安徽省太湖中學(xué) (246400) 李昭平 安徽省岳西中學(xué) (246600) 查美玲

1 試題簡析

題目(2023 年新課標(biāo)Ⅰ卷第19 題) 已知函數(shù)f(x) =a(ex+a)-x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)證明: 當(dāng)a＞0 時(shí),

本題第(1)問討論f(x)的單調(diào)性, 考查導(dǎo)函數(shù)的符號,對參數(shù)a分類討論即可,屬于基本問題. 第(2)問則是含有參數(shù)a的指數(shù)函數(shù)和正比例函數(shù)的復(fù)合型函數(shù)問題,考查函數(shù)不等式的證明,也是常見的問題. 對此題做聯(lián)想探究,獲得以下結(jié)論.

2 聯(lián)想探究

2.1 逆向思考

◆ 對高考題中的第(1)問作逆向思考,題設(shè)與結(jié)論互換并適當(dāng)改變,得到

聯(lián)想1若函數(shù)f(x) =a(ex+a)-x在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

解析依題意f′(x) =aex-1 ≤0 對?x∈(-∞,0)恒成立,即所以a≤1. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,1].

聯(lián)想2若函數(shù)f(x) =a(ex+a)-x在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

解析依題意f′(x) =aex-1 ≥0 對?x∈(0,+∞)內(nèi)恒成立,即所以a≥1. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).

◆ 對高考題中的第(2)問作逆向思考,題設(shè)與結(jié)論互換,得到

聯(lián)想3已知函數(shù)f(x) =a(ex+a) -x. 若f(x)＞在x∈R 上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

2.2 改變條件

◆ 將高考題中的條件變?yōu)椤癴(x)的最小值為2”,則得到

聯(lián)想4若函數(shù)f(x) =a(ex+a)-x的最小值為2,則實(shí)數(shù)a的值是____.

解析易得f(x)min=f(-lna) = 1+a2+lna. 因此1+a2+lna=2,a2+lna-1=0. 令g(a)=a2+lna-1,a＞0. 則,g(a)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增. 又g(1) = 0,所以a2+lna-1 = 0 有唯一解a= 1. 故實(shí)數(shù)a的值為1.

◆ 將高考題中的條件變?yōu)椤瓣P(guān)于x的方程a(ex+a)-x=2 有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解”,則得到

聯(lián)想5若關(guān)于x的方程a(ex+a)-x=2 有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

解析令g(x) =a(ex+a) -x- 2, 依題意g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).g′(x) =aex- 1. 則當(dāng)a≤ 0時(shí)g′(x)＜0,g(x) 在R 上單調(diào)遞減. 又x→-∞時(shí)g(x)=aex+a2-x-2→+∞,且g(a2-2)=aea2-2≤0,故此時(shí)g(x)在R 上存在唯一零點(diǎn). 當(dāng)a＞0 時(shí),由g′(x)=0 得= -lna.x∈(-∞,-lna)時(shí)g′(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減;x∈(-lna,+∞)時(shí)g′(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增. 因此g(x)≥g(-lna)=a2+lna-1. 又x→-∞時(shí)g(x)→+∞,x→+∞時(shí)g(x)→+∞, 所以由a2+lna-1 = 0 解得a=1,此時(shí)g(x)有唯一零點(diǎn).

綜上可知,方程a(ex+a)-x=2 有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0]∪{1}.

2.3 類比引申

◆ 將高考題已知函數(shù)中的參數(shù)a變換位置, 即變成f(x)=ex+a-ax,類比引申得到

聯(lián)想6已知函數(shù)f(x)=ex+a-ax.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)證明: 當(dāng)a＞0 時(shí),

解析(1)f′(x)=ex-a,x∈R.

①當(dāng)a≤0 時(shí),f′(x)＞0 恒成立.

②當(dāng)a＞0 時(shí), 由f′(x) = 0 得ex=a, 即x= lna.當(dāng)x∈(-∞,lna) 時(shí),f′(x)＜0; 當(dāng)x∈(lna,+∞) 時(shí),f′(x)＞0.

綜上所述,當(dāng)a≤0 時(shí),f(x)在R 上單調(diào)遞增;當(dāng)a＞0時(shí),f(x)在(-∞,lna)內(nèi)單調(diào)遞減,在(lna,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

◆ ex與lnx是一對孿生兄弟,將高考題已知函數(shù)中的ex變成lnx,類比引申得到

聯(lián)想8已知函數(shù)f(x)=a(lnx+a)-x.

3 反思啟示

3.1 變式教學(xué)的價(jià)值. 以上我們從一道最新高考題出發(fā),得到9 個(gè)聯(lián)想. 在整個(gè)過程中,融觀察分析、直覺猜想、邏輯證明于一體,恰當(dāng)運(yùn)用到復(fù)習(xí)課堂中,讓學(xué)生經(jīng)歷一次再發(fā)現(xiàn)的過程,學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提高. 變式教學(xué)能將數(shù)學(xué)學(xué)科的科學(xué)之美、思維之美、聯(lián)想之美、對稱之美、和諧之美展示出來,增強(qiáng)學(xué)生的積極情感和學(xué)習(xí)熱情. 這正是數(shù)學(xué)新課程倡導(dǎo)的教學(xué)理念和方法.

3.2 變式教學(xué)的方式. 一般有兩種,一是利用課本題,剖析思路、總結(jié)方法、運(yùn)用升華,即我們常說的“源于課本、變于課本和高于課本”. 在教學(xué)過程中, 對課本中一些經(jīng)典的題目,要進(jìn)行深刻的探究. 對于可以一題多解的題目,鼓勵學(xué)生交流討論,歸納各種方法的共性,有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的感悟和數(shù)學(xué)方法的掌握. 教師還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練,交換條件和結(jié)論是否依然成立,改變題目條件由特殊情況聯(lián)想到一般情況是否適用等等,讓學(xué)生在問題解決的過程中體會變與不變,感悟問題的本質(zhì). 教師還可以引導(dǎo)學(xué)生變式設(shè)疑,調(diào)動起學(xué)生的積極思維,引導(dǎo)他們深入思考,有效避免單一、重復(fù)的題海戰(zhàn)術(shù). 二是利用一些具有代表性、典型性、示范性和拓展性的好高考題或好模考題,對其思考、發(fā)掘、研究,通過特殊聯(lián)想、逆向聯(lián)想、類比聯(lián)想、引申聯(lián)想、混合聯(lián)想等思維方式,錘煉數(shù)學(xué)思維,拓寬解題空間.