鄧希旻，武海軍，董 恒，田 澤，黃風(fēng)雷

（北京理工大學(xué)爆炸科學(xué)與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081）

近年來(lái)，高升阻比氣動(dòng)外形技術(shù)不斷在新型飛行器中應(yīng)用，高超音速飛行器形狀趨于扁平化和異型化，為適應(yīng)飛行器的內(nèi)部空間，戰(zhàn)斗部也朝著非圓化的方向發(fā)展。高超聲速反艦導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)的毀傷能力主要來(lái)源于彈體的穿甲/侵徹效應(yīng)及裝藥的爆轟波沖擊作用，其中針對(duì)非圓截面戰(zhàn)斗部的高速穿甲理論研究相對(duì)較少，彈體在穿甲/侵徹過(guò)程中的阻力特性及作用機(jī)理尚不明確，而穿甲能力作為衡量半穿甲戰(zhàn)斗部威力的重要指標(biāo)，對(duì)異型彈體高速穿甲阻力特性的研究具有重要意義。

針對(duì)異型截面彈體的侵徹/穿甲機(jī)理，董恒等[1]、王浩等[2]分別對(duì)混凝土和金屬薄板類目標(biāo)開展了系統(tǒng)的研究，分析了彈體在中低速范圍內(nèi)的阻力及彈道特性。Dai 等[3]和魏海洋等[4]基于空腔膨脹理論提出了橢圓截面尖卵形彈體侵徹半無(wú)限厚靶的彈道模型。田澤等[5]根據(jù)能量守恒和虛功原理分析了非圓變截面彈體斜貫穿金屬薄板時(shí)的姿態(tài)偏轉(zhuǎn)機(jī)理，構(gòu)建了彈體姿態(tài)偏轉(zhuǎn)模型。Wu 等[6]給出了三維空間彈道計(jì)算框架，基于空腔膨脹理論給出了橢圓截面彈體侵徹半無(wú)限靶的彈道預(yù)測(cè)模型，討論了橢圓長(zhǎng)短軸之比、初始著角、攻角對(duì)彈道偏轉(zhuǎn)的影響。Liu 等[7]開展了400～1 000 m/s 初速下，不同長(zhǎng)短軸之比的橢圓截面彈體侵徹半無(wú)限鋁靶的實(shí)驗(yàn)，基于保角映射分析了彈孔附近的應(yīng)變分布，建立了預(yù)測(cè)彈孔非對(duì)稱變形和破壞行為的理論模型。鄧希旻等[8]開展了上下非對(duì)稱橢圓截面彈體在800～1 000 m/s 初速下正、斜貫穿間隔金屬板的實(shí)驗(yàn)，并結(jié)合數(shù)值仿真分析了彈體的速度變化及偏轉(zhuǎn)特性，確定了高速貫穿時(shí)薄板的破壞模式主要為延性擴(kuò)孔、花瓣破壞和碎裂。以上針對(duì)非圓截面彈體穿甲/侵徹機(jī)理的研究取得了一定的成果，但對(duì)于高超聲速導(dǎo)彈落速（2Ma～3Ma）下的穿甲理論研究相對(duì)較少。

傳統(tǒng)圓截面彈體的穿甲理論研究已十分成熟，根據(jù)Backman 等[9]總結(jié)的穿甲特性可知，彈頭形狀對(duì)穿甲破壞模式的影響較大，如平頭彈使靶板出現(xiàn)剪切沖塞破壞，錐頭彈造成花瓣破壞。平頭彈穿甲的阻力模型如Recht-Ipson 模型[10]、Awerbuch 模型[11]以及Chen-Li 模型[12]已經(jīng)在科研及工程設(shè)計(jì)中得到了大量的應(yīng)用與驗(yàn)證。Wen 等[13]針對(duì)平頭彈低速?zèng)_擊薄靶問(wèn)題，給出了考慮靶板整體結(jié)構(gòu)響應(yīng)和局部剪切沖塞的解析表達(dá)式。Rosenberg 等[14]發(fā)現(xiàn)靶板受錐頭彈、尖卵形彈體低速?zèng)_擊時(shí)出現(xiàn)延性擴(kuò)孔和花瓣破壞，延性擴(kuò)孔主要發(fā)生在中厚靶（厚徑比為1/3～1）的穿甲過(guò)程中。Chen 等[15]發(fā)現(xiàn)隨著靶板厚度和靶板材料強(qiáng)度的增加，穿孔機(jī)理也會(huì)發(fā)生變化。Masri[16]分別討論了平面應(yīng)力（薄靶）和平面應(yīng)變（無(wú)限厚靶）條件下空腔擴(kuò)孔時(shí)所消耗的能量，提出了單位體積材料擴(kuò)孔所耗能量的概念，并結(jié)合能量守恒方程給出了彈體剩余速度及彈道極限的解析表達(dá)式。

綜上所述，異型截面彈體對(duì)金屬薄板的穿甲研究仍處于起步階段，主要研究成果集中在中低速范圍內(nèi)。異型彈體高速（2Ma～3Ma）穿甲時(shí)的阻力特性及靶板破壞模式是穿甲力學(xué)基礎(chǔ)理論研究和高超聲速武器技術(shù)發(fā)展的關(guān)鍵問(wèn)題。本文中以典型橢圓截面截錐彈體為研究對(duì)象，通過(guò)彈體高速貫穿金屬薄板的數(shù)值仿真計(jì)算，分析彈體穿甲過(guò)程中的阻力特性及靶板破壞模式，研究橢圓截面尖卵形/平頭彈體的高速穿甲過(guò)程，提出兩類典型彈體的阻力函數(shù)和剩余速度解析模型，進(jìn)而結(jié)合彈體結(jié)構(gòu)的空間表征，建立適用于橢圓截面截錐彈體高速貫穿金屬薄板的剩余速度預(yù)測(cè)模型。

1 橢圓截面彈體高速穿甲特性

1.1 仿真模型與參數(shù)

橢圓截面截錐彈體的具體尺寸參數(shù)如圖1 所示，橢圓截面的長(zhǎng)短軸之比λ=1.6。以945 鋼板為研究對(duì)象，根據(jù)幾何尺寸縮比，靶板厚度為0.3 cm。彈體質(zhì)量為265.2 g，著靶速度為700～1 000 m/s。仿真計(jì)算軟件為Abaqus/Explicit，采用全尺寸三維模型計(jì)算。網(wǎng)格尺寸對(duì)計(jì)算精度有較高影響，圖2 給出了彈體正貫穿0.3 cm 靶板的剩余速度與網(wǎng)格尺寸的變化規(guī)律，定義彈靶作用區(qū)的網(wǎng)格邊長(zhǎng)為0.02 cm?？紤]到剪切帶寬度約為10～100 μm[17]，為表征平頭彈穿甲過(guò)程的裂紋擴(kuò)展過(guò)程，平頭彈穿甲仿真模型中彈靶作用區(qū)的網(wǎng)格尺寸為0.01 cm[18]。單元類型為減縮積分單元C3D8R，靶板邊界施加固定約束邊界條件。彈靶接觸采用通用接觸算法，忽略彈靶間的摩擦作用[19]?？紤]到彈體直徑遠(yuǎn)大于靶板厚度，彈體變形較小，為便于后續(xù)理論分析，假設(shè)彈體為剛性材料。

圖1 橢圓截面截錐彈體結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The geometry of the projectile

圖2 網(wǎng)格敏感性驗(yàn)證Fig.2 Grid sensitivity verification

靶板材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系采用改進(jìn)的Johnson-Cook 本構(gòu)模型描述，具體形式為：

式中： ε ˉp為等 效 塑性應(yīng) 變； ε˙0和 ε˙ˉ 分 別為參 考 應(yīng)變率和等效塑性應(yīng)變率；T、T0和Tm分別為變形溫度、參考溫度和材料的熔點(diǎn)溫度；A為在參考應(yīng)變率和參考溫度下的初始屈服應(yīng)力；B和n分別為材料應(yīng)變硬化模量和硬化指數(shù)；C1、C2為材料應(yīng)變率強(qiáng)化參數(shù)；mT為材料熱軟化指數(shù)。

由于高速穿甲時(shí)靶板剪切區(qū)產(chǎn)生高溫導(dǎo)致材料軟化，引入局部塑性功產(chǎn)熱導(dǎo)致的溫升[20]：

式中：χ 為塑性功轉(zhuǎn)熱因子；ρ 為材料密度；c為比定壓熱容。

靶板材料的損傷特性由Mae[21]提出的計(jì)及應(yīng)力三軸度η 的三段式損傷模型表征。假定損傷參數(shù)D與等效塑性應(yīng)變成線性增加的關(guān)系，有：

式中：D1～D4為材料參數(shù)，D1=εf,s為剪切失效應(yīng)變（即η=0 時(shí)）， εf,t為單軸拉伸失效應(yīng)變（η=1/3 時(shí)）， εˉf為平均失效應(yīng)變， d εˉp為等效塑性應(yīng)變?cè)隽?。?dāng)損傷參數(shù)D達(dá)到1 時(shí)單元?jiǎng)h除。

綜上所述，通過(guò)擬合參考文獻(xiàn)[22]的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，945 鋼的各項(xiàng)參數(shù)如表1 所示。

表1 945 鋼仿真材料參數(shù)統(tǒng)計(jì)Table 1 Material parameters of 945 steel used in numerical simulation

1.2 穿甲過(guò)程分析

基于彈體參數(shù)及模型參數(shù)，開展橢圓截面截錐彈體以1 000 m/s 初速正貫穿0.3 cm 945 鋼板的數(shù)值仿真分析。圖3 給出了彈體的速度和加速度變化曲線。根據(jù)加速度變化情況，彈體貫穿靶板的過(guò)程包括頭部侵入階段（階段Ⅰ）和彈身貫穿階段（階段Ⅱ），其中階段Ⅰ是彈靶作用的主要時(shí)期，階段Ⅱ無(wú)載荷作用。階段Ⅰ可進(jìn)一步細(xì)化為4 個(gè)時(shí)期，如圖4～5 示。

圖3 彈體正貫穿速度/加速度曲線Fig.3 The velocity and acceleration curves of the projectile

圖4 彈體加速度與塞塊速度曲線Fig.4 The plug velocity and acceleration curves of the projectile

圖5 階段I 不同時(shí)刻彈靶速度分布Fig.5 Velocity distributions at different times in phase I

Ⅰ-Ⅰ時(shí)期，時(shí)刻?至?xí)r刻①。彈體頭部侵入靶板后，彈體前方靶板形成與截錐平臺(tái)面積相近的塞塊，塞塊速度迅速增加并超過(guò)彈體速度，在時(shí)刻①達(dá)到最大值。該時(shí)期頭部阻力由靶板剪切破壞和彈孔側(cè)壁的徑向擠壓產(chǎn)生，當(dāng)塞塊速度高于彈體速度時(shí)，靶板剪切破壞導(dǎo)致阻力卸載。

Ⅰ-Ⅱ時(shí)期，時(shí)刻①至?xí)r刻②。塞塊在時(shí)刻①達(dá)到最大速度并與彈體分離，在慣性作用下繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)。高速運(yùn)動(dòng)的塞塊與四周靶板發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，靶板背面形成鼓包，并導(dǎo)致彈孔深度增加。塞塊作為新的侵徹體對(duì)靶板造成破壞，彈體阻力減小。

Ⅰ-Ⅲ時(shí)期，時(shí)刻②至?xí)r刻③。隨著塞塊的進(jìn)一步運(yùn)動(dòng)，彈孔內(nèi)壁單元發(fā)生失效，塞塊在時(shí)刻③完全與靶板分離。由于塞塊侵徹靶板形成的彈孔面積與彈頭截錐面積相近，使得彈體侵入時(shí)徑向擠壓彈孔內(nèi)壁，從而出現(xiàn)延性擴(kuò)孔的破壞模式。該時(shí)期彈體阻力由靶板的延性擴(kuò)孔產(chǎn)生，阻力大小隨彈靶接觸面積的增大而增大。

Ⅰ-Ⅳ時(shí)期，時(shí)刻③之后。塞塊與靶板分離，彈體不再受塞塊影響。該階段可近似等效為橢圓截面卵形彈體侵徹具有初始開孔的金屬薄靶，彈體與彈孔內(nèi)壁完全貼合，靶板變形為局部的徑向擴(kuò)孔。彈體阻力與彈體外形相關(guān)，阻力大小變化平緩，當(dāng)彈體頭部貫穿靶板時(shí)阻力卸載為零。

根據(jù)彈塑性力學(xué)可知，材料的塑性變形及破壞與應(yīng)力狀態(tài)相關(guān)，不同方向上的應(yīng)力做功不同將導(dǎo)致塑性功分量出現(xiàn)區(qū)別，因此可根據(jù)靶板塑性功分量的分布情況量化分析靶板的破壞模式。以著靶點(diǎn)為原點(diǎn)建立柱坐標(biāo)系rθz，其中r軸指向彈孔內(nèi)壁，z軸沿彈體軸線指向彈體尾部。柱坐標(biāo)系下靶板單元的應(yīng)力 σij、應(yīng)變分量 εi j如圖6 所示，其中參量下標(biāo)i，j=1，2，3，分別指代柱坐標(biāo)系的r、θ、z軸。

基于圖6 所示的柱坐標(biāo)系，靶板單元在各個(gè)方向上的塑性功可表示為：

式中：下標(biāo)ij為柱坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方向，Wij為柱坐標(biāo)系rθz下的塑性功分量， σ 和 εp分別為應(yīng)力和塑性應(yīng)變分量， γij=2εpi j為切應(yīng)變分量，V為單元體積。

圖7 給出了階段Ⅰ的靶板塑性功率曲線。Ⅰ-Ⅰ和Ⅰ-Ⅱ時(shí)期，徑向應(yīng)力σ11、切向應(yīng)力σ13和軸向應(yīng)力 σ33產(chǎn)生的塑性功率占比最大，結(jié)合平頭彈高速貫穿的破壞模式可知，該時(shí)期靶板響應(yīng)以剪切破壞和軸向壓縮為主，靶板的破壞模式為剪切沖塞。Ⅰ-Ⅲ時(shí)期，切向應(yīng)力 σ13對(duì)應(yīng)的塑性功率減少，W11、W33和W13的變化率趨于一致。在Ⅰ-Ⅳ時(shí)期，徑向、軸向及切向塑性功分量變化率較大，表明此時(shí)靶板的響應(yīng)主要為靶板平面內(nèi)的孔口擴(kuò)張及垂直于靶板平面的彎曲變形，破壞模式為延性擴(kuò)孔-花瓣彎曲，并以延性擴(kuò)孔主導(dǎo)。

圖7 階段Ⅰ靶板的塑性功率-時(shí)間曲線Fig.7 Energy rate curves of the target in phase Ⅰ

通過(guò)上述分析，橢圓截面截錐彈體高速正貫穿金屬薄靶時(shí)，靶板的破壞模式分為侵入初期頭部截錐造成的剪切沖塞和卵形頭部對(duì)靶板的延性擴(kuò)孔。為獲得兩類破壞模式所對(duì)應(yīng)的彈體阻力特性，將橢圓截面截錐彈體分解為橢圓截面平頭彈和橢圓截面尖卵形彈，分別針對(duì)兩類彈體開展仿真研究。

1.3 穿甲阻力特性分析

定義與橢圓面積相等的圓為等效圓，半徑為re0。兩類彈體的彈身等效圓半徑為1.5 cm，長(zhǎng)度約為10 cm，橢圓的長(zhǎng)軸及短軸別為2re0λ0.5和2re0λ-0.5，長(zhǎng)短軸之比λ 為1、1.5、1.8 和2，如圖8～9 所示。其中，平頭彈和尖卵形彈體的質(zhì)量分別為554.6、453.9 g。

圖8 等效圓與橢圓的幾何關(guān)系Fig.8 Equivalent circle and ellipse

圖9 尖卵形彈體結(jié)構(gòu)示意圖Fig.9 The geometry of the ogive projectile

4 種不同長(zhǎng)短軸之比的橢圓截面尖卵形彈體以700～1 000 m/s 的初速侵徹0.3 cm 945 鋼板時(shí)的加速度曲線如圖10～11 所示。由圖可知，圓截面及橢圓截面彈體以900 m/s 的初速撞擊靶板時(shí)的加速度曲線基本重合，表明等效圓面積相等的橢圓截面彈體在同一初速下，延性擴(kuò)孔產(chǎn)生的阻力相近。彈體阻力與著靶速度相關(guān)，速度的增大導(dǎo)致載荷峰值升高，降低了作用時(shí)間。

圖10 相同速度下不同尖卵形彈體加速度對(duì)比Fig.10 Ogive projectile’s acceleration at the same velocity

圖11 不同速度下尖卵形彈體加速度對(duì)比Fig.11 Ogive projectile’s acceleration at the different velocity

值得注意的是，雖然橢圓截面尖卵形彈體的軸向阻力與等截面積的圓截面彈體相同，但橢圓空腔擴(kuò)孔過(guò)程中的應(yīng)力并非均勻分布，如圖12所示。文獻(xiàn)[5, 23-25]研究了侵徹、爆炸載荷作用下橢圓空腔的應(yīng)力分布，均發(fā)現(xiàn)橢圓長(zhǎng)軸方向上的應(yīng)力高于短軸，與圖12 一致。

圖12 橢圓空腔中的等效應(yīng)力分布示意圖Fig.12 Stress distribution of elliptic cavity

橢圓截面平頭彈以700～1 000 m/s 的初速侵入0.3 cm 945 鋼板時(shí)的彈體加速曲線如圖13～14 所示。在相同沖擊速度下，等效圓面積相等的各類彈體的阻力曲線重合，因此計(jì)算橢圓截面彈體剪切沖塞阻力時(shí)可采用圓截面彈體的分析方法。圖14 驗(yàn)證了上述結(jié)論在700～1 000 m/s 初速下的適用性，同時(shí)發(fā)現(xiàn)剪切沖塞破壞時(shí)彈體所受阻力與初速正相關(guān)。此外，各工況彈體正貫穿0.3 cm 靶板的時(shí)間均為1.25 μs，彈體最大位移約為0.12 cm，表明彈靶作用過(guò)程并非結(jié)束于頭部貫穿靶板。

圖13 相同速度下不同平頭彈加速度對(duì)比Fig.13 Flat projectile’s acceleration at the same velocity

圖14 不同速度下兩類平頭彈加速度對(duì)比Fig.14 Flat projectile’s acceleration at the different velocities

平頭彈低速正貫穿金屬薄靶可分為局部壓入（t1時(shí)刻）、裂紋擴(kuò)展（t2時(shí)刻）和塞塊形成（t3時(shí)刻）等階段[26-27]，如圖15 (a)～(c)所示。其中紅色箭頭代表裂紋擴(kuò)展的方向，發(fā)現(xiàn)裂紋產(chǎn)生于彈體侵入靶板后的一段時(shí)間，并以高于彈體的速度向靶板背面?zhèn)鞑ィ?dāng)裂紋貫穿靶板后塞塊形成。高速?zèng)_擊時(shí)的靶板響應(yīng)如圖15 (d)～(i)所示。在彈體頭部壓入階段（t1時(shí)刻），靶板發(fā)生壓縮變形和徑向擴(kuò)張。t2時(shí)刻無(wú)裂紋產(chǎn)生，彈孔內(nèi)壁沿徑向擴(kuò)展，出現(xiàn)延性擴(kuò)孔的特征。t3時(shí)刻彈孔內(nèi)壁徑向擴(kuò)張停止，塞塊與靶板相連位置產(chǎn)生裂紋，且裂紋方向隨著靶速度的增加逐漸轉(zhuǎn)向塞塊內(nèi)部。上述現(xiàn)象表明，薄板受平頭彈高速?zèng)_擊時(shí)出現(xiàn)延性擴(kuò)孔和剪切沖塞相耦合的模式。彈體所受阻力除材料壓縮產(chǎn)生的軸向壓力、裂紋擴(kuò)展形成的剪力外，還存在靶板徑向膨脹產(chǎn)生的阻力。

圖15 橢圓截面平頭彈以不同速度撞擊時(shí)靶板的破壞模式Fig.15 Failure modes of the target at different impact velocities

2 彈體阻力模型建立

橢圓截面截錐彈體的頭部長(zhǎng)度約為靶板厚度的8 倍，穿甲過(guò)程包含了頭部截錐引起的剪切沖塞破壞和尖卵形頭部的延性擴(kuò)孔破壞，且兩類破壞模式近似于獨(dú)立出現(xiàn)，因此本節(jié)分別基于橢圓截面尖卵形彈體和橢圓截面平頭彈體建立兩類破壞模式對(duì)應(yīng)的阻力函數(shù)。在本文的研究范圍內(nèi)，Johnson 破壞數(shù)ΦJ?1、薄靶厚度與彈體直徑之比H/D＜1，因此建立阻力模型時(shí)僅考慮局部響應(yīng)，忽略靶板的整體結(jié)構(gòu)變形。

2.1 橢圓截面尖卵形彈高速正穿甲阻力模型

質(zhì)量為m、頭部長(zhǎng)度為l的剛性橢圓截面尖卵形彈體正侵入厚度為H的金屬薄板時(shí)，以彈體弧柱交界面為xOy平面，彈體軸線為z軸，建立如圖16 所示的坐標(biāo)系。其中，a0、b0分別為弧柱交界面上橢圓的半長(zhǎng)軸、半短軸長(zhǎng)。

圖16 橢圓截面尖卵形彈體正貫穿薄靶示意圖Fig.16 Schematic of elliptical cross section ogive projectile penetrating thin target

進(jìn)一步，將法向速度vn沿靶板面內(nèi)和靶板法向分解為ve和va。由于高速穿甲過(guò)程中，彈靶接觸面上的摩擦對(duì)彈體動(dòng)能改變影響較小[19]，因此彈體僅受法向應(yīng)力σn的作用。與法向速度vn分解方向一致，法向應(yīng)力σn可分解為面內(nèi)應(yīng)力σe和軸向應(yīng)力σa。

由于橢圓截面尖卵形彈體對(duì)靶板徑向擠壓破壞與錐頭彈侵入靶板的延性擴(kuò)孔破壞模式相近，因此面內(nèi)應(yīng)力滿足Poncelet 形式，即：

式中：Am為材料的靜態(tài)阻力系數(shù)，Bm為慣性系數(shù)，Y、ρ 分別為靶板材料的屈服強(qiáng)度和密度。根據(jù)文獻(xiàn)[1] 采用的橢圓空腔表面應(yīng)力的修正方法，σe可表示為：

Masri[16]提出了平面應(yīng)力條件下單位體積靶板擴(kuò)孔所需比能sc，則靜態(tài)阻力項(xiàng)Am可表示為：

式中：Ω為任意時(shí)刻彈靶接觸面積，dΩ為彈靶接觸位置處彈體微元面積。由延性擴(kuò)孔過(guò)程的分析可知，頭部貫穿階段彈靶始終接觸，如圖18所示。

圖18 延性擴(kuò)孔過(guò)程中彈靶相對(duì)位置關(guān)系示意圖Fig.18 The relative position between a projectile and a target

引入橢圓參數(shù)方程：

2.2 橢圓截面平頭彈高速正穿甲阻力模型

假設(shè)靶板在準(zhǔn)靜態(tài)條件下滿足率無(wú)關(guān)的Johnson-Cook 本構(gòu)關(guān)系：

同時(shí)考慮到材料在單軸拉伸條件下的應(yīng)力三軸度η=1/3，結(jié)合式(5)，可得材料的準(zhǔn)靜態(tài)抗拉強(qiáng)度為：

以945 鋼為例，塑性硬化模量為807 MPa，圖19 給出了初速600～1 000 m/s 條件下C與α 的關(guān)系曲線。絕熱剪切帶的寬度一般為10～100 μm[17]，對(duì)于0.3 cm 鋼板而言，α∈[0.01，0.1]，在高速?zèng)_擊條件下，本文中取C=0.5。結(jié)合式(22)～(24)則可表征動(dòng)態(tài)剪切條件下材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性。

圖19 高速?zèng)_擊下C-α 曲線Fig.19 C-α curves under high velocity impact

根據(jù)前文的分析可知，高速正沖擊條件下，階段Ⅱ時(shí)彈體側(cè)壁與彈孔內(nèi)壁分離，不再受外力作用，因此假設(shè)載荷僅作用于彈體頭部。此外，圖15 表明，彈體高速侵入靶板時(shí)分為壓入和塞塊形成兩階段。橢圓截面平頭彈高速貫穿金屬薄靶時(shí)的載荷除Awerbuch[11]提出的慣性力、壓縮力和剪切力外，還應(yīng)考慮延性擴(kuò)孔阻力。在壓入階段，彈體所受載荷為慣性力Fi、壓縮力Fc和延性擴(kuò)孔阻力Fr；塞塊形成階段因發(fā)生剪切破壞引入剪切力Fs。質(zhì)量為m的橢圓截面平頭彈以初速v0正侵入厚度為H、密度為ρ 的金屬薄靶，彈靶作用過(guò)程及接觸面如圖20 所示。

(1) 壓入階段

彈體侵入靶板初期，彈靶作用區(qū)的靶板材料受壓縮并隨彈體一同運(yùn)動(dòng)，在彈體前方形成附加質(zhì)量。如圖20 所示的彈靶接觸面上，彈體半長(zhǎng)軸、半短軸分別為a0、b0，橢圓面積Ae=πa0b0，則彈體所受慣性力合力為：

假定壓入階段的開坑面積與彈體截面積相同，則作用在彈體頭部微元的壓縮力為：

彈孔內(nèi)壁材料沿徑向擴(kuò)張的過(guò)程與橢圓空腔延性擴(kuò)孔相同，采用式(10)近似計(jì)算，式中速度為材料徑向運(yùn)動(dòng)速度。彈體所受延性擴(kuò)孔阻力為：

壓入階段的彈體運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可表示為：

式中：M=m+ρAex為彈體與靶板附加質(zhì)量之和，x為彈體侵入深度?？紤]到dM/dt=ρAedx/dt=ρAev，則上式可改寫為：

由于dv/dt=（dv/dx）（dx/dt）=v（dv/dx），則可得到彈體速度與侵入深度的函數(shù)：

壓入階段結(jié)束于彈靶接觸面上產(chǎn)生的塑性沖擊波運(yùn)動(dòng)至靶板背面時(shí)[26]，此時(shí)彈體侵入深度為x1。該階段的持續(xù)時(shí)間為：

式中：cs為塑性沖擊波波速。Teng 等[26]認(rèn)為，高速?zèng)_擊條件下的塑性沖擊波速比彈體侵入速度v0和剪切鉸橫向傳播速度ch高一個(gè)量級(jí)，同時(shí)給出了塑性沖擊波波速的表達(dá)式：

式(32)表明，塑性沖擊波波速與彈體初速之比僅與彈體與塞塊的質(zhì)量比、靶板厚度H及壓入深度x1相關(guān)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得塞塊的實(shí)際厚度H-x1，則可利用式(32)求得塑性沖擊波速。表2 給出了本節(jié)各仿真工況中塑性沖擊波到達(dá)靶板背面的時(shí)間t1、彈體壓入深度x1，結(jié)合靶板厚度H計(jì)算得到了塑性沖擊波速cs=H/t1。

表2 塑性沖擊波速仿真結(jié)果Table 2 Simulation results of the velocity of plastic shock wave

金屬材料在未發(fā)生相變的情況下的沖擊響應(yīng)為：

式中：c0為壓力為0 時(shí)材料中的聲速，Sc為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，u0為粒子速度。當(dāng)兩種相同的材料對(duì)稱碰撞時(shí)，粒子速度為碰撞速度的一半，即u0=0.5v0。根據(jù)945 鋼的材料成分參數(shù)，采用相似配比的350 馬氏體時(shí)效鋼[30]作近似計(jì)算，其中c0=4 403 m/s、Sc=1.414。同時(shí)考慮彈體與靶板材料均為鋼材，則式(33)可改寫為：

從表2 給出的計(jì)算結(jié)果可知，式（34）計(jì)算出的塑性沖擊波波速低于仿真及式(32)得到的波速?？紤]到采用350 馬氏體時(shí)效鋼作為945 鋼的近似，同時(shí)忽略了彈靶材料之間的差異，從而引入了誤差。由于壓入階段持續(xù)時(shí)間占總穿靶時(shí)間的10%～20%，為簡(jiǎn)化計(jì)算模型，本文中采用式(34)近似計(jì)算塑性沖擊波速。

(2) 塞塊形成階段

在t1時(shí)刻，彈體壓入深度為x1，此時(shí)裂紋形成并向靶板背面擴(kuò)展，彈體受剪切力作用。考慮到剪切力與彈體侵入深度x相關(guān)，則對(duì)于厚度為H的薄靶，侵入過(guò)程中彈體剪切力為：

該階段附加質(zhì)量作用于彈體的慣性力和延性擴(kuò)孔阻力仍分別采用式(25)、(27)計(jì)算。壓縮力在塞塊形成階段隨侵入深度的增加逐漸減弱，當(dāng)彈體貫穿靶板時(shí)壓縮力為0，因此采用二次函數(shù)近似表征壓縮力的變化情況[11]：

彈體在塞塊形成階段的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

此外，彈體侵入靶板的過(guò)程與彈靶作用深度xd相關(guān)。在平頭彈剪切沖塞模型中，實(shí)際彈靶作用深度xd存在差別，部分研究認(rèn)為實(shí)際作用深度等于靶板厚度[31]，B?rvik 等[32]通過(guò)實(shí)驗(yàn)及數(shù)值仿真發(fā)現(xiàn)實(shí)際作用深度約為靶板厚度的一半。Teng 等[26]給出了平頭彈撞擊時(shí)靶內(nèi)裂紋傳播平均速度vˉc的表達(dá)式，并認(rèn)為該速度的最大值低于靶板材料的瑞利波速cR：

式中：v?0和vr為壓入階段結(jié)束時(shí)彈體速度和穿靶后的剩余速度。通過(guò)讀取數(shù)值仿真中各工況彈體的剩余速度和彈靶作用過(guò)程中彈體的位移，結(jié)合式(40)獲得了初速為700、800、900、1 000 m/s 時(shí)裂紋傳播的平均速度分別為2 398、2 057 、2 093、2 137 m/s，總平均速度為2 171 m/s。

945 鋼的彈性模量為210 GPa，泊松比為0.33，由式(41)可得材料的瑞利波速約為2 949.3 m/s，該速度略大于裂紋傳播的平均速度。通過(guò)式(40)計(jì)算裂紋傳播速度需要獲得彈體穿靶后的剩余速度和壓入階段的彈體速度，為簡(jiǎn)化模型，認(rèn)為裂紋傳播速度近似等于瑞利波速，即：

則塞塊形成階段中，彈靶作用的時(shí)間為：

通過(guò)以上分析，給出了橢圓截面彈體高速正貫穿金屬薄靶的阻力及速度函數(shù)，結(jié)合式(29)、(38)，代入初始條件v(t=0)=v0，在各階段作用時(shí)間t1、t2內(nèi)，以時(shí)間增量Δt求得不同時(shí)刻的彈體速度：

式中：下標(biāo)i和i-1 分別代表當(dāng)前時(shí)刻和上一時(shí)刻。

3 阻力模型驗(yàn)證及應(yīng)用

3.1 阻力模型驗(yàn)證

圖21 和表3 給出了700～1 000 m/s 初速下兩類橢圓截面彈體正貫穿0.3 cm 945 鋼板的剩余速度，并比較了仿真結(jié)果與理論結(jié)果的相對(duì)誤差。結(jié)果表明，基于式(21)、(44)得到的彈體剩余速度與仿真結(jié)果的相對(duì)誤差小于2%。

表3 模型誤差Table 3 Relative deviation of the model

圖21 剩余速度-初速曲線Fig.21 Residual velocity vs.initial velocity curves

3.2 橢圓彈正穿甲模型

上述兩類模型給出了彈體高速穿甲過(guò)程中阻力函數(shù)和剩余速度計(jì)算方法，但僅適用于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的橢圓截面平頭彈和尖卵形彈體。對(duì)于本文中所研究的橢圓截面截錐彈體，可基于剛體動(dòng)力學(xué)理論、彈靶分離思想[6]建立橢圓彈正穿甲模型。主要步驟包括彈體表面網(wǎng)格劃分、求解應(yīng)力函數(shù)及彈體運(yùn)動(dòng)方程組計(jì)算等。

參照作者前期工作中得到的橢圓截面彈體的網(wǎng)格劃分方法[6]，橢圓截面截錐彈體的表面網(wǎng)格劃分如圖22 所示。

圖22 彈體表面單元?jiǎng)澐质疽鈭DFig.22 Meshing of projectile surface

根據(jù)微分面力法[33]，穿靶過(guò)程中彈體所受載荷垂直于彈體表面微元，即：

結(jié)合上述彈體表面網(wǎng)格劃分和應(yīng)力函數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)[6]給出的剛性彈體空間運(yùn)動(dòng)方程組及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，建立橢圓截面截錐彈體的橢圓彈正穿甲模型，計(jì)算流程如圖23 所示。

圖23 計(jì)算流程圖Fig.23 Flow chart of computation

3.3 橢圓彈正穿甲模型驗(yàn)證

圖24 給出了圖1 中橢圓截面截錐彈體以800～900 m/s 初速正貫穿0.3 cm 945 鋼板的加速度曲線?？梢钥闯?，橢圓彈正穿甲模型計(jì)算得到的彈體加速度曲線與仿真結(jié)果吻合。此外，模型得到的剪切沖塞持續(xù)時(shí)間與仿真結(jié)果相近，證明了采用式(34)近似計(jì)算剪切沖塞作用時(shí)間的合理性。

圖24 彈體加速度曲線對(duì)比圖Fig.24 Comparison on the acceleration of projectile

為進(jìn)一步驗(yàn)證正穿甲模型的有效性和適用范圍，圖25 給出了等效圓面積相同、長(zhǎng)短軸之比為1.6 和2 時(shí)，橢圓截面截錐彈體正貫穿0.3、0.5 cm 945 鋼板的剩余速度曲線。結(jié)果表明，兩類工況的理論結(jié)果與仿真值吻合較好。此外，結(jié)合Recht-Ipson 公式[10]和仿真數(shù)據(jù)，得到了兩類工況的彈道極限曲線。Recht-Ipson 公式[10]為：

圖25 兩類彈體正穿甲剩余速度曲線Fig.25 Residual velocity of two types of projectiles

式中：vt、v0和vbl分別為剩余速度、初速及彈道極限。a、p為系數(shù)，由仿真結(jié)果進(jìn)行擬合得到。表4 統(tǒng)計(jì)了本文阻力模型與Recht-Ipson 公式預(yù)測(cè)的剩余速度對(duì)比。比較彈道極限曲線和理論結(jié)果可以看出，橢圓彈正穿甲模型高估了低速?zèng)_擊時(shí)的彈體穿甲能力。分析認(rèn)為，兩類阻力模型均忽略了靶板的整體變形，而在低速?zèng)_擊時(shí)靶板的結(jié)構(gòu)響應(yīng)與局部響應(yīng)共同主導(dǎo)了彈體的能量耗散，從而導(dǎo)致理論計(jì)算的剩余速度高于實(shí)際值。

表4 剩余速度對(duì)比表Table 4 Comparison of the residual velocity

綜合以上分析，本文提出的橢圓彈正穿甲模型對(duì)于描述彈體高速?zèng)_擊時(shí)的阻力特性具有較高精度，適用于預(yù)測(cè)橢圓截面截錐彈體高速侵徹金屬薄靶的彈體阻力和速度變化情況。

4 結(jié) 論

基于數(shù)值仿真方法分析了橢圓截面截錐彈體高速貫穿金屬薄靶的阻力特性和靶板破壞模式，針對(duì)橢圓截面尖卵形彈體和平頭彈體貫穿薄靶的作用過(guò)程進(jìn)行了研究，提出了高速穿甲阻力函數(shù)和剩余速度預(yù)測(cè)模型，并結(jié)合微分面力法與剛體動(dòng)力學(xué)理論構(gòu)建了橢圓彈正穿甲模型，得到的主要結(jié)論如下。

(1)金屬薄靶受橢圓截面尖卵形彈體高速?zèng)_擊時(shí)的破壞模式為延性擴(kuò)孔，未出現(xiàn)明顯的花瓣破壞。彈體表面法向阻力仍滿足Poncelet 二次函數(shù)形式，非對(duì)稱彈頭結(jié)構(gòu)導(dǎo)致彈體表面載荷非均勻分布，表現(xiàn)為長(zhǎng)軸方向載荷高于短軸方向。

(2)橢圓截面平頭彈高速撞擊金屬薄靶時(shí)的響應(yīng)與低速時(shí)不同，除材料的軸向擠壓、剪切失效、裂紋擴(kuò)展外，出現(xiàn)類似于延性擴(kuò)孔的破壞模式，穿甲過(guò)程可分解為壓入階段和塞塊形成階段兩部分。彈靶作用時(shí)間與材料性能和沖擊速度相關(guān)，兩階段分別在塑性沖擊波到達(dá)靶板背面和裂紋貫穿靶板時(shí)結(jié)束。

(3)橢圓截面尖卵形、平頭彈體正貫穿金屬薄板時(shí)所受阻力與截面積相等的圓截面彈體相近，區(qū)別在于橢圓截面彈體非對(duì)稱結(jié)構(gòu)外形導(dǎo)致載荷非均勻分布。

(4)基于橢圓截面尖卵形/平頭彈體高速穿甲阻力函數(shù)的橢圓彈正穿甲模型，可較好地預(yù)測(cè)橢圓截面截錐彈體在高速條件下貫穿金屬薄靶時(shí)的阻力特性及彈體速度變化特征。

本文中所研究的正貫穿條件及橢圓的軸對(duì)稱性掩蓋了彈體載荷非均勻分布造成的彈體偏轉(zhuǎn)，而在斜貫穿條件下非對(duì)稱載荷分布是非圓截面彈體姿態(tài)偏轉(zhuǎn)的重要問(wèn)題，因此后續(xù)工作中應(yīng)對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行深入研究。