程漢波 朱華偉

(1．廣州市第二中學 510530;2．深圳中學 518000)

與大多數(shù)數(shù)學分支的發(fā)展歷程類似,概率論也是從最初的直覺感知逐漸走向了邏輯性更強的符號化、形式化和公理化．概率論的誕生可追溯至帕斯卡、費馬、惠更斯等在通信往來中討論的一些博弈問題．當時人們對這些博弈問題中事件發(fā)生可能性大小的直覺感知出現(xiàn)困難或產(chǎn)生爭論而求教于數(shù)學家,而數(shù)學家在通信往來的討論與研究中逐漸建立了概率論中一些基本概念,如樣本點、樣本空間、隨機事件、概率、數(shù)學期望等,利用概率的度量(數(shù)值)刻畫隨機事件發(fā)生的可能性,并基于邏輯推理與數(shù)學運算總結出一些概率模型,使得概率的計算變得有章可循．之后,在對伯努利概型的深入研究中,發(fā)現(xiàn)了兩種形式的極限定理——大數(shù)定律和中心極限定理,奠定了概率論在數(shù)學中的理論地位,這個時期對概率論作出重要貢獻的數(shù)學家有伯努利、棣莫弗、拉普拉斯、高斯和泊松等．然后,概率論的嚴格基礎被建立起來,古典問題得到解決和深化,隨機過程成為新的主題,研究領域明顯擴大,內(nèi)涵大為加深,期間柯爾莫戈洛夫等前蘇聯(lián)數(shù)學家起了主導作用．

然而,不論現(xiàn)在概率理論如何抽象,邏輯推理與數(shù)學運算之前的直覺感知都依然具有不可替代的作用．正如數(shù)學大師克萊因曾指出的:“數(shù)學不是依靠在邏輯上,而是依靠在正確的直觀上,數(shù)學的直觀是對概念、證明的本質(zhì)把握．”我國曾師從數(shù)學大師柯爾莫戈洛夫的王梓坤院士也曾指出:“在實踐中所體會到的直觀形象有助于抓住本質(zhì),它常常是理論的先導,并為理論提供思路、模型與方法,嚴格的邏輯證明和計算有時無非是直覺的一種數(shù)學加工和精確化而已．”國家《義務教育數(shù)學課程標準》研制組組長、《普通高中數(shù)學課程標準》修訂組組長史寧中教授也多次談到:“數(shù)學結論的發(fā)現(xiàn),依賴的并不是一般性,也不是嚴謹性,而是個人直覺．”并針對中學教學實際一針見血地批評道:“在我們現(xiàn)行的數(shù)學教學中,過分強調(diào)了演繹推理而忽略了歸納推理,過分強調(diào)了證明而忽略了命題的提出以及對命題的直觀理解．”

由歷史相似性原理知,概率論發(fā)展的歷程與學生學習的過程存在相似性．一方面,直覺感知在概率的理解與計算中扮演著十分重要的角色,如擲硬幣、擲骰子、摸球等古典概型試驗中每個樣本點等可能性的理解就是先有直覺感知后才有統(tǒng)計頻率的驗證．另一方面,邏輯推理與數(shù)學運算在隨機事件概率的計算中也極為重要,這在建立起互斥、對立、相互獨立事件及其概率運算性質(zhì),并積累了一些特殊類型的概率分布知識后尤為明顯,因為據(jù)此使得概率計算便于模式識別且有章可循．這啟發(fā)我們在概率計算問題的教學中既要追尋直覺感知背后的邏輯推理或數(shù)學運算,也要感悟邏輯推理或數(shù)學運算前面的直覺感知,以期在直覺感知、邏輯推理與數(shù)學運算的交相輝映中促進學生思維的提升與發(fā)展．本文結合概率論中經(jīng)典的擲硬幣與摸球模型中的具體實例,談一談直覺感知、邏輯推理與數(shù)學運算在隨機事件概率求解中的重要作用及其對教學的啟示．

1 正確直覺感知、邏輯推理和數(shù)學運算相互驗證

直覺是邏輯的先導,邏輯是直覺的護欄．直覺不僅先于邏輯,而且為邏輯提供目標與方向,策略與方法．但是,直覺不能保證嚴格性,甚或不能保證正確性,這就需要邏輯的保駕護航以確定直覺的可靠性．以下問題來自復旦大學李賢平教授所著教材《概率論基礎》(第三版)中的一道例題．

例1甲有n+1枚硬幣,乙有n枚硬幣,雙方投擲之后進行比較,求甲擲出的正面數(shù)比乙擲出的正面數(shù)多的概率．

然而,筆者在教學實踐中發(fā)現(xiàn),學生對該簡便解法的接受程度兩極分化較為明顯,領略其精妙者對其贊賞有加,但是還有相當一部分學生認為該解法并不自然,難以想到,就像“兔子是從帽子中變出來的”．近期筆者發(fā)現(xiàn)該問題出現(xiàn)在了武漢市2023屆高中畢業(yè)生四月調(diào)考第20題中,據(jù)調(diào)查,在添加了題干和第一問提示引導的條件下,大量學生也沒有想到以上解法．與之形成對比的是,大家普遍覺得利用分類討論思想進行數(shù)學運算是更自然的想法,但是,恒等變形的技巧及過程的繁雜使得能夠一氣呵成給出完整解答者極少．下面給出學生利用數(shù)學運算得到的解法．

甲擲出的正面數(shù)比乙擲出的正面數(shù)多,可按甲擲出的正面數(shù)進行如下分類:

依次地,若甲擲出的正面數(shù)為n+1,則乙擲出的正面數(shù)可以為0,1,2,…,n,其概率為

由互斥事件的概率加法公式可得,甲擲出的正面數(shù)比乙擲出的正面數(shù)多的概率為

P=p1+p2+…+pn+pn+1

注意到對任意k=1,2,…,n,有

則

則由倒序相加法可知

2P=(p1+pn)+(p2+pn-1)+…+(pn+p1)+2pn+1

可見,數(shù)學運算的詳細過程既驗證了直覺感知結果的正確性,也進一步反映了邏輯推理解法簡潔性的難能可貴．其實,概率求解問題中直覺感知、邏輯推理往往是從內(nèi)隱的形象、感覺和經(jīng)驗出發(fā),其思維特點為直觀想象、靈感與頓悟,以簡略濃縮的方式從結果上洞察問題的本質(zhì);而數(shù)學運算往往從外顯的概念、命題和原理出發(fā),其思維特點為嚴謹與理性,以連續(xù)完整的方式從過程上推演問題的結果．在日常教學實踐中,師生的思維特點不盡相同,各有所長,受持續(xù)長久概率計算訓練的影響,無意識或不自覺地傾向于從數(shù)學運算的視角出發(fā)去考慮問題不在少數(shù)．盡管如此,錯誤還是有可能存在的,尤其是當數(shù)學運算冗長且復雜的時候,更需謹慎．因此,最好能從直覺感知和邏輯推理的視角進行驗證,而且這也是培養(yǎng)師生直覺感知能力的絕佳良機．正如數(shù)學大師波利亞在談及解題四個階段中的最后一階段回顧總結時曾說:“如果存在著一些快捷而直觀的步驟可用于檢驗結果或論證時,尤其不應該忽視它．”一系列引人聯(lián)想與深思的反問句“你能檢驗這個結果嗎?你能檢驗這個論證嗎?你能以不同的方式推導這個結果嗎?你能一眼看出它來嗎?你能在別的什么題目利用這個結果或這種方法嗎?”可見波利亞對數(shù)學運算的直覺感知和邏輯推理之重視程度．下例是筆者曾在數(shù)學競賽測試中給學生測驗過的一道題目．

例2口袋中有a個黑球,b個白球,它們除顏色不同外,其它方面沒有差別,現(xiàn)在從口袋中隨機地逐個摸球,直到袋中剩下的球全是同色球為止,求袋中剩下的球全是黑球的概率．

該題來自李賢平教授編著的《概率論基礎學習指導書》,當時難住了絕大部分學生,某數(shù)學資優(yōu)生利用分類討論思想進行數(shù)學運算得到以下解法．

依次地,若最后剩下a個黑球,則倒數(shù)第a+1個一定為白球,其概率為

由互斥事件的概率加法公式可得,袋中剩下的球全是黑球的概率為

P=p1+p2+…+pa

注意到組合恒等式

又注意到組合恒等式

可從組合數(shù)實際意義的視角進行理解與證明),

可見,對數(shù)學運算所得結果的直覺感知和邏輯推理解讀是解題能力提升中不可缺少的環(huán)節(jié)．正如波利亞所指出的:“即便是相當優(yōu)秀的學生,在得到了題目的解答,并將整個論證簡潔地寫下來以后,就合上書去做別的事情,這會遺漏掉通過回顧完整的答案,重新斟酌、審查結果與導致結果的途徑以鞏固知識提升能力的有益階段．”一個循循善誘的良師,必將使他的學生深刻地認識到:任何一道題目在其解答完成之后,只要經(jīng)過充分的研究和洞察,其解題方法往往可以加以改進,或最起碼可以深化對答案的理解．

另外還應注意到,數(shù)學運算在概率求解中也并不是一帆風順或萬能的,比如,我們可將例2改編為以下例3．

例3甲袋中有a個黑球,b個白球,乙袋和丙袋都是空袋,先從甲袋中隨機摸n(1≤n≤a+b)個球放入乙袋,再從乙袋中隨機摸m(1≤m≤n)個球放入丙袋,最后從丙袋中任取一個球,求該球是黑球的概率．

而且,若將眼光不局限于乙袋和丙袋中黑球與白球個數(shù)的隨機性,而是聚焦于乙袋和丙袋中黑球與白球個數(shù)數(shù)學期望的穩(wěn)定性,從整體上進行邏輯推理,可以得到以下解法．

可見,面對復雜的概率求解問題,不要盲目地從數(shù)學運算開始,可先從直覺感知上熟悉問題,形成猜測,再從邏輯推理上分析問題,證明猜測,有時會起到事半功倍的效果．

另外,對于例2和例3,可能有人面對直觀感知、邏輯推理解法的簡潔與數(shù)學運算的復雜乃至困難形成的鮮明對比,會由此懷疑邏輯推理的嚴謹性,這種質(zhì)疑的精神值得肯定,但要注意的是決定嚴謹性的并不是解答過程的長度,而是推理的邏輯是否有漏洞,正如數(shù)學大師希爾伯特曾經(jīng)所指出的:“視證明的嚴格性為簡潔性之敵人的觀點是錯誤的,相反地,大量的事例使我們確信嚴格的方法同時也是簡潔而易于理解的方法,正是我們力求嚴格,我們才必須去尋找簡潔的證明方法．”這對我們在方法論的認識上具有重要的教育意義．

2 錯誤直覺感知的邏輯推理和數(shù)學運算雙重駁斥

直覺感知有“功”也有“過”,或是由于已有數(shù)學經(jīng)驗的局限性,生活經(jīng)驗的誤導,對概念、原理和邏輯的不恰當運用,以及不當?shù)男睦戆凳九c思維定勢等原因,直覺感知有時難免會產(chǎn)生錯誤,這時邏輯推理或數(shù)學運算的護欄作用便得以凸顯,也使得概率理論變得更嚴謹?shù)耐瑫r其應用領域也不斷擴大．正如布魯姆曾指出的:“直覺的方式常常會產(chǎn)生錯誤的答案,這就需要一位敏感的教師將直覺的錯誤——有趣的跳躍——同愚蠢或無知的錯誤區(qū)別開來,同時要求教師能適時地對運用直覺思維的學生予以贊同或予以糾正.”

例4甲有n+2枚硬幣,乙有n枚硬幣,雙方投擲之后進行比較,求甲擲出的正面數(shù)比乙擲出的正面數(shù)多的概率．

將甲、乙各投擲n枚硬幣時,兩人所擲出正面數(shù)甲=乙、甲>乙、甲<乙分別記為事件B、C、D,則P(B)+P(C)+P(D)=1,由對稱性知,P(C)=P(D)．則由全概率公式知,“事件A:甲、乙分別投擲n+2、n枚硬幣時,兩人擲出正面數(shù)甲>乙”發(fā)生的概率為

P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)+P(D)P(A|D)

注意到A|D只有在“事件E:甲、乙各投擲n枚硬幣時甲擲出正面數(shù)比乙擲出正面數(shù)恰好少一枚”發(fā)生的前提下,且甲剩下的2枚硬幣都擲出正面時才可以發(fā)生,故

P(D)P(A|D)

=P(E)P(A|E)

則

P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)+P(E)P(A|E)

另外,類似于例1,直接從數(shù)學運算的視角也可得到以下解法．

記“甲擲n+2枚硬幣,有k枚硬幣正面朝上”為事件Ak(k=0,1,2,…,n+2),“乙擲n枚硬幣,至多有s枚硬幣正面朝上”為事件Bs(s=0,1,2,…,n),“甲擲出的正面數(shù)比乙擲出的正面數(shù)多”為事件C,易知事件Ak,Bs相互獨立,則

C=(A1B0)∪(A2B1)∪…∪(AkBk-1)∪…∪(AnBn-1)∪(An+1Bn)∪(An+2Bn),

且事件A1B0,A2B1,…,AkBk-1,…,AnBn-1,An+1Bn,An+2Bn之間彼此互斥．

由相互獨立事件的概率乘法公式知,

P(AkBk-1)=P(Ak)P(Bk-1)

k=1,2,…,n+1,

P(An+2Bn)=P(An+2)P(Bn)

由互斥事件的概率加法公式知,

P[(A1B0)∪(A2B1)∪…∪(AkBk-1)∪…∪(An+1Bn)]

=P(A1B0)+P(A2B1)+…P(AkBk-1)+…+P(An+1Bn)

類似于例1利用倒序相加法可得,

則

P[(A1B0)∪(A2B1)∪…∪(AkBk-1)∪…∪(An+1Bn)]

注意到

=2n(2n+2-2),

所以,甲擲出的正面數(shù)比乙擲出的正面數(shù)多的概率為

P[(A1B0)∪(A2B1)∪…∪(AkBk-1)∪…∪(An+1Bn)∪(An+2Bn)]

=P[(A1B0)∪(A2B1)∪…∪(AkBk-1)∪…∪(An+1Bn)]+P(An+2Bn)

可見,邏輯推理和數(shù)學運算的詳細過程都確切地駁斥了直覺感知所得的結果．因此直覺感知是邏輯推理和數(shù)學運算的先導,邏輯推理和數(shù)學運算是直覺感知的護欄．直覺感知不僅先于邏輯推理和數(shù)學運算,而且為它們提供目標與方向,策略與方法．但是,直覺感知不能保證嚴格性,甚或不能保證正確性,這就需要邏輯推理和數(shù)學運算的保駕護航以確定直覺感知的可靠性．其實,直覺感知看似是未經(jīng)充分邏輯推理和數(shù)學運算的感性認識,但它不是憑空產(chǎn)生的,而是建立在經(jīng)驗的基礎上,是經(jīng)驗積累和優(yōu)化到一定程度后的頓悟,很多看似自發(fā)產(chǎn)生的直覺感知都是長期有意識地思考與探索的間接結果,即使所得答案是錯誤的也非常值得深入思考與探究．

3 結語

前蘇聯(lián)著名物理學家福克曾指出:“偉大的及不僅是偉大的發(fā)現(xiàn),都不是按邏輯的法則發(fā)現(xiàn)的,而都是猜測得來的;換句話說,大都是憑創(chuàng)造性的直覺得來的．”數(shù)學大師龐加萊也曾說過:“人們證明是用邏輯,而發(fā)明是用直覺……邏輯告訴我們走如此這般道路保證可以走得通,但是它沒有具體指出哪一條道路通向目標不會出現(xiàn)障礙．為此,我們必須從遠處眺望目標,而教導我們眺望的官能是直覺．沒有它,幾何學家就會像只會按語法作詩的作家一樣毫無思想．”數(shù)學育人的基本途徑是對學生進行系統(tǒng)的(邏輯)思維訓練,訓練的基本載體是邏輯推理和數(shù)學運算．”張景中院士曾指出:“推理是抽象的計算,計算是具體的推理,計算和推理是相通的．”《普通高中數(shù)學課程標準》(2017年版2020年修訂)也指出:“數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括:數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析．這些數(shù)學學科核心素養(yǎng)既相互獨立、又相互交融,是一個有機的整體,是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)．”

因此,概率教學中既要追尋直覺感知背后的邏輯推理與數(shù)學運算,也要感悟引領邏輯推理與數(shù)學運算前面的直覺感知,以期在直覺感知、邏輯推理與數(shù)學運算的交相輝映中促進學生思維的提升與發(fā)展．但直覺感知所得的結果不一定嚴謹或者正確,這個時候就需要按照一定的原理或公式進行邏輯推理或數(shù)學運算,以斷定直覺感知的正確與否．當然,也存在先由數(shù)學運算獲得結果,后進一步去尋找結果前面的直覺感知,并設法給出邏輯推理．或者是數(shù)學運算壓根兒就難以施展或奏效,這時更應該在直覺感知和邏輯推理上多下功夫以尋求突破．正如史寧中教授所指出的:“學習數(shù)學的要義不僅僅是為了‘記住’一些東西,甚至不僅僅是為了掌握一些‘會計算’‘會證明’的技巧,而是能夠‘感悟’數(shù)學所要研究問題的本質(zhì),‘理解’命題之間的邏輯關系,在‘感悟’和‘理解’的基礎上學會思考,最終形成數(shù)學的直覺和數(shù)學的思維,這也是數(shù)學課程標準中提出‘四基’,強調(diào)‘基本思想’和‘基本活動經(jīng)驗’的本意．”當然,教學中如何將直覺感知、邏輯推理與數(shù)學運算完美結合的策略、途徑與方式等是值得我們不斷進行探索的課題．