廣東省中山市煙洲中學 (528401) 閆偉

《普通高中數(shù)學課程標準(2020 年修訂)》中明確指出:數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象,基于抽象結(jié)構(gòu),通過符號運算、形式推理、模型構(gòu)建等理解和表達現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律[1]. 其中,“模型構(gòu)建”是解決數(shù)學問題的一種有效途徑,但是在實際教學中卻較少得到重視.“模型構(gòu)建”是通過對一類問題的抽象與推理,構(gòu)建出解決問題的模型,實現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化,從解題的角度來說避免了知識的零碎化,極大提高了解題效率.

復(fù)數(shù)是高中數(shù)學的重要組成部分,盡管在高考的比重不大,但是因為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、幾何形式、向量形式、三角形式以及指數(shù)形式與三角、幾何、代數(shù)等學科有著密切的聯(lián)系;其變換靈活,集數(shù)與形于一身,是我們解決數(shù)學問題的重要工具. 下面根據(jù)函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、二項式以及平面幾何、解析幾何試題的結(jié)構(gòu)特征,建立復(fù)數(shù)模型,并運用復(fù)數(shù)及其相關(guān)知識解決高考模擬試題與自主招生試題,以期培養(yǎng)學生的建模素養(yǎng)與探究精神.

1 函數(shù)最值問題

例1已知x,y∈R, 且x+y+1 = 0, 求(x-2)2+(y-3)2的最小值.

解析令z1= (x-2)+(y-3)i,z2= 1-i,于是得到|z1|2=(x-2)2+(y-3)2,|z2|2=2,

由|z1|2|z2|2= |z1z2|2可知2((x-2)2+ (y-3)2) =((x-2)+(y-3))2,又因為x+y=-1 代入得到(x-2)2+(y-3)2的最小值為18,此時x=-1,y=0.

評注根據(jù)所給二元函數(shù)的特征,構(gòu)造相應(yīng)的復(fù)數(shù),將其化成與復(fù)數(shù)模有關(guān)的問題,并利用|z1|2|z2|2= |z1z2|2解題,求解過程簡捷、高效.

評注本題采用了復(fù)數(shù)換元法求函數(shù)的最值,根據(jù)三個根式的特點,都是兩數(shù)的平方和,恰當?shù)臉?gòu)造復(fù)數(shù),進而結(jié)合復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)來消元求最值,復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)是解決代數(shù)問題的一大利器.

2 三角函數(shù)問題

例4若sinA+sinB+sinC=0,cosA+cosB+cosC=0. 求證: sin 3A+ sin 3B+ sin 3C= 3 sin(A+B+C);cos 3A+cos 3B+cos 3C=3 cos(A+B+C).

證明由題設(shè)條件,構(gòu)造復(fù)數(shù)

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件可知, sin 3A+ sin 3B+ sin 3C=3 sin(A+B+C);cos 3A+cos 3B+cos 3C=3 cos(A+B+C).

評注復(fù)數(shù)與三角函數(shù)的聯(lián)系主要依賴于復(fù)數(shù)的三角形式,借助復(fù)數(shù)的輻角運算可以巧妙地解決,本題根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造相應(yīng)的三個復(fù)數(shù),利用復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件求證結(jié)果.

3 不等式問題

評注結(jié)合不等式左邊的結(jié)構(gòu)特征: 多個根式相加,根式中都是兩個數(shù)的平方和, 自然聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模, 因此,構(gòu)造復(fù)數(shù)借助的復(fù)數(shù)的性質(zhì): |z1| + |z2| +···+ |zn| ≥|z1+z2+···+zn|來證明,方便迅速.

4 平面幾何問題

圖1

圖2

評注復(fù)數(shù)的幾何意義是復(fù)平面上的點, 因此通過復(fù)平面可以實現(xiàn)復(fù)數(shù)與平面幾何之間的轉(zhuǎn)化; 本題根據(jù)條件AC⊥CD,AC=CD構(gòu)造復(fù)數(shù)結(jié)合復(fù)數(shù)乘法的幾何意義建立相應(yīng)的關(guān)系式,進而求得D點的軌跡——圓,再根據(jù)D點的軌跡求得兩點間的最大距離.

評注本題求解三角形的面積實質(zhì)上解決D點到BC的距離問題,根據(jù)題設(shè)條件CA=CD,∠ACD= 60°構(gòu)造復(fù)數(shù)利用復(fù)數(shù)的乘法幾何意義建立關(guān)系,進而結(jié)合三角函數(shù)有界性求最大距離,借助復(fù)數(shù)求解使得解題過程簡潔,極大降低了運算帶來的復(fù)雜度.

5 解析幾何問題

例 8如圖 3 所示,已知A(2,0),B點為半圓x2+y2=1(y≥0)上一動點,點C在x軸上方且ΔABC是BC為斜邊的等腰直角三角形,問B在何處時,O,C兩點距離最遠,最遠距離是多少?

圖3

解析設(shè)∠AOB=α(α∈[0,π]), 將平面坐標系視為復(fù)平面, 設(shè)點A,B,C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為zA,zB,zC,則zA= 2,zB= cosα+ i sinα, 因為AB=AC且∠BAC=90°,由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義可知

6 二項式問題

評注賦值法是解決二項式展開式中的系數(shù)和的常用方法,由已知表達式特點構(gòu)造復(fù)數(shù),通過借助復(fù)數(shù)進行賦值并結(jié)合棣莫弗公式,實現(xiàn)高效解題.

7 數(shù)列問題

評注本題考查了數(shù)列和組合計數(shù)原理的相關(guān)知識,難度較大,先由題設(shè)求得{bn}通項的組合數(shù),再根據(jù)組合表達式構(gòu)造相應(yīng)的二項式和復(fù)數(shù),進而結(jié)合復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化求解,較用組合知識解答避免了分類討論的復(fù)雜性,解題過程相對簡潔,明了.

結(jié)束語

以上例題足以說明構(gòu)造復(fù)數(shù)模型求解數(shù)學問題的優(yōu)越性,表明復(fù)數(shù)在高中數(shù)學中有著廣泛的應(yīng)用. 利用復(fù)數(shù)模型解題的關(guān)鍵是通過觀察題設(shè)條件,構(gòu)建契合解題需要的復(fù)數(shù),并借助復(fù)數(shù)的相關(guān)知識進行求解,這就要求學生熟練掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)并巧妙靈活地應(yīng)用. 伴隨著新一輪的課程改革,對學生思維能力的要求越來越高,各類試題的變化也越來也靈活,通過機械刷題已經(jīng)無法適應(yīng)當下的高考. 因此,教師要轉(zhuǎn)變教學觀念,進而增強解題的靈活性,提高解決問題的能力和數(shù)學思維的修養(yǎng).