朱 擎，李述濤，陳葉青，馬 上

（軍事科學(xué)院國防工程研究院，北京 100036）

超高性能混凝土（ultra-high performance concrete, UHPC）具備超高的強(qiáng)度、良好的韌性和優(yōu)越的耐久性能，近年來在防護(hù)工程中得以廣泛應(yīng)用，使用超高性能混凝土建造的遮彈結(jié)構(gòu)可以顯著減少鉆地武器的侵徹深度，有效抵御戰(zhàn)斗部爆炸時(shí)的破壞效應(yīng)[1-4]?，F(xiàn)代戰(zhàn)爭使用的具有精確制導(dǎo)能力的鉆地武器，如美軍GBU 和JADM 系列導(dǎo)彈，其彈體形狀均為長桿狀彈身和尖卵形彈頭[5]。以往試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，長桿狀卵形頭侵徹彈在侵徹超高性能混凝土后，尤其是侵徹深度較小，彈尾未完全進(jìn)入靶體的情況下，易出現(xiàn)彈體反彈現(xiàn)象，即彈體在侵徹結(jié)束后產(chǎn)生與侵徹方向相反的速度，彈出靶體。

張文華等[3]針對(duì)超高性能混凝土材料開展了一系列縮比彈侵徹試驗(yàn)和數(shù)值模擬研究，試驗(yàn)中有部分彈體在侵徹后完全彈出侵徹坑外，數(shù)值計(jì)算給出的彈體速度和位移時(shí)程曲線也可以看出，彈體具有一定反彈速度，在達(dá)到最大侵徹深度后有明顯的反向運(yùn)動(dòng)趨勢；程月華等[6]在對(duì)裝甲鋼/超高性能混凝土復(fù)合靶開展抗侵徹性能研究時(shí)同樣發(fā)現(xiàn)，彈體侵徹過程速度時(shí)程曲線在侵徹結(jié)束后保持了恒定的反向速度，表明彈體侵徹結(jié)束后具有反彈現(xiàn)象。以往研究結(jié)果表明，彈體侵徹超高性能混凝土存在彈體反彈現(xiàn)象，但由于反彈速度較小且不易測量，以上文獻(xiàn)中并未對(duì)反彈現(xiàn)象進(jìn)行深入研究。與侵徹著靶速度相比，反彈速度很小但不容忽略，因?yàn)榉磸椝俣扔锌赡苁骨謴貜椃磸椫燎謴乜油?。目前從國?nèi)外的文獻(xiàn)中，未發(fā)現(xiàn)以上彈體反彈效應(yīng)研究的公開報(bào)道。

研究彈體反彈效應(yīng)對(duì)工程防護(hù)和武器毀傷都有十分重要的意義。在工程防護(hù)角度，應(yīng)增強(qiáng)彈體侵徹過程中的反彈效應(yīng)，有可能在戰(zhàn)斗部延時(shí)引信未觸發(fā)的情況下，使鉆地彈反彈至較淺深度或遮彈結(jié)構(gòu)外部爆炸，可以最大程度減小戰(zhàn)斗部爆炸的破壞效應(yīng)；在武器毀傷角度，應(yīng)盡可能減弱彈體反彈效應(yīng)，使戰(zhàn)斗部在較大侵徹深度爆炸，充分發(fā)揮鉆地武器的破壞效應(yīng)。因此彈體和遮彈結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)均需考慮彈體侵徹后的反彈效應(yīng)。

針對(duì)彈體侵徹超高性能混凝土后的反彈效應(yīng)，本文分析彈體在侵徹和反彈過程中的受力狀態(tài)，基于空腔膨脹理論提出反彈效應(yīng)產(chǎn)生的基本假設(shè)，以彈體彈性勢能和應(yīng)力波傳播兩種理論為基礎(chǔ)，推導(dǎo)得到兩種反彈速度的解析解；通過數(shù)值模擬復(fù)現(xiàn)彈體反彈現(xiàn)象，驗(yàn)證理論模型的合理性，量化分析解析解中各參數(shù)對(duì)反彈效應(yīng)的影響。

1 彈體受力狀態(tài)分析

彈體侵徹速度對(duì)靶體破壞效應(yīng)的影響非常顯著[7]，彈體侵徹半無限混凝土介質(zhì)時(shí)，受力狀態(tài)隨侵徹速度和侵徹深度發(fā)生變化，可將彈體侵徹過程分為4 個(gè)階段。圖1 給出了彈體侵徹半無限混凝土介質(zhì)時(shí)4 個(gè)階段的受力狀態(tài)。

圖1 彈體侵徹階段受力狀態(tài)Fig.1 Force state of projectile body in each stage of penetration

開坑侵徹階段：彈體以初速vi侵徹混凝土介質(zhì)，靶體發(fā)生塑性流動(dòng)變形，彈頭部分開始對(duì)靶體產(chǎn)生塑性擴(kuò)孔，侵徹阻力隨著彈頭擴(kuò)孔深度增大而上升。

隧道侵徹階段：開坑階段結(jié)束后，彈體在靶體中繼續(xù)侵徹，形成直徑不小于彈徑的侵徹隧道，彈體速度在侵徹阻力Fs作用下不斷下降，侵徹阻力穩(wěn)定且隨速度下降而減小，彈靶接觸部分發(fā)生持續(xù)塑性擴(kuò)孔侵徹。

反彈加速度階段：侵徹過程中，彈體在侵徹阻力的作用下產(chǎn)生一定的形變，因此在侵徹結(jié)束的瞬間，彈體累積的變形勢能開始釋放，彈頭與侵徹坑底部交界處為彈體彈性勢能釋放提供支撐力，回彈支撐力使彈體具有一定的反向加速度，當(dāng)彈頭脫離侵徹坑底部時(shí)，加速階段結(jié)束，反彈速度達(dá)到最大。由此可見，彈體反彈的直接原因是彈靶交界面回彈力對(duì)彈體的作用。

反彈減速階段：彈體完全脫離侵徹坑底部后，沿侵徹隧道反向運(yùn)動(dòng)，在此過程中會(huì)受到壁面摩擦力和其他阻力f作用，反向運(yùn)動(dòng)速度不斷降低直至為零或從侵徹坑內(nèi)彈出。

綜合以上分析可知，彈體在侵徹過程中積累的變形勢能釋放造成彈體反彈?；炷敛牧显谇謴剡^程中發(fā)生了塑性流動(dòng)或是更加劇烈的狀態(tài)變化，侵徹后靶體可釋放的應(yīng)變勢能較少；而彈體中金屬材料的韌性與混凝土材料相比較強(qiáng)，整個(gè)侵徹過程中均會(huì)積累可釋放的變形勢能，是導(dǎo)致彈體反彈的主因。下面嘗試對(duì)侵徹過程積累的變形勢能進(jìn)行定量分析，研究彈體反彈機(jī)理和量化形式。

2 彈體侵徹半無限介質(zhì)的侵徹阻力

2.1 基于動(dòng)態(tài)空腔膨脹理論的侵徹阻力模型

Forrestal 等[8-10]針對(duì)應(yīng)變硬化的彈塑性材料提出了動(dòng)態(tài)球形空腔膨脹模型，給出了不可壓縮情況下的徑向應(yīng)力無量綱表達(dá)式。Chen 等[11-12]根據(jù)空腔膨脹理論進(jìn)一步推導(dǎo)出剛性彈侵徹過程中侵徹阻力表達(dá)式：

式中：d為彈體直徑；σy為靶材屈服強(qiáng)度；ρc為靶材密度；A和B為靶材的無量綱參數(shù)；v為彈體侵徹過程中的瞬時(shí)速度；N1和N2為與彈體頭部形狀和摩擦系數(shù)有關(guān)的無量綱系數(shù)，當(dāng)忽略彈靶表面摩擦?xí)r（μm=0），N1=1。侵徹阻力由兩部分組成，其一為材料準(zhǔn)靜態(tài)阻力部分（材料動(dòng)強(qiáng)度項(xiàng)）AσyN1，其二為動(dòng)態(tài)阻力部分（慣性項(xiàng)）Bρcv2N2。

2.2 侵徹阻力分析

式(1)給出的侵徹阻力由材料動(dòng)強(qiáng)度項(xiàng)AσyN1和慣性項(xiàng)Bρcv2N2兩部分組成。對(duì)于以上兩項(xiàng)表達(dá)式在侵徹阻力中的作用，國內(nèi)外學(xué)者做了大量研究和討論。Batra 等[13]在半球形剛性彈侵徹剛塑性靶板的數(shù)值模擬中發(fā)現(xiàn)，侵徹阻力中慣性項(xiàng)Bρcv2N2相比于材料動(dòng)強(qiáng)度項(xiàng)AσyN1幾乎可以忽略；Forrestal 等[14-15]和Frew 等[16]通過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)彈體撞擊速度小于600 m/s 時(shí)，侵徹阻力都呈現(xiàn)常阻力特征，即慣性項(xiàng)可以忽略；Rosenberg 等[17]研究了常阻力適用情況，給出了不同情況下常阻力適用的速度閾值條件。根據(jù)以上研究可知，彈體在800 m/s 以下的速度侵徹混凝土材料，慣性項(xiàng)影響非常小，侵徹阻力可等效為常阻力。陳小偉等[18]通過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，只采用材料動(dòng)強(qiáng)度項(xiàng)來表征常侵徹阻力與真實(shí)侵徹阻力還有一定差異，根據(jù)實(shí)際試驗(yàn)數(shù)據(jù)，給出了修正后的常侵徹阻力表達(dá)式：

圖2 中給出了實(shí)際侵徹阻力時(shí)程曲線、準(zhǔn)靜態(tài)阻力Fs（只考慮材料動(dòng)強(qiáng)度項(xiàng)）和等效常阻力Fc的示意圖[11]。從圖中可以看出，修正后的等效常阻力Fc與時(shí)間軸圍成的面積（沖量）與侵徹阻力時(shí)程曲線與時(shí)間軸圍成的面積近似相等，滿足等沖量準(zhǔn)則，F(xiàn)c比Fs稍大，數(shù)學(xué)表達(dá)式中可以看出二者相差因子π/4。

圖2 侵徹過程中彈體侵徹阻力時(shí)程曲線Fig.2 Time history curve of projectile penetration resistance during penetration

2.3 超高性能混凝土材料的侵徹阻力

超高性能混凝土（ultra-high performance concrete, UHPC）通過摻加高效減水劑實(shí)現(xiàn)極低的水泥比，摻加活性礦物提高密實(shí)度，并在高溫環(huán)境下養(yǎng)護(hù)成型。成型后的UHPC 材料單軸抗壓強(qiáng)度一般都超過120 MPa，下面針對(duì)超高性能混凝土材料的侵徹阻力進(jìn)行討論。

根據(jù)式(1) 給出的侵徹阻力表達(dá)式，侵徹阻力與空腔膨脹理論中材料無量綱參數(shù)A和B有關(guān)。Forrestal 等[19]認(rèn)為無量綱參數(shù)B主要依賴于靶體的可壓縮性，混凝土材料一般取B=1.0。材料動(dòng)強(qiáng)度項(xiàng)AσyN1取決于混凝土材料的抗剪強(qiáng)度，AσyN1=Sfc，S為經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，fc為混凝土無約束抗壓強(qiáng)度。Chen[20]給出了S與fc之間的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系（S=82.6fc-0.544或S=72fc-0.5），但是對(duì)于大直徑彈體和普通強(qiáng)度混凝土（fc＜100 MPa），該經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式并不能很好描述材料動(dòng)強(qiáng)度項(xiàng)。Rosenberg 等[21-22]則針對(duì)侵徹混凝土常阻力的情況進(jìn)行了研究，在考慮彈體尺寸效應(yīng)的情況下，給出了侵徹常應(yīng)力Rt和混凝土抗壓強(qiáng)度fc之間的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系和常阻力表達(dá)式：

式中：D0為測量混凝土軸心抗壓強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)試件直徑，Dp為彈體直徑，fc?為考慮彈體尺寸效應(yīng)后的混凝土換算強(qiáng)度，Rt為混凝土常侵徹應(yīng)力。以往大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明該經(jīng)驗(yàn)關(guān)系對(duì)混凝土強(qiáng)度低于200 MPa 的情況均有較好的預(yù)測效果[21-22]。由此通過Rt可近似確定彈體侵徹超高性能混凝土過程中的材料動(dòng)強(qiáng)度項(xiàng)AσyN1。

3 彈體反彈的理論模型

根據(jù)第1 節(jié)受力狀態(tài)分析可知，彈體反彈主要是由彈體變形勢能釋放造成的。本文針對(duì)彈體應(yīng)變勢能單獨(dú)釋放造成彈體反彈的機(jī)理進(jìn)行研究，將侵徹結(jié)束后的彈靶界面等效為不發(fā)生軸向位移的剛性邊界，下面從彈體自身變形角度出發(fā)，建立一維彈性桿彈性勢能模型和一維彈性波理論模型，求解反彈速度。

3.1 一維彈性桿彈性勢能模型

一般侵徹彈具有較大長徑比且由高強(qiáng)高模量金屬材料制成，可將其視作一維彈性桿，s、L、m、E、ρp分別為彈性桿的截面積、長度、質(zhì)量、彈性模量和密度。為簡化分析過程，對(duì)該理論模型作出以下假設(shè)：

(1) 超高性能混凝土靶是半無限靶體，彈體具有足夠侵徹空間；

(2) 將彈體侵徹過程看作一個(gè)頭部受常侵徹阻力的一維彈性桿，只發(fā)生軸向彈性變形；

(3) 彈體侵徹過程中的侵徹阻力等效為常阻力形式：Fc=AσyN1d2。

圖3 給出了一維彈性桿彈性勢能模型示意圖。以桿自由端為原點(diǎn)，侵徹方向?yàn)閤軸正方向建立坐標(biāo)系，對(duì)彈性桿進(jìn)行剛體運(yùn)動(dòng)分析[23]，彈性桿加速度a=-Fc/M，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，彈性桿沿軸向每一微元都受到與加速度方向相反的慣性力dFn作用，通過慣性力dFn的分布可求得桿軸向壓應(yīng)力分布：

圖3 一維桿彈性勢能模型Fig.3 One-dimensional rod elastic potential energy model

式(9)表明彈體反彈速度大小主要取決于兩方面，一是靶體材料動(dòng)強(qiáng)度項(xiàng)（表征靶體抗侵徹能力），二是彈體密度和剛度。靶體屈服強(qiáng)度越大，彈體密度和彈性模量越低，反彈效應(yīng)越明顯。

3.2 一維彈性波模型

圖4 給出了一維彈性波模型示意圖，對(duì)模型作以下幾點(diǎn)假設(shè)：

圖4 一維彈性波模型Fig.4 One-dimensional elastic wave model

(1) 彈體在侵徹過程中看作一維彈性桿，桿中只傳播彈性波；

(2) 應(yīng)力邊界假設(shè)—將彈體尾端視作自由邊界，邊界條件σ = 0；侵徹端看作穩(wěn)定的侵徹應(yīng)力邊界，該邊界反射后的波后應(yīng)力幅值為侵徹應(yīng)力σc?？筛鶕?jù)式(1)給出的侵徹阻力確定：

圖5 給出了侵徹過程中彈性桿中彈性波的波系圖和相容關(guān)系，彈性桿初始狀態(tài)為桿中各質(zhì)點(diǎn)速度為侵徹初速vi，應(yīng)力為零，對(duì)應(yīng)圖5(b) 中的狀態(tài)0；彈性桿頭部開始侵徹時(shí)，侵徹端產(chǎn)生左行的壓縮波，其波后應(yīng)力達(dá)到侵徹應(yīng)力的邊界條件σc，質(zhì)點(diǎn)速度下降，對(duì)應(yīng)圖5(b)中的狀態(tài)1；當(dāng)彈性波到達(dá)尾部自由面反射右行拉伸波，右行波的波后應(yīng)力達(dá)到自由面應(yīng)力狀態(tài)σ=0，速度下降，對(duì)應(yīng)圖5(b)中的狀態(tài)2；當(dāng)右行波到達(dá)侵徹端再次發(fā)生反射，反射的左行波的波后應(yīng)力達(dá)到侵徹應(yīng)力邊界條件σc，速度下降，即達(dá)到狀態(tài)3；當(dāng)左行波到達(dá)自由面再次發(fā)射，波后再次達(dá)到自由面邊界條件，即狀態(tài)4。依此類推，彈性波在自由面和侵徹端往復(fù)反射，波的多次反射作用使得桿中質(zhì)點(diǎn)速度不斷下降，如圖5(b)所示。

圖5 彈性桿中彈性波波系圖及其相容關(guān)系Fig.5 The pattern of elastic wave system in elastic rod and its compatibility relation

由式(10)給出的侵徹端應(yīng)力邊界條件可知，在彈性波往復(fù)反射作用過程中，侵徹端應(yīng)力幅值σc會(huì)隨侵徹速度下降而降低，如圖5(b)所示。假設(shè)應(yīng)力邊界幅值變化不會(huì)在彈性桿中產(chǎn)生新的波，僅使得每次侵徹端反射波后應(yīng)力值下降。當(dāng)彈性桿右端（侵徹端）速度下降為零時(shí)，彈性波在侵徹端發(fā)生最后一次反射，波后質(zhì)點(diǎn)速度降為零，應(yīng)力為σc=AσyN1。

圖6 給出了自由面最后一次反射的相容關(guān)系，當(dāng)侵徹端最后一次反射波到達(dá)自由端時(shí)發(fā)生最后一次自由面反射，反射波波后介質(zhì)應(yīng)力降為零，而速度變?yōu)樨?fù)值，表示波后介質(zhì)出現(xiàn)了與侵徹方向相反的反彈速度vr，當(dāng)右行波到達(dá)侵徹端時(shí)，彈靶界面在此刻分離，侵徹端應(yīng)力降為零，不再發(fā)生波的反射，整個(gè)彈性桿具有反彈速度vr，整體變?yōu)榱銘?yīng)力狀態(tài)。

圖6 彈體左端面最后一次反射的相容關(guān)系示意圖Fig.6 Schematic diagram of the compatibility relation of the last reflection of the left face of the projectile body

由左端自由面最后一次反射的相容關(guān)系式可確定反彈速度：

式(13)的形式與彈性勢能模型給出的結(jié)果相似（二者差異的原因在第5 節(jié)進(jìn)行分析），反彈速度大小同樣取決于兩方面，一是靶體材料動(dòng)強(qiáng)度項(xiàng)（表征靶體抗侵徹能力），二是彈體密度和剛度。靶體屈服強(qiáng)度越大，彈體密度和彈性模量越低，彈體反彈效應(yīng)越明顯。

4 數(shù)值模擬驗(yàn)證

4.1 數(shù)值模型及參數(shù)驗(yàn)證

為了保證數(shù)值計(jì)算模型和相關(guān)材料參數(shù)的可靠性，本節(jié)對(duì)文獻(xiàn)[24]中兩個(gè)試驗(yàn)工況進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，將數(shù)值計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)中試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。

文獻(xiàn)[24]針對(duì)超高性能混凝土開展了一系列動(dòng)態(tài)力學(xué)試驗(yàn)，標(biāo)定了各類超高性能混凝土K&C 模型參數(shù)。文獻(xiàn)[24]同時(shí)對(duì)超高性能混凝土開展了部分侵徹試驗(yàn)，試驗(yàn)工況為直徑28 mm 的彈體分別以405 和616 m/s 的速度侵徹600 mm×600 mm×400 mm 超高性能混凝土靶。圖7 給出了侵徹彈與靶體數(shù)值計(jì)算模型，模型采用了1/4 建模，彈體和靶體均采用Lagrange 實(shí)體單元進(jìn)行離散，靶體底面設(shè)置法向位移約束。

圖7 文獻(xiàn)[24]中侵徹試驗(yàn)的數(shù)值計(jì)算模型Fig.7 Numerical calculation model of penetration test in reference [24]

理論模型將彈體假設(shè)為理想彈性體，因此采用彈性材料模擬彈體，彈體長30 mm，彈徑28 mm，彈頭曲徑比為3，彈體密度取7 850 kg/m3，彈性模量和泊松比分別為210 GPa 和0.3?；炷翉?qiáng)度為175 MPa，采用K&C 模型和Tabulated_Compaction 狀態(tài)方程模擬超高性能混凝土，表1 給出了文獻(xiàn)[24]中的超高性能混凝土K&C 模型參數(shù)，通過定義失效拉應(yīng)變和失效剪應(yīng)變均為0.2 來控制混凝土單元失效。

表1 超高性能混凝土K&C 模型參數(shù)[24]Table 1 K&C model parameters fot the ultra-high performance concrete[24]

文獻(xiàn)[24]對(duì)數(shù)值模型的網(wǎng)格收斂性進(jìn)行了分析，圖8 給出了網(wǎng)格收斂性分析結(jié)果，采用2～32 mm的網(wǎng)格進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，由圖可知3 mm 網(wǎng)格已滿足數(shù)值計(jì)算精度，因此在后續(xù)計(jì)算中彈體和彈靶主要接觸區(qū)域的網(wǎng)格尺寸均設(shè)置為3 mm。

圖8 文獻(xiàn)[24]中網(wǎng)格尺寸收斂性分析Fig.8 Analysis of unit size convergence in reference [24]

圖9(a)給出了彈體初速405 m/s 時(shí)，靶體表面成坑的試驗(yàn)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果，試驗(yàn)測得靶體表面侵徹坑直徑為173.0 mm，通過有效塑性應(yīng)變可知數(shù)值模擬的靶體表面塑性損傷區(qū)直徑為171.4 mm；圖9(b)給出了彈體初速616 m/s 時(shí)，靶體表面成坑的試驗(yàn)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果，試驗(yàn)測得靶體表面侵徹坑直徑為308.0 mm，數(shù)值計(jì)算的靶體表面塑性損傷區(qū)直徑為300.0 mm。兩種侵徹初速下，侵徹坑直徑試驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算之間的誤差分別為0.9%和2.6%，說明數(shù)值計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)具有較好的一致性。

圖9 侵徹坑直徑D 的試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.9 Comparison of test results and numerical results of penetration pit diameter D

表2 給出了彈體初速為405 和616 m/s 時(shí)，侵徹深度的試驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算結(jié)果，試驗(yàn)測得的侵徹深度分別為70 和120 mm，數(shù)值計(jì)算得到侵徹深度分別為69 和109 mm，兩種侵徹速度下的誤差分別1.43%和9.17%，表明數(shù)值計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

表2 侵徹深度的試驗(yàn)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果Table 2 Experimental and numerical results of penetration depth

圖10 給出了彈體速度時(shí)程曲線和反彈速度的理論解，由圖10(a)可知彈體在侵徹后0.3 ms 左右停止侵徹并發(fā)生反彈，圖10(b)給出了彈體時(shí)程曲線的局部放大圖，彈體在侵徹結(jié)束后經(jīng)歷了反彈加速階段，隨后趨近于恒定的反彈速度，圖中給出了通過彈性勢能模型和應(yīng)力波模型計(jì)算得到的反彈速度理論解。從速度時(shí)程曲線和理論解的對(duì)比中可以看出，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與理論解吻合較好。

圖10 彈體速度時(shí)程曲線和反彈速度理論解Fig.10 Time history curves of projectile velocity and theoretical solutions to rebound velocity

4.2 理論模型合理性驗(yàn)證

4.1 節(jié)根據(jù)文獻(xiàn)中提供的混凝土參數(shù)和侵徹試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了數(shù)值計(jì)算模型的可靠性，為了進(jìn)一步驗(yàn)證反彈效應(yīng)理論模型的合理性，檢驗(yàn)反彈速度與各參數(shù)之間的關(guān)系，本節(jié)基于4.1 節(jié)的數(shù)值計(jì)算模型，對(duì)長桿彈侵徹超高性能混凝土進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。圖11 給出了長桿彈侵徹超高性能混凝土有限元模型，采用1/4 對(duì)稱模型節(jié)約計(jì)算成本，彈體直徑為40 mm，彈長為260 mm，彈頭部分曲徑比為3，彈體侵徹速度分別取300、400、500、600、700 和800 m/s；超高性能混凝土尺寸為1 000 mm×1 000 mm×500 mm。彈體網(wǎng)格尺寸為3 mm，1/4 模型中彈尖與混凝土接觸點(diǎn)附近200 mm×200 mm 區(qū)域?yàn)榫W(wǎng)格加密區(qū)域，網(wǎng)格尺寸為3 mm，其余部分采用漸變網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格尺寸為3～12 mm。

彈體材料設(shè)置兩組參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，設(shè)置一組彈性模量和密度為210 GPa 和7 850 kg/m3，另一組彈性模量和密度為105 GPa 和3 925 kg/m3，分別編號(hào)記為7850-210 和3925-105，兩組參數(shù)彈性模量和密度均為1/2 關(guān)系，計(jì)算結(jié)果可對(duì)比驗(yàn)證彈體反彈速度與彈體彈性模量和密度的關(guān)系。超高性能混凝土材料與4.1 節(jié)相同，選用K&C 模型和Tabulated_Compaction 狀態(tài)方程，抗壓強(qiáng)度175 MPa，失效時(shí)的極限拉應(yīng)變和極限剪應(yīng)變?yōu)?.2[24]，具體參數(shù)見表1。靶體底部施加法向位移約束。

圖12 給出了3 925-105-700 工況（700 代表侵徹初速度為700 m/s，其余以此類推）速度和加速度時(shí)程曲線的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，從速度時(shí)程曲線可以看出彈體在侵徹速度降低為零后會(huì)具有一段持續(xù)的反彈加速和減速過程，最終反彈速度恒定不變。根據(jù)式(4)給出侵徹端應(yīng)力Rt和式(5)給出的常阻力表達(dá)式，計(jì)算得到等效常阻力Fc=1 294 kN，等效加速度ac=1.13×106m/s2。

圖12 3925-105-700 的速度與加速度時(shí)程曲線Fig.12 3925-105-700 velocity and acceleration time history curve

圖12(b)給出了理論計(jì)算和數(shù)值模擬得到的彈體加速度時(shí)程曲線，彈體加速度在侵徹開始后會(huì)迅速躍升到峰值，在0.1 ms 時(shí)刻達(dá)到峰值1.8×106m/s2，隨后開始震蕩下降，在0.6 ms 時(shí)刻降至零左右。數(shù)值模擬得到的加速度時(shí)程曲線整體呈現(xiàn)突躍脈沖形式，理論計(jì)算得到的等效加速度ac為一個(gè)單階梯脈沖，雖然二者峰值存在一定誤差，但沖量近似相等，與圖2 給出的曲線形式基本一致，證明了彈性勢能模型假設(shè)具有較好的合理性。

圖13 給出了彈體侵徹過程中速度方向應(yīng)力云圖，可以看出彈體侵徹過程中軸向應(yīng)力分布隨時(shí)間的變化和應(yīng)力波傳播過程，侵徹未開始時(shí)，彈靶整體呈現(xiàn)0 應(yīng)力狀態(tài)，如圖13(a)所示；0.05 ms 時(shí)，彈體開始侵徹，這是侵徹阻力導(dǎo)致的初始應(yīng)力波開始在彈體軸向傳播，根據(jù)彈體材料波速，應(yīng)力波于0.05 ms 時(shí)應(yīng)正好傳播至彈尾，但是由于彈體內(nèi)應(yīng)力波不是理想的一維彈性波，圖13(b)中應(yīng)力波已從彈頭傳播至彈尾，在自由端發(fā)生了反射，圖13(b)中彈體尾部應(yīng)力明顯受到自由端反射拉伸波的影響；0.1 ms 時(shí)，彈體繼續(xù)侵徹混凝土，彈體內(nèi)部應(yīng)力波在彈頭侵徹端和彈尾自由端持續(xù)傳播，如圖13(c)所示；0.7 ms 時(shí)，彈體侵徹結(jié)束并發(fā)生反彈，彈體軸向應(yīng)力釋放，內(nèi)部應(yīng)力均勻，如圖13(d)所示。通過以上數(shù)值模擬結(jié)果可知，侵徹過程中彈體內(nèi)部應(yīng)力波在彈頭侵徹端和彈尾自由端之間持續(xù)傳播，與一維彈性波模型一致。

4.3 反彈速度驗(yàn)證

圖14 和圖15 分別給出了7850-210 和3925-105 兩種彈體在6 種侵徹初速下的速度時(shí)程曲線，從圖14(a)和圖15(a)中可以看出，彈體7850-210 隨著侵徹初速不同，在0.7～1.2 ms 之間速度減至零并反彈，彈體3925-105 隨著侵徹初速不同，在0.4～0.6 ms 之間減速至零并反彈?？傮w上看，質(zhì)量輕、彈性模量小的彈體，侵徹持時(shí)較短 ，侵徹能力較弱。

圖14 彈體7850-210 速度時(shí)程曲線數(shù)值解和理論解的對(duì)比Fig.14 Comparison of velocity time history curves of numerical and theoretical solutions of missile 7850-210

圖15 彈體3925-105 速度時(shí)程曲線數(shù)值解和理論解的對(duì)比Fig.15 Comparison of velocity time history curves of numerical and theoretical solutions of missile 3925-105

從圖14(b)和圖15(b)的局部放大圖中，可以更加清晰地觀察到侵徹速度降為零之后的反彈速度曲線。彈體在侵徹結(jié)束后經(jīng)歷了反彈加速階段，隨后逐漸趨近于恒定的反彈速度。總體來看質(zhì)量輕、彈性模量小的彈體，反彈效應(yīng)更加明顯。圖中紅色和藍(lán)色實(shí)線分別是根據(jù)式(9)和式(13)計(jì)算得到兩類彈體（7850-210 和3925-105）的反彈速度理論解（基于彈性勢能理論和應(yīng)力波理論）。從理論解和數(shù)值計(jì)算結(jié)果對(duì)比情況中可以看出，兩類彈體的情況均吻合較好。

圖16 將數(shù)值計(jì)算結(jié)果以峰值離散點(diǎn)的形式給出，更能直觀地比較理論解與數(shù)值解的差異?？傮w來看，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與理論預(yù)測值吻合較好。由于理論假設(shè)中將帶有侵徹初速的動(dòng)態(tài)阻力項(xiàng)（慣性項(xiàng)）忽略，因此理論解中沒有侵徹初速項(xiàng)，反彈速度理論上與著靶速度無關(guān)，數(shù)值計(jì)算結(jié)果也可看出，兩種彈體反彈速度峰值在理論解附近上下浮動(dòng)，分析數(shù)值計(jì)算結(jié)果與理論解之間誤差產(chǎn)生的原因，首先，數(shù)值模擬中侵徹阻力并不是常阻力，而是與速度和材料應(yīng)變率效應(yīng)呈一定正相關(guān)關(guān)系；其次，數(shù)值計(jì)算自身存在一定計(jì)算誤差，所以反彈初速計(jì)算結(jié)果與侵徹初速呈一定正相關(guān)關(guān)系并上下浮動(dòng)，但反彈初速并未隨侵徹初速增加而明顯提高，理論解可以大致預(yù)估反彈速度大小。

圖16 反彈速度數(shù)值解和理論解與侵徹初速之間的關(guān)系Fig.16 The relationship between numerical and theoretical solutions of rebound velocity and initial penetration velocity

圖17 兩類彈體侵徹速度與反彈速度的對(duì)比Fig.17 Comparison of penetration velocity and rebound velocity of two types of projectile bodies

表3 給出了反彈速度的數(shù)值計(jì)算結(jié)果和理論預(yù)測值，當(dāng)侵徹速度小于500 m/s 時(shí)，數(shù)值計(jì)算結(jié)果小于理論解，當(dāng)侵徹速度高于500 m/s 時(shí)，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與理論解較為接近。分析原因，當(dāng)著靶速度較低時(shí)，侵徹過程主要處于開坑階段，侵徹阻力變化劇烈，不能形成穩(wěn)定的侵徹應(yīng)力邊界，與理論模型中的常阻力假設(shè)差異較大；當(dāng)侵徹速度較高時(shí)，隧道侵徹階段為彈體侵徹的主要階段，這一階段侵徹阻力相對(duì)穩(wěn)定，與常阻力假設(shè)吻合較好，滿足理論模型中的阻力假設(shè)。

表3 反彈速度的數(shù)值計(jì)算結(jié)果和理論預(yù)測值Table 3 The results of numerical calculation and theoretical prediction of the rebound velocity

綜上所述，反彈速度數(shù)值計(jì)算結(jié)果與理論預(yù)測值吻合較好，通過改變數(shù)值計(jì)算中的彈體密度ρp和彈性模量E，驗(yàn)證了理論公式中反彈速度vr與彈體參數(shù)之間的關(guān)系，表明理論模型可以較好地解釋反彈現(xiàn)象并對(duì)反彈速度vr進(jìn)行預(yù)測。

5 關(guān)于理論模型的討論

本文將彈體視作一維彈性桿，從彈性勢能累積和彈性波傳播兩個(gè)角度分別建立了反彈效應(yīng)理論模型。彈性勢能模型認(rèn)為彈體侵徹過程中積累的應(yīng)變勢能全部釋放為彈體反彈的動(dòng)能；一維應(yīng)力波模型假設(shè)彈性波在侵徹端和尾部自由端之間傳播，彈性波在尾部自由端最后反射的波后速度為彈體反彈初速。兩個(gè)模型均是從一維軸向彈性響應(yīng)的角度考慮反彈效應(yīng)。

兩類模型的本質(zhì)差別在于對(duì)反彈過程中侵徹端邊界條件的假設(shè)。彈性勢能模型認(rèn)為彈體運(yùn)動(dòng)停止后，侵徹邊界即可變?yōu)閯傂赃吔?，邊界處不再發(fā)生軸向位移，僅對(duì)彈性桿一端提供支撐，支撐力隨著彈性桿變形而變化；而一維彈性波模型認(rèn)為侵徹端速度為零時(shí)，侵徹端依舊承受界面提供的材料動(dòng)態(tài)阻力項(xiàng)（AσyN1），直至侵徹端回彈時(shí)消失。兩個(gè)理論模型侵徹端反力對(duì)彈體做功的差異導(dǎo)致反彈速度表達(dá)式有所不同，二者表達(dá)式相差一個(gè)常系數(shù)π/4。

兩個(gè)理論模型假設(shè)均與實(shí)際情況存在一定差別，主要有以下幾點(diǎn)：

(1) 侵徹過程中，彈體在發(fā)生軸向變形的同時(shí)，也會(huì)發(fā)生徑向變形；應(yīng)力波沿軸向傳播的同時(shí)，也會(huì)在徑向上發(fā)生彌散；

(2) 開坑階段的真實(shí)侵徹阻力會(huì)隨速度變化而降低，理論模型中提出的是常阻力假設(shè)；侵徹阻力是造成彈體積累應(yīng)變勢能的主要因素，因此理論計(jì)算得到的反彈速度與真實(shí)情況存在一定差異；

(3) 實(shí)際彈體侵徹時(shí)會(huì)發(fā)生塑性變形，彈體內(nèi)部也存在塑性波傳播，理論模型僅考慮了彈性變形和彈性波傳播的情況；

(4) 靶體積累的變形勢能也會(huì)對(duì)彈體反彈提供貢獻(xiàn)，理論模型中認(rèn)為超高性能混凝土為脆性材料，忽略了靶體變形勢能的釋放。

結(jié)合以上分析，當(dāng)彈體長徑比較大，彈性變形極限較高，靶體脆性較強(qiáng)時(shí)，理論解計(jì)算精度較高；對(duì)于彈體長徑比較小且彈性變形極限較低，靶體蓄能能力較強(qiáng)的情況，有待進(jìn)一步研究。

6 結(jié) 論

針對(duì)彈體侵徹超高性能混凝土后的反彈效應(yīng)，分析了彈體侵徹和反彈過程中各階段受力狀態(tài)，將彈體簡化為一維彈性桿，基于空腔膨脹理論建立了彈性勢能模型和一維彈性波模型，推導(dǎo)得到兩種反彈速度的解析解；通過數(shù)值模擬還原了彈體反彈現(xiàn)象，將計(jì)算結(jié)果和理論解進(jìn)行了對(duì)比分析，得出以下結(jié)論：

(1) 彈體反彈過程分為反彈加速度階段和反彈減速階段，彈體和靶體共同的變形勢能釋放導(dǎo)致彈體反彈；

(2) 推導(dǎo)得出了解析形式的反彈初速表達(dá)式，彈體反彈初速與靶材的無量綱參數(shù)、屈服強(qiáng)度和彈頭形狀因子成正比，與彈體密度和彈性模量成反比，與彈體侵徹初速無關(guān)；

(3) 通過數(shù)值計(jì)算得到的彈體過載時(shí)程曲線、軸向應(yīng)力時(shí)程曲線等充分驗(yàn)證了彈性勢能模型和一維彈性波模型理論假設(shè)的合理性；對(duì)于12 種不同彈體彈性模量、密度和侵徹速度的工況，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與理論解吻合良好；

(4) 當(dāng)彈體長徑比較大且彈性變形極限較高，且靶體脆性較強(qiáng)時(shí)，理論模型具有相對(duì)較高的計(jì)算精度。