江蘇省天一中學(xué) (214101) 安愷凱

1 引言

立體幾何是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)分支,在形成人的空間觀念和提升直觀想象能力的過(guò)程中發(fā)揮著不可替代的作用.

新高考實(shí)施以來(lái),立體幾何內(nèi)容在教材中的比重大幅增加,立體幾何試題在高考中的地位日益顯著,其顯著性主要表現(xiàn)為以下兩點(diǎn): 一是試題的題量與難度,如表1,以江蘇地區(qū)參與的近三年的新課標(biāo)Ⅰ卷為參照對(duì)象,可以看出試題數(shù)量一般不少于兩道客觀題和一道主觀題,從題號(hào)反映出試題難度設(shè)置有明顯的梯度,結(jié)構(gòu)層次分明,且連續(xù)三年在客觀題(單選或多選)的壓軸位置都設(shè)置了立體幾何試題,在考查學(xué)生知識(shí)與能力的基礎(chǔ)上突出了選拔功能. 二是試題的形式與內(nèi)容,形式上常與新高考中的新題型——多選題相結(jié)合,立足圖形讓學(xué)生開展多角度和多層次的探索,更深入地考查學(xué)生對(duì)某一圖形認(rèn)識(shí)的全面性. 內(nèi)容取向上注重滲透點(diǎn)、線、面、體元素的動(dòng)態(tài)情形,賦予空間幾何動(dòng)態(tài)活力,使問(wèn)題立意更加靈活生動(dòng)、新穎有趣,要求學(xué)生具備更豐富的空間想象力.

表1: 新課標(biāo)Ⅰ卷的立體幾何考查情況

文獻(xiàn)[1]中指出空間想象能力指人們對(duì)客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析、抽象思考和構(gòu)造創(chuàng)新的能力,即指對(duì)物體的形狀、結(jié)構(gòu)、大小、位置關(guān)系的想象能力. 在立體幾何試題的求解過(guò)程中, 構(gòu)建規(guī)范、簡(jiǎn)約、有效的輔助形是空間想象能力在特定數(shù)學(xué)活動(dòng)中的外化形式. 構(gòu)建輔助形的自覺(jué)性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、系統(tǒng)性,能夠反映學(xué)生的空間想象能力水平. 本文結(jié)合2023 年新課標(biāo)Ⅰ卷中的立體幾何試題,梳理“補(bǔ)”、“切”、“截”、“換”這四種構(gòu)建輔助形的具體技能行為表現(xiàn),進(jìn)一步闡明在許多立體幾何問(wèn)題中,一個(gè)恰當(dāng)?shù)妮o助形是進(jìn)一步發(fā)揮空間想象的必備工具,是深入開展邏輯判斷和推理的重要平臺(tái),進(jìn)而提升發(fā)展學(xué)生空間想象能力的教學(xué)策略的針對(duì)性和有效性.

2 補(bǔ)形

題 1(2023 年新課標(biāo)Ⅰ卷第14 題) 在正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,AB= 2,A1B1= 1,則該棱臺(tái)的體積為____.

解析1如圖1, 延長(zhǎng)正棱臺(tái)各側(cè)棱交于點(diǎn)P, 將正四棱臺(tái)補(bǔ)成正四棱錐. 由AB= 2,A1B1= 1,得

圖1

解析3同解析1 中補(bǔ)形后,文獻(xiàn)[2]中指出可以把四棱錐P-ABCD與四棱錐P-A1B1C1D1這類兩個(gè)形狀完全相同而大小不同的幾何體稱作“立體相似”,并把對(duì)應(yīng)線段之比稱作相似比,則有空間兩立體相似的幾何體體積之比等于相似比的立方,即

“補(bǔ)形”是把復(fù)雜幾何體延伸或補(bǔ)加, 構(gòu)成簡(jiǎn)單體. 例如在教材中,把臺(tái)體延伸成錐體,從而證明臺(tái)體的體積公式便是補(bǔ)形的范例,也是本題的設(shè)計(jì)原型,故筆者對(duì)本題的三種解析都以“補(bǔ)形”為立足點(diǎn),再分別從“直接使用體積公式”、“間接利用圖形組合”、“類比運(yùn)用相似概念”三個(gè)角度加以解決. 教材是落實(shí)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要教學(xué)資源,也是歷年高考命題的重要素材. 在立體幾何部分,教師應(yīng)重視教材中的重要數(shù)學(xué)公式和定理的推導(dǎo)過(guò)程,編制相應(yīng)的基礎(chǔ)問(wèn)題幫助學(xué)生將“構(gòu)建輔助形”的思想從課本中提煉出來(lái),形成解決立體幾何問(wèn)題的基本思維模式.

3 切形

題2(2023 年新課標(biāo)Ⅰ卷第18 題) 如圖2, 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB= 2,AA1= 4, 點(diǎn)A2,B2,C2,D2分別在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2= 1,BB2=DD2=2,CC2=3.

圖2

(1)證明:B2C2//A2D2;

(2)點(diǎn)P在棱BB1上,當(dāng)二面角P-A2C2-D2為150°時(shí),求B2P.

解析(1) 如圖3, 在長(zhǎng)方體AC1中過(guò)點(diǎn)A2、點(diǎn)C2作底面的平行面切去長(zhǎng)方體上、下兩部分, 切得的余體為正方體A2EFG-JIC2K, 易得ID2=ED2=GB2=KB2= 1, 所以同理所以四邊形A2B2C2D2為菱形,故B2C2//A2D2.

圖3

(2) 如圖4, 在正方體A2C2中有熟知性質(zhì): 體對(duì)角線A2C2⊥平面EJG, 且垂足O為正ΔEJG的中心(證明略) . 當(dāng)點(diǎn)P在線段B1B2上時(shí), 設(shè)EJ交A2D2于點(diǎn)M,GJ交A2B2于點(diǎn)N,GJ交A2P于點(diǎn)H. 連結(jié)OH, 因?yàn)镋D2//JA2且同理從而MN//EG, 且點(diǎn)O在MN上, 進(jìn)而∠ONH= ∠EGJ= 60°. 因?yàn)镺M、OH?平面EJG, 所以A2C2⊥OM,A2C2⊥OH, 從而∠MOH是二面角P-A2C2-D2的平面角, 進(jìn)而∠MOH= 150°,∠OHN= ∠MOH- ∠ONH= 90°, 即OH⊥GJ. 因?yàn)镺J=OG, 所以點(diǎn)H是GJ中點(diǎn), 故點(diǎn)P與點(diǎn)K重合,B2P=B2K=1. 當(dāng)點(diǎn)P在線段B2B3上時(shí),同理可得點(diǎn)P與點(diǎn)G重合,B2P=B2G=1,綜上B2P=1.

圖4

“切形”就是把復(fù)雜幾何體切割成學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)模型,排除多余干擾,提煉圖形本質(zhì),使研究幾何關(guān)系更自然,想象也就更開闊. 正方體就是一個(gè)極具空間價(jià)值的典型模型,由于圖形對(duì)稱完美,使其具有許多簡(jiǎn)明、直觀、實(shí)用的性質(zhì). 本題的解析就是根據(jù)題設(shè)條件展開聯(lián)想,通過(guò)“切形”構(gòu)建出相應(yīng)的正方體,充分利用正方體的特性降低想象難度,找到構(gòu)造二面角的突破口.

新課標(biāo)Ⅰ卷中主觀解答題主要采用“一半證明、一半計(jì)算”相結(jié)合的模式,教師在教學(xué)中處理度量關(guān)系的計(jì)算時(shí)普遍傾向于通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算解決問(wèn)題,這樣可以有效避免較復(fù)雜的邏輯推理過(guò)程,但這也一定程度上弱化了學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng), 使得部分學(xué)生的思維停滯在了粗淺運(yùn)算的層面,一旦幾何載體不適宜建立空間直角坐標(biāo)系,學(xué)生往往就會(huì)產(chǎn)生不適應(yīng)性與畏懼心理. 本文采用幾何法予以解決,深化學(xué)生對(duì)處理二面角的基本策略“找一證一求”的認(rèn)知,從而到達(dá)“賦予想象之境,示以思維之道”的教學(xué)目的.

3 截形

題3(2023 年新課標(biāo)Ⅰ卷第12 題)下列物體中,能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1(單位: m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)的有()

A. 直徑為0.99m 的球體

B. 所有棱長(zhǎng)均為1.4m 的四面體

C. 底面直徑為0.01m,高為1.8m 的圓柱體

D. 底面直徑為1.2m,高為0.01m 的圓柱體

解析1對(duì)于選項(xiàng)A, 因?yàn)檎襟w的內(nèi)切球半徑R= 1＞0.99, 故選項(xiàng)A 正確; 對(duì)于選項(xiàng)B, 因?yàn)橛烧襟w面對(duì)線構(gòu)成的正四面體的棱長(zhǎng)為故選項(xiàng)B 正確;對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)檎襟w體對(duì)角線長(zhǎng)為故選項(xiàng)C 錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,考慮到為使放入的圓柱體的底面直徑能接近最大值,圓柱體應(yīng)內(nèi)接于正方體,且軸線與正方體的體對(duì)角線重合,確定放入位置后再按底面圓半徑由小變大考慮其形態(tài)變化.

從圖5 到圖6,隨著圓柱體的底面圓逐漸變大,底面圓所在的截面變?yōu)榱呅?且底面圓與該六邊形的長(zhǎng)邊相切. 若將六邊形補(bǔ)成正三角形,則底面圓仍為該正三角形的內(nèi)切圓,故等式仍然成立.

圖5

圖6

從圖6 到圖7,隨著圓柱體的兩個(gè)底面圓不斷變大直至重合,底面圓所在的截面變?yōu)檎呅?與正方體的體對(duì)角線垂直的截面中面積最大的截面),此時(shí)

圖7

“截形”就是在幾何體中構(gòu)造截面,借助截面更好地認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 例如在本題中,通過(guò)構(gòu)建圓柱體底面圓所在的輔助面,可以清晰地觀察到圓柱體與正方體的接觸點(diǎn)的所在位置, 位于ΔEFG和ΔE1F1G1各邊的中點(diǎn), 從而建立起想象圓柱體形態(tài)變化的思維基礎(chǔ),進(jìn)而在圖形變化過(guò)程中把握住幾何量之間的關(guān)聯(lián).

仔細(xì)觀察圖5～圖7,不難發(fā)現(xiàn)兩個(gè)幾何體的接觸點(diǎn)還位于正方體的面對(duì)角線上,據(jù)此我們可以換一個(gè)角度來(lái)想象變化過(guò)程、建立數(shù)形關(guān)系.

4 換形

解析2對(duì)于選項(xiàng)D,如圖8,構(gòu)建以點(diǎn)A1為頂點(diǎn),截面正六邊形內(nèi)切圓⊙O為底面圓的圓錐體,則該圓錐體的內(nèi)接圓柱體為正方體內(nèi)接圓柱體的一半.

圖8

圖9

圖10

“換形”是為研究對(duì)象更換一個(gè)嶄新的輔助載體,從而構(gòu)建圖形想象的新空間,尋找問(wèn)題解決的新視角. 一般更換前后的兩個(gè)幾何體從外形看具有較大的差異性,如本題解析2中的正方體和圓錐體,一者屬于多面體,另一者屬于旋轉(zhuǎn)體,但對(duì)于研究對(duì)象而言卻具有相同的屬性,它們同為圓柱體的外接體. 本題中經(jīng)過(guò)換形后,幾何體的相接情形更為直觀,圓柱體的形態(tài)變化更易描述,有效避免了解析1 中多種情形的考慮,為發(fā)揮空間想象力找到了快速通道.

本題作為多選題的壓軸題,問(wèn)題設(shè)置新穎別致,突出空間感和想象力,基于學(xué)生的基本學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),源于生活又高于生活. 起點(diǎn)低、入口寬是題目本身的特點(diǎn),為各種發(fā)展水平的學(xué)生提供了發(fā)揮空間想象力的多樣性展示平臺(tái). 試題中的難點(diǎn)選項(xiàng)突出了立體幾何基本量的計(jì)算,構(gòu)建有效的輔助形為“抽象的空間想象”與“具體的幾何度量”之間搭建起了轉(zhuǎn)化樞紐.

值得注意的是依據(jù)表1,可以發(fā)現(xiàn)體積問(wèn)題是新高考中許多立體幾何試題落實(shí)幾何度量的最終落腳點(diǎn),因此筆者立足題3 設(shè)置了新的拓展問(wèn)題,主要基于兩點(diǎn)以下目標(biāo): 一是在正方體中放入更多的學(xué)生熟悉的幾何體,讓學(xué)生的空間想象力在不同幾何體相接情形的辨識(shí)中向廣度發(fā)展. 二是以動(dòng)態(tài)幾何中的體積最值為探究對(duì)象,讓學(xué)生的空間想象力在由形到數(shù)、由數(shù)想形中向深度發(fā)展.

5 拓展

拓展1將一個(gè)圓柱體整體放入棱長(zhǎng)為1 的正方體內(nèi),且圓柱體的軸線與正方體的體對(duì)角線重合,求圓柱體體積的最大值.

拓展2將一個(gè)圓錐體整體放入棱長(zhǎng)為1 的正方體內(nèi),且圓錐體的軸線與正方體的體對(duì)角線重合,求圓錐體體積的最大值. .

拓展3將一個(gè)正三棱柱整體放入棱長(zhǎng)為1 的正方體內(nèi),且正三棱柱的兩底中心連線與正方體的體對(duì)角線重合,求正三棱柱體積的最大值.

6 結(jié)語(yǔ)

文獻(xiàn)[3]中指出空間想象力主要體現(xiàn)在: 對(duì)空間觀念的理解水平與幾何特征的內(nèi)化水平上;體現(xiàn)在簡(jiǎn)單形體空間位置的想象變換上;以及抽象的數(shù)學(xué)式子給予具體幾何意義的想象解釋或表演能力上. 2023 年新課標(biāo)Ⅰ卷中三道立體幾何試題的命制方向與設(shè)計(jì)形式很好地詮釋了以上三點(diǎn),能夠充分體現(xiàn)學(xué)生多個(gè)層面上的空間想象力,起到了較好的甄別選拔功能. 文獻(xiàn)[4]中同時(shí)指出: 數(shù)學(xué)空間想象能力的最高級(jí)水平是對(duì)立體基本幾何形的深入想象,即對(duì)空間基本幾何形內(nèi)部點(diǎn)、線、面關(guān)系以及外部組合與分解的靜止、運(yùn)動(dòng)變化的想象. 構(gòu)造空間輔助形便是對(duì)立體基本幾何形深入想象的一種外化形式,學(xué)生在構(gòu)圖的過(guò)程中可以感悟到幾何體之間的邏輯聯(lián)系,體會(huì)到空間幾何特征的刻畫方法和刻畫的本質(zhì),綜上可見(jiàn)構(gòu)造空間輔助形可以是我們發(fā)展學(xué)生空間想象力的重要途徑.