(gè)封閉圖形，由“誰(shuí)的面積最大，誰(shuí)的面積最小”這一問(wèn)題達(dá)成共識(shí)：封閉圖形的大小就是它們的面積。學(xué)生先分別說(shuō)明，后將其合成：物體表面或封閉圖形的大小就是它們的面積。

借助身邊物體的直觀(guān)體驗(yàn)，尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，遵循數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)了面積概念的初步構(gòu)建。

量感的形成需要經(jīng)歷悟的過(guò)程，學(xué)生需要在實(shí)踐中不斷積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)才能建立概念表象。而在操作過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)充分的觀(guān)察、思考和感悟，實(shí)現(xiàn)了在具身體驗(yàn)中體會(huì)量感的產(chǎn)生。

三、借助面積單位，培養(yǎng)學(xué)生量感

度量單位的學(xué)習(xí)是培養(yǎng)量感的關(guān)鍵。作為一個(gè)“量”的概念，面積的形成應(yīng)伴隨包括觀(guān)察、使用工具和比較測(cè)量單位的數(shù)量等測(cè)量活動(dòng)展開(kāi)。我設(shè)計(jì)的多種學(xué)習(xí)活動(dòng)幫助學(xué)生在測(cè)量、操作和體驗(yàn)的過(guò)程中理解面積，從直觀(guān)走向抽象的同時(shí)逐漸感受測(cè)量的本質(zhì)，即用不同大小的“面”來(lái)測(cè)量面積的大小。

1.操作比較，感受面積單位產(chǎn)生。

比較椅子面和門(mén)的面積，明確觀(guān)察是方法。通過(guò)兩個(gè)不同的長(zhǎng)方形猜測(cè)誰(shuí)的面積大時(shí)意見(jiàn)有分歧。操作并說(shuō)明：可以用重疊法比較面積的大小。

師：如果我們測(cè)量教室黑板面的面積，你覺(jué)得選用什么合適？

生：圓。

生：正方形。

比較：用正方形測(cè)量面積既方便又精確。

兩名學(xué)生測(cè)量的結(jié)果：小紅擺了8 個(gè)小正方形；小剛擺了18 個(gè)小正方形。

以“測(cè)量同一個(gè)長(zhǎng)方形的面積，怎么結(jié)果不同”引發(fā)思考和討論，并得出結(jié)論：要知道面積的大小，必須選用統(tǒng)一的面積單位來(lái)測(cè)量。

前測(cè)反映學(xué)生缺乏借助小圖形測(cè)量比較的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)要用形狀規(guī)則的物體測(cè)量面積，減少空隙或無(wú)空隙。學(xué)生在動(dòng)手操作中通過(guò)質(zhì)疑和討論鎖定正方形的普適性，經(jīng)歷由非標(biāo)準(zhǔn)到標(biāo)準(zhǔn)，領(lǐng)悟測(cè)量結(jié)果表達(dá)的一致性，即面積單位在優(yōu)化和比較測(cè)量工具的過(guò)程中產(chǎn)生，同時(shí)感悟度量思想，也為后續(xù)學(xué)習(xí)作必要孕伏。

以學(xué)生已知為起點(diǎn)，將1 平方厘米、1 平方分米和1 平方米作為單元整體教學(xué)主線(xiàn)，將1 平方厘米作為基礎(chǔ)，放大并拉長(zhǎng)學(xué)習(xí)過(guò)程。再將1 平方分米和1 平方米作為提升和延展，實(shí)現(xiàn)面積單位對(duì)于面積概念形成后的遷移和轉(zhuǎn)化。

2.引發(fā)思考，認(rèn)識(shí)常用面積單位。

邊長(zhǎng)1 厘米的正方形，面積是1 平方厘米。學(xué)生猜一猜怎么得到1 平方分米和1 平方米，最后自主概括得出：邊長(zhǎng)1 分米的正方形，面積是1 平方分米；邊長(zhǎng)1 米的正方形，面積是1 平方米。

理解面積含義是不斷豐富認(rèn)知的過(guò)程。課件動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)1 厘米長(zhǎng)的線(xiàn)段變?yōu)? 平方厘米的正方形，幫助學(xué)生從認(rèn)識(shí)長(zhǎng)度到認(rèn)識(shí)面積，感知圖形的變化，培養(yǎng)空間想象力。

度量單位作為測(cè)量物體的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，需要在創(chuàng)造或選擇合適的度量單位的過(guò)程中，定量刻畫(huà)“一個(gè)單位”和感知“幾個(gè)單位”的累加，才能形成度量單位的清晰表象，所以量感的形成需要學(xué)生經(jīng)歷感性→理性和直覺(jué)→思辨的過(guò)程。

四、建立直觀(guān)表象，提升空間觀(guān)念

要理解面積是一個(gè)量，需要學(xué)生在頭腦中建立真實(shí)和具體的1 平方厘米、1 平方分米和1 平方米的空間觀(guān)念。測(cè)量等活動(dòng)可以幫助學(xué)生還原現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境，體驗(yàn)過(guò)程和結(jié)果，實(shí)現(xiàn)操作經(jīng)驗(yàn)向思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的轉(zhuǎn)化。

1.比較應(yīng)用，建立直觀(guān)的面積表象。

開(kāi)啟探究之旅：打開(kāi)學(xué)具袋，有1 平方厘米嗎？為什么會(huì)是它？學(xué)生邊說(shuō)邊量：它的邊長(zhǎng)是1厘米。通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)手指甲面和牙齒面的面積都接近1 平方厘米，再用1 平方厘米測(cè)量郵票面積。

展示學(xué)生拼擺的兩種情況：“數(shù)”面積和“算”面積，都是以度量來(lái)刻畫(huà)面積大小的路徑。測(cè)量為面積的形成奠定了基礎(chǔ)，探索面積計(jì)算的方法深化了學(xué)生對(duì)面積的理解，構(gòu)建了探究長(zhǎng)方形面積與長(zhǎng)、寬之間關(guān)系的支架。

學(xué)具袋中有兩個(gè)不同的正方形：哪個(gè)才是1平方分米呢？

學(xué)生量邊長(zhǎng)時(shí)發(fā)現(xiàn)有個(gè)正方形比1 平方分米大，把它多余的部分剪下來(lái)，剪成邊長(zhǎng)為1 分米的正方形，它的面積就是1 平方分米。

學(xué)生舉例：老師手掌面的面積接近1 平方分米。

師：觀(guān)察很仔細(xì)。再看下，學(xué)具袋里有1 平方米的正方形嗎？

學(xué)生：1 平方米太大了，學(xué)具袋里放不下。

師：（出示1 平方米的布）面積是1 平方米嗎？

學(xué)生用米尺量四條邊長(zhǎng)都是1 米，說(shuō)明它的面積是1 平方米。

用四把米尺圍成一個(gè)大正方形，做小游戲：1平方米約能站多少名同學(xué)？

師：黑板面約有幾平方米？

學(xué)生紛紛猜想并驗(yàn)證。

基于學(xué)習(xí)路徑的量（liàng）感培養(yǎng)，設(shè)計(jì)多種量（liáng）的活動(dòng)，幫助學(xué)生在比較中形成面積單位大小的表象，建立量感。

2.辨析區(qū)分，對(duì)比理解周長(zhǎng)和面積。

（播放動(dòng)畫(huà)）小青蛙對(duì)大白兔說(shuō)：“熊貓大嬸蓋的被子有4 平方分米大?！贝蟀淄谜f(shuō)：“4 平方分米才手帕那么大，熊貓大嬸的被子至少要4 平方厘米那么大?！?/p>

學(xué)生：熊貓大嬸應(yīng)該蓋4 平方米的被子。

（播放動(dòng)畫(huà)）小青蛙又說(shuō)：“大白兔，你的耳朵還真長(zhǎng)，有2 平方分米長(zhǎng)?！?/p>

學(xué)生：應(yīng)該是2 分米。測(cè)量耳朵的長(zhǎng)度不能用面積單位，要用長(zhǎng)度單位。

以“度量還會(huì)繼續(xù)”引發(fā)學(xué)生思考：當(dāng)測(cè)量更大物體的面積時(shí)，現(xiàn)有的面積單位不夠用，怎么辦？

既然量感是對(duì)量的大小屬性的直覺(jué)感悟，我們的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)指向?qū)W生不使用測(cè)量工具便可以對(duì)某個(gè)具體量的大小進(jìn)行推斷。一方面要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察現(xiàn)實(shí)世界——主動(dòng)度量常見(jiàn)事物。另一方面要積極引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界——周長(zhǎng)和面積都是度量的結(jié)果，它們既有聯(lián)系又有區(qū)別。

結(jié)構(gòu)化的任務(wù)驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生的思考不斷深入。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)度量單位不夠用時(shí)，自然會(huì)引發(fā)對(duì)新知的探索。

《面積和面積單位》的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生經(jīng)歷了真實(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程，積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，指向了空間觀(guān)念和量感等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。