李林環(huán)

［摘 要］“做數(shù)學(xué)”是學(xué)生感知數(shù)學(xué)概念、建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、理解概念本質(zhì)的直接方式，也是新課程改革倡導(dǎo)的有效學(xué)習(xí)方式之一。在“圓的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，教師設(shè)計(jì)用實(shí)物拓畫(huà)圓、用拉繩試畫(huà)圓、用圓規(guī)試畫(huà)圓、自由選擇畫(huà)圓等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷探究的過(guò)程，在具體的實(shí)踐操作中深入感悟圓的構(gòu)造、理解圓的本質(zhì)，積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿(mǎn)興趣，實(shí)現(xiàn)提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

［關(guān)鍵詞］畫(huà)圓；感悟；本質(zhì)；做數(shù)學(xué)

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）24-0042-03

教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”一課，教師圍繞圓設(shè)計(jì)一系列的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)，如看圓、做圓、畫(huà)圓、欣賞圓等。通過(guò)不同的實(shí)踐活動(dòng)，可以讓學(xué)生深入地理解圓的構(gòu)成，掌握?qǐng)A這一知識(shí)點(diǎn)，并能較好地理解圓的要義——它是一個(gè)完全封閉的曲線(xiàn)圖形，是一個(gè)從定點(diǎn)到曲線(xiàn)上任意點(diǎn)同長(zhǎng)的圖形。下面，筆者結(jié)合不同的實(shí)踐活動(dòng)，就如何在活動(dòng)中引導(dǎo)學(xué)生較好地感悟圓的構(gòu)造、理解圓的本質(zhì)，簡(jiǎn)略談?wù)剮c(diǎn)做法。

一、用實(shí)物拓畫(huà)圓，感知圓是曲線(xiàn)圖形

圓在小學(xué)階段是一個(gè)特殊的知識(shí)點(diǎn)，因?yàn)樗袆e于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中早就存在的長(zhǎng)方形、正方形、梯形等圖形。盡管在一年級(jí)的“認(rèn)識(shí)圖形”中，學(xué)生初步認(rèn)識(shí)了圓、圓柱和球，但對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)僅僅處于了解層面，并沒(méi)有真正觸及知識(shí)的內(nèi)核。為此，筆者在教學(xué)中通過(guò)具體的實(shí)物，引導(dǎo)學(xué)生更好地感知圓的存在，并通過(guò)用實(shí)物拓畫(huà)圓的活動(dòng)，幫助學(xué)生體會(huì)圓是“由曲線(xiàn)圍成的圖形”這一知識(shí)要點(diǎn)。

師：我們觀察了這么多的圖形，也說(shuō)出了很多身邊的圓，想不想利用自己準(zhǔn)備好的學(xué)具，創(chuàng)造出一個(gè)漂亮的圓？

（學(xué)生對(duì)此充滿(mǎn)興趣，迫不及待地想要嘗試）

生1：沿著茶杯蓋子畫(huà)一圈，就能得到一個(gè)圓。

生2：我用一元的硬幣畫(huà)出了一個(gè)圓。

生3：我用膠帶中間的那個(gè)硬紙板圓圈，也畫(huà)出了一個(gè)圓。

生4：我用圓形的學(xué)具畫(huà)出了一個(gè)漂亮的圓。

生5：我可以用一根硬鐵絲拴住一支鉛筆轉(zhuǎn)一圈，畫(huà)出一個(gè)圓。

師：回憶自己畫(huà)圓的過(guò)程，思考一下，圓是一個(gè)什么樣的圖形？它給你最明顯的感覺(jué)是什么？

生6：圓的邊不像長(zhǎng)方形、正方形那樣是直直的，而是一條彎彎的線(xiàn)。

生7：圓的邊是彎曲的，但畫(huà)出來(lái)后感覺(jué)蠻圓滑的，整個(gè)圖形很漂亮。

生8：畫(huà)圓時(shí)要仔細(xì)、認(rèn)真，不然就會(huì)畫(huà)歪曲。

生9：我怎么感覺(jué)圓有點(diǎn)怪怪的。你們看，它沒(méi)有頂點(diǎn)，也看不到角。

師：經(jīng)過(guò)討論交流，結(jié)合自己的思考，誰(shuí)能比較簡(jiǎn)潔地說(shuō)出自己對(duì)圓的理解？

生10：圓是一個(gè)曲線(xiàn)圖形。

生11：圓的邊不是直線(xiàn)，而是彎曲的。

師：看來(lái)，同學(xué)們對(duì)圓的認(rèn)識(shí)還是蠻豐富的。大家想不想結(jié)合以前認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、三角形、平行四邊形等平面圖形的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)圓做一個(gè)較為合理的解釋或歸納呢？

……

“數(shù)學(xué)源于生活，用于生活，高于生活”，所以數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該貼近學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)、已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。上述教學(xué)，筆者緊扣用實(shí)物拓畫(huà)圓這一主旨，一方面，激活學(xué)生對(duì)圓的已有認(rèn)知；另一方面，讓學(xué)生在具體的用實(shí)物拓畫(huà)圓中，感受圓的邊不是直線(xiàn)構(gòu)成的，而是彎曲的，幫助他們初步形成圓是曲線(xiàn)圖形的感知。通過(guò)用實(shí)物拓畫(huà)圓的活動(dòng)，能夠幫助學(xué)生更好地理解圓的構(gòu)造：它不像三角形、梯形、正方形等平面圖形，邊是一條直直的線(xiàn)段，有頂點(diǎn)；圓是沒(méi)有直的邊，也沒(méi)有頂點(diǎn)的。這樣教學(xué)，能使學(xué)生更好地聯(lián)系舊知進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，體會(huì)圓的特殊之處，對(duì)幾何初步知識(shí)的學(xué)習(xí)更加理智。

二、用拉繩試畫(huà)圓，掌握?qǐng)A的基本要點(diǎn)

圓在中國(guó)古代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中是這樣描述的：“一中同長(zhǎng)。”何為“一中同長(zhǎng)”？“一中”就是指一個(gè)圓的圓心是唯一的，也是確定圓的位置的根本要素；“同長(zhǎng)”就是指圓心到圓上任意點(diǎn)的距離都是相等的。為此，筆者在教學(xué)中設(shè)計(jì)了一個(gè)體驗(yàn)活動(dòng)——用拉繩試畫(huà)圓，即讓學(xué)生在拉繩、定位等具體翔實(shí)的活動(dòng)中，初步感知“一中同長(zhǎng)”的基本要義。這樣能讓學(xué)生較好地掌握?qǐng)A的基本要點(diǎn)，為建構(gòu)圓的數(shù)學(xué)模型提供認(rèn)知支持，進(jìn)一步拓展思考空間。

師：剛才是用具體的圓形物品來(lái)拓畫(huà)圓的，你在生活中還見(jiàn)過(guò)這樣的畫(huà)圓方法嗎？

課件呈現(xiàn)：體育老師在操場(chǎng)上用一條較長(zhǎng)的繩子，畫(huà)出了一個(gè)大大的圓。

生1：見(jiàn)過(guò)，我們體育老師也這樣畫(huà)過(guò)圓。

生2：園林工人在修剪草坪時(shí)，也先用繩子畫(huà)出一個(gè)圓，再修剪草坪，這樣可以修剪出漂亮的圓形圖案。

師：你認(rèn)為在這樣的畫(huà)圓活動(dòng)中，哪些材料是必備的？

生3：固定繩子用的木樁，還有一定長(zhǎng)度的繩子。

師：是不是給這樣的材料，你就能畫(huà)出圓來(lái)呢？材料袋中就有相關(guān)的材料（有圖釘、棉線(xiàn)等），你們能用這些材料畫(huà)出一個(gè)圓來(lái)嗎？小組合作試一試。

（學(xué)生進(jìn)行畫(huà)圓，并把自己的思考和操作過(guò)程在小組中交流）

生4：我先用圖釘把棉線(xiàn)的一端固定在小木板上，再在棉線(xiàn)的另一端捆綁好一支紅筆，然后拉動(dòng)紅筆在木板上轉(zhuǎn)一圈，就得到了一個(gè)圓。不過(guò)，這個(gè)圓不是很漂亮。

師：方法基本正確?？蔀槭裁从械耐瑢W(xué)畫(huà)出的圓比較圓潤(rùn)、光滑，而有的同學(xué)畫(huà)出的圓卻是歪歪扭扭的呢？先看一下視頻，再進(jìn)行分析。

（課件播放用圖釘畫(huà)圓的具體過(guò)程）

生5：我發(fā)現(xiàn)要畫(huà)好一個(gè)圓，首先要把圖釘固定牢，不能晃動(dòng)，不然圖釘一晃動(dòng)，畫(huà)出的線(xiàn)就會(huì)歪曲；其次，一定要把棉線(xiàn)拉緊、繃直，不然一會(huì)兒畫(huà)的短些，一會(huì)兒畫(huà)的長(zhǎng)些。

師：你的分析很透徹?？蔀槭裁匆@樣做呢？

生6：將圖釘固定牢，就是保證圓心的位置不會(huì)發(fā)生變化。

生7：繩子不能松，就是保證紅筆與圖釘之間的距離是固定不變的，要不然就會(huì)時(shí)長(zhǎng)時(shí)短了。

師：你們真是一群愛(ài)觀察、愛(ài)動(dòng)腦筋，更會(huì)動(dòng)手實(shí)踐的聰明孩子！那你們知道這些注意點(diǎn)，在數(shù)學(xué)上又是怎樣表述的嗎？請(qǐng)仔細(xì)觀察視頻，并認(rèn)真閱讀相應(yīng)的解說(shuō)詞。

（課件播放拉繩畫(huà)圓的視頻，呈現(xiàn)圓的基本要素）

……

用拉繩法畫(huà)圓，遠(yuǎn)比用實(shí)物拓畫(huà)圓要復(fù)雜得多，能讓學(xué)生體會(huì)到圖釘?shù)木唧w作用，發(fā)現(xiàn)圖釘?shù)奈恢脹Q定了整個(gè)圓的位置。同時(shí)，學(xué)生感悟到筆與圖釘之間的距離越大，畫(huà)出的圓就會(huì)越大；反之，就會(huì)變小。這樣的活動(dòng)還能幫助學(xué)生較好地感知圓的圓心、半徑等基本要素，明白這些要素與拉繩畫(huà)圓之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過(guò)具體的操作、反思與交流等活動(dòng)，讓圓的定點(diǎn)、定長(zhǎng)變得不再神秘，而是清清楚楚地呈現(xiàn)在學(xué)生的眼前，使學(xué)生獲得最為真切的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

三、用圓規(guī)試畫(huà)圓，感悟圓的本質(zhì)屬性

用圓規(guī)畫(huà)圓是一種最直觀，也是最有效的畫(huà)圓方法。這樣既能呈現(xiàn)拓畫(huà)圓的圓潤(rùn)與完美，又能呈現(xiàn)拉繩畫(huà)圓的基本原理，更好地展現(xiàn)圓的基本屬性，從而最大限度地豐富學(xué)生對(duì)圓的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，還能在具體的畫(huà)圓活動(dòng)中孕伏圓的諸多屬性，對(duì)學(xué)生建構(gòu)圓的數(shù)學(xué)模型大有裨益。

師：如何克服拓畫(huà)圓、拉繩畫(huà)圓等方法中的不足呢？該如何選擇畫(huà)圓的工具呢？

生1：用圓規(guī)，它能更好地畫(huà)出圓來(lái)。

師：是嗎？你會(huì)使用圓規(guī)畫(huà)圓嗎？自己試試，并把畫(huà)圓的過(guò)程和想法告訴你的同伴。

（學(xué)生用圓規(guī)試著畫(huà)出不同的圓）

生2：先把圓規(guī)的釘腳固定在一點(diǎn)，再叉開(kāi)另一只鉛筆腳，將它在紙上旋轉(zhuǎn)一周，就能畫(huà)出一個(gè)圓。

師：你的描述很精彩。圓規(guī)有兩只腳，分工不同，作用也不一樣。

生3：是的。圓規(guī)的釘腳是固定用的，鉛筆腳是畫(huà)圓用的。

生4：圓規(guī)的釘腳是不動(dòng)的，鉛筆腳會(huì)走路。

生5：圓規(guī)兩腳之間的距離決定了圓的大小，這也是圓的半徑。

師：不錯(cuò)！圓的半徑在哪里？有幾條？它們的長(zhǎng)度關(guān)系又是怎樣的？

生6：圓心到曲線(xiàn)上的連接線(xiàn)段，就是圓的半徑；一個(gè)圓中，半徑有無(wú)數(shù)條，它們都是圓規(guī)兩腳之間的距離，是一樣長(zhǎng)的。

師：你能畫(huà)出一個(gè)半徑是2厘米的圓嗎？

（學(xué)生嘗試用圓規(guī)畫(huà)圓）

生7：先把圓規(guī)兩只腳的距離調(diào)整為2厘米，再畫(huà)圓，這樣就能畫(huà)出半徑是2厘米的圓了。

生8：我明白了。圓規(guī)兩腳之間是幾厘米，畫(huà)出的圓的半徑就是幾厘米。

……

指導(dǎo)學(xué)生用圓規(guī)畫(huà)圓，不只是為了完成教學(xué)任務(wù)，還要幫助學(xué)生掌握重要的數(shù)學(xué)技能，豐富他們的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。為此，在教學(xué)中，筆者首先組織學(xué)生開(kāi)展自主使用圓規(guī)的活動(dòng)，讓學(xué)生在練習(xí)紙上用圓規(guī)畫(huà)出自己認(rèn)可的圓。通過(guò)觀察圓規(guī)、使用圓規(guī)畫(huà)圓的活動(dòng)，幫助學(xué)生更加直觀地認(rèn)識(shí)圓，學(xué)會(huì)用自己的方式去解讀圓的構(gòu)成。其次，組織畫(huà)圓的交流活動(dòng)，讓學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)得以豐富，較好地幫助學(xué)生理解圓的本質(zhì)。最后，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出指定的圓，讓整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)躍升為學(xué)以致用的境界，顯得自然、高效，富含智慧。

四、自主選擇畫(huà)圓，促進(jìn)圓的認(rèn)知構(gòu)建

教師需要深入鉆研數(shù)學(xué)教材和課程標(biāo)準(zhǔn)，精心打磨教學(xué)細(xì)節(jié)，創(chuàng)設(shè)具有探究性的問(wèn)題情境，促使學(xué)生積極開(kāi)動(dòng)腦筋，在思維碰撞中迸發(fā)出靈感，在獲得解決問(wèn)題方法的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)有效學(xué)習(xí)的構(gòu)建。如在本課的畫(huà)圓活動(dòng)中，筆者開(kāi)展自主選擇畫(huà)圓活動(dòng)，讓學(xué)生在具體的操作中感悟圓的本質(zhì)，建立圓的表象。

師：學(xué)習(xí)了這么多的畫(huà)圓方法，你最喜歡哪一種，或是你還有什么不一樣的畫(huà)圓方法？

生1：我有一種新的方法。就是用一條細(xì)細(xì)的小木條，將它的一端用圖釘固定在紙上，另一端綁好一支鉛筆，這樣旋轉(zhuǎn)一圈，也可以畫(huà)出一個(gè)圓。

師：是有這樣的方法。那你能根據(jù)自己的畫(huà)法，以及工具的使用，解釋一下有關(guān)圓的知識(shí)點(diǎn)嗎？

生2：那個(gè)圖釘固定的點(diǎn)就是圓的圓心，圖釘與鉛筆之間的距離就是圓的半徑，一圈的曲線(xiàn)就是圓的周長(zhǎng)。

生3：看來(lái)，使用圓規(guī)畫(huà)圓最方便，要大要小都可以，比用木條畫(huà)圓方便。

生4：是的，圓規(guī)是畫(huà)圓的最好工具。當(dāng)圓規(guī)的釘腳確定下來(lái)，圓心也就定下來(lái)了，把鉛筆腳調(diào)整一下，就可以畫(huà)出大小不一樣的圓了。

生5：圓規(guī)兩腳之間的距離就是圓的半徑。

生6：從圓心開(kāi)始畫(huà)一條線(xiàn)段，另一個(gè)端點(diǎn)在圓上，它就是圓的半徑。

生7：這樣的線(xiàn)段有無(wú)數(shù)條，所以圓的半徑有無(wú)數(shù)條，且它們的長(zhǎng)度都是相等的。

生8：如果把這條線(xiàn)段向另一邊延長(zhǎng)，也把端點(diǎn)落在圓上，就變成了圓的直徑。同樣，這樣的線(xiàn)段也有很多條，長(zhǎng)度也是相等的。

生9：我們?cè)谡郫B的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，圓的直徑就是圓的對(duì)稱(chēng)軸，這說(shuō)明圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形。

生10：圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸，它們都是圓的直徑。

……

有效的認(rèn)知建構(gòu)需要豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)支持，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才是智慧的、富有生機(jī)的。結(jié)合上述教學(xué)可以看出，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究不一樣的畫(huà)圓方法，并給予學(xué)生自由探究的空間，他們就能夠迸發(fā)出個(gè)性化的思維火花，讓整個(gè)教學(xué)活動(dòng)變得有靈性、厚實(shí)。同時(shí)，這也為學(xué)生的認(rèn)知建構(gòu)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，使學(xué)生對(duì)圓的認(rèn)知更加清晰，相應(yīng)的認(rèn)知表象建立也愈發(fā)牢固。

綜上所述，基于不同畫(huà)圓活動(dòng)的開(kāi)展，以及學(xué)生的自主探究活動(dòng)，不僅能幫助學(xué)生更有效地感知圓、感悟圓的構(gòu)成元素以及圓的本質(zhì)屬性，還有利于學(xué)生把畫(huà)圓的活動(dòng)體驗(yàn)與圓的學(xué)習(xí)緊密聯(lián)系起來(lái)，使得整個(gè)教學(xué)活動(dòng)層層遞進(jìn)，不斷深化學(xué)生的感悟。特別是不同的畫(huà)圓活動(dòng)，能夠幫助學(xué)生借助可視的、可觸摸的實(shí)物，提煉出有價(jià)值的數(shù)學(xué)信息，并在交流討論中促進(jìn)思考的深入，最終讓學(xué)生積累更加有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 周麗.抓系統(tǒng)設(shè)計(jì)? 促智慧生成：《圓的認(rèn)識(shí)》和《認(rèn)識(shí)平年和閏年》兩份網(wǎng)絡(luò)教研團(tuán)隊(duì)作品評(píng)析[J].中國(guó)信息技術(shù)教育，2019（Z1）：23-25.

[2] 方芳.重視活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，凸顯概念本質(zhì)：《圓的認(rèn)識(shí)》教學(xué)與思考[J].教育視界， 2018（12）：49-52.

[3] 王茜. 在文化的脈絡(luò)中理解概念：《圓的認(rèn)識(shí)》教學(xué)設(shè)計(jì)與思考[J]. 教育視界， 2018（12）：55-58.

（責(zé)編 杜 華）