郝文華|北京師范大學鹽城附屬學校

伏建彬|徐州高等師范學校

項目式學習以問題為驅(qū)動，更強調(diào)對“真實而又復雜”問題的探究過程.基于項目式學習的教學活動更注重真實問題情境的設置，并由此引出具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學問題，來驅(qū)動教學活動的進展.那么，什么樣的問題是“真實的數(shù)學問題”，項目式學習中問題驅(qū)動的策略是什么？對于上述問題的準確探討與定位，直接決定著項目式學習的實踐路徑和質(zhì)量.

從項目式學習的發(fā)展歷程來看，作為一套系統(tǒng)的教學模式（廣義上來說，項目式學習應具有五重內(nèi)涵，即作為一種教育理念、教學模式、學習模式、課程形態(tài)和學科整合方式），其之所以能夠被稱之為一個“項目”，是因為其強調(diào)對“真實而又復雜”問題的探究過程，強調(diào)知識與現(xiàn)實生活之間的緊密聯(lián)系.當前相關(guān)學者研究的案例，也基本都是解決生產(chǎn)生活、科學研究中實際難題的各類項目.這種“真實問題”看似和嚴謹抽象的數(shù)學問題毫無瓜葛，但是在簡潔抽象的符號和圖形背后，蘊藏著真實的“情境”（即現(xiàn)實情境、數(shù)學情境和科學情境）.在教學中，只要從這種“真實情境”中提出的問題是合理的，問題的解決過程符合思維的邏輯性及學生心理、知識的發(fā)展規(guī)律，即可視其為“真實的數(shù)學問題”，繼而利用項目式學習進行解決.這也給項目式學習進課堂提供了一個理論支撐點.

基于此，筆者以人教A版普通高中教科書《數(shù)學》選擇性必修第二冊第四章第3節(jié)《等比數(shù)列》為例，深入探討項目式學習理念下高中數(shù)學教學中的問題驅(qū)動策略.

一、基于“真實數(shù)學問題”的項目式學習及問題驅(qū)動分析

基于對“真實數(shù)學問題”的理解，高中階段數(shù)列內(nèi)容的設置是“真實”而又“合理”的，符合高中數(shù)學課程架構(gòu)的邏輯性以及學生的知識與認知水平.高中數(shù)學課程分為必修課程、選擇性必修課程和選修課程三類，在必修課程中，學生已經(jīng)學習了函數(shù)的概念、性質(zhì)和幾個基本初等函數(shù)，對于研究函數(shù)問題的基本方法及應用均有所了解.相較于幾個具體的基本函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等），數(shù)列是一類相對特殊的函數(shù)，是繼函數(shù)概念之后對具體函數(shù)研究的補充，其研究過程及方法，也與基本函數(shù)相似，均遵循定義、圖象、性質(zhì)（包括單調(diào)性、周期性、最值等）、綜合應用的研究過程.由此可見，不論是從課程設置的角度，還是從函數(shù)體系內(nèi)部的邏輯發(fā)展角度，數(shù)列項目的整體構(gòu)建均符合“真實數(shù)學問題”的基本要求.

（一）項目式學習主線問題驅(qū)動分析

在實際生活、生產(chǎn)及科學研究中，我們會接觸到各種各樣、大大小小的項目，我們做的每一件事都可以被視為某個項目中的一環(huán).數(shù)學學習也一樣，如果把對函數(shù)的探究作為高中數(shù)學學習的“特大項目”，那么探究數(shù)列就可視為“大項目”，而對等差數(shù)列、等比數(shù)列的探究就可以視為“小項目”，對其概念及性質(zhì)的探究就可以看作“微項目”，與此相對應的問題即為特大問題、大問題、小問題、微問題.

在此需要強調(diào)的是，項目之大小的界定是相對的，例如，某一章中的小項目可能是某一節(jié)中的大項目，某一章中的大項目也可能是某一個研究主題下的小項目.

以“等比數(shù)列”為例，由于學生剛剛學習過“等差數(shù)列”，實施“等比數(shù)列”項目式學習就相對容易，教師可采用如下類比的方式，創(chuàng)設問題情境，引導學生進行項目式學習.

問題1：在必修教材中，我們學習過函數(shù)的概念之后，又學習了幾類特殊的函數(shù)，那么對于數(shù)列的學習，是否也遵循這種從一般到特殊的程序呢？

問題2：什么叫等差數(shù)列？其通項公式及求和公式是怎么推導的？你們能否用類似的方法研究等比數(shù)列？

問題3：等差數(shù)列有哪幾條性質(zhì)，等比數(shù)列也有類似的性質(zhì)嗎？

問題4：兩種數(shù)列的判定方法有哪些？

設計意圖：這四個問題都是“等比數(shù)列”項目式學習中的“大問題”，既從宏觀上對這一項目的開展給予指導，也為學生進行項目式學習指明了方向，學生在此大框架下進行問題研究，就不會偏離主題.

問題1 引導學生從數(shù)學研究的一般規(guī)律中去體會等比數(shù)列研究的必要性，以及兩個特殊數(shù)列的基本關(guān)系，也為后面三個問題的提出作鋪墊.

問題2 引導學生利用等差數(shù)列的定義方式、公式的推導方式去主動探索等比數(shù)列的內(nèi)容，它們的定義在文字語言的敘述上只有一字之差，符號語言形式也相似：{ an}等差?an+1-an=d（常數(shù)）（n ∈N*）；{ an}等比?=q（常數(shù)）（n ∈N*）.類比等差數(shù)列求和公式倒序相加的推導方法，結(jié)合等比數(shù)列的特征，可采用錯位相減的方法推得等比數(shù)列求和公式.

問題3的設置更具有指向性，幾條主要的性質(zhì)很相似，學生完全可以通過類比完成.例如：在等差數(shù)列{ an}中，若m+n=p+q，則有am+an=ap+aq；在等比數(shù)列{ an}中，若m+n=p+q，則有am?an=ap?aq.這是縱向類比.對此，我們還可以進行橫向延伸：若m+n+s=p+q+r，則am?an?as=ap?aq?ar.不論是縱向類比還是橫向延伸，知識產(chǎn)生的邏輯關(guān)系都是自然的、合理的、真實的，其他幾條性質(zhì)可類比探究，這種問題解決的過程既具有挑戰(zhàn)性又極具研究意義.

問題4的設置，主要是培養(yǎng)學生對數(shù)學問題的總結(jié)概括能力，這也是項目式學習中的一個重要環(huán)節(jié).類比等差數(shù)列的判斷方法，等比數(shù)列的判斷可總結(jié)為定義法、通項公式法、求和公式法和等比中項法四大類.

上述四個問題是等比數(shù)列項目式學習的主線，是驅(qū)動項目進展的教學情境，是教師精心設計的研究提綱，也是項目活動中不失教師主導地位的具體表現(xiàn).

（二）項目式學習展示與評價環(huán)節(jié)問題驅(qū)動分析

“等比數(shù)列”自主探究結(jié)束后，每個項目組要形成具體的研究成果并相互展示，教師要組織相關(guān)成員對各小組成果進行“質(zhì)量分析”，并適度進行刪減、增添、修正.評價形式應豐富多樣，可以有學生個人自評互評、組內(nèi)自評互評、小組互評、教師評價、試題檢測等.實際操作中，可選擇其中若干種方式進行，但對于每一種評價方式，教師最好給予指導性的驅(qū)動問題，例如，對于小組內(nèi)自評互評，教師可提出以下五個問題.

問題1：你在本次項目活動中承擔的主要任務有哪些？喜歡這種學習模式嗎？

問題2：你在本次項目活動中提出了哪些富有意義的建議？對自己的表現(xiàn)滿意嗎？

問題3：通過本次活動，你獲取了哪些知識點？略舉幾例.

問題4：你對本組的研究成果滿意嗎？有沒有需要改進的地方？

問題5：你從本組其他成員那里學到了什么？他們的哪些做法讓你感觸頗深？

項目式學習的評價是多維的，一般分為結(jié)果性評價（如問題3、4）、表現(xiàn)性評價（如問題2、5）、情感態(tài)度評價（如問題1）.問題驅(qū)動式的項目評價可以是教師提問，可以是組長提問，也可以是學生自己自問自答，這樣可以充分調(diào)動學生學習的主動性，增強學生學習的成就感及參與意識，鍛煉學生獨立解決問題的能力.

二、項目式學習驅(qū)動問題設計策略

項目式學習將學生置于生活世界的問題情境中，強調(diào)要通過合作協(xié)同、深度探究來解決復雜的現(xiàn)實問題.問題設計是高中數(shù)學項目式學習中的重要環(huán)節(jié)，也是項目研究順利開展的驅(qū)動器.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020 年修訂）》（以下簡稱“《課程標準》”）指出，高中數(shù)學教學以發(fā)展學生學科核心素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，引導學生把握數(shù)學的本質(zhì).項目式學習方式雖然更加注重體現(xiàn)學生的主體地位，突出學生的合作意識及動手實踐能力，但絲毫沒有減弱教師對課堂的主導作用，恰恰相反，其對教師的課堂把控、統(tǒng)籌協(xié)調(diào)，特別是問題情境及問題鏈的設置等能力要求更高.

（一）注重統(tǒng)籌性和導向性

與傳統(tǒng)的教學模式相比，項目式學習雖然把實踐活動及問題的解決“交給”了學生，但問題探究的大體方向不能偏離教學主題及研究目標，否則就會嚴重影響課堂教學效率.問題鏈的設計應體現(xiàn)項目研究的大體思路，并具有一定的指導意義及可操作性，使研究者可以從問題鏈中歸納出研究項目的流程.這要求教師在教學設計環(huán)節(jié)就要注意統(tǒng)籌把握教學內(nèi)容，先設置若干個（一般3～5個）具有指導意義的“大問題”，即學習活動的主線，引導學生在這幾個“大問題”的軌道內(nèi)逐步開展項目研究，以免偏離研究主題.例如，從單元主題構(gòu)建的角度來看，對于《等比數(shù)列》模塊內(nèi)容的項目式學習探究，可通過如下四個“大問題”展開.

問題1：類比等差數(shù)列的學習，探究什么是等比數(shù)列，其通項公式又是什么？

問題2：如何推導等比數(shù)列的前n項和公式？

問題3：根據(jù)等比數(shù)列的定義及公式，可以得出哪些基本性質(zhì)？

問題4：利用公式及性質(zhì)，能否解決教材中的練習與習題？

（二）注重適切性和邏輯性

不論采用什么教學模式，從課堂教學改革與發(fā)展的歷程來看，課堂教學活動均離不開問題情境的設置.而設計出合理的問題鏈，則能更好地銜接學生已有的知識經(jīng)驗，激發(fā)學生主動探索的興趣.項目式學習更加強調(diào)在真實有效的問題情境中進行探究活動，這就要求教師必須充分挖掘知識產(chǎn)生背后的真實問題，然后結(jié)合學生的實際創(chuàng)設具有適切性和邏輯性的問題情境.所謂“適切”，除了具有“適合、貼切”之義外，還強調(diào)高度的“關(guān)聯(lián)性”和“適中性”.適切的問題情境，可以讓抽象的數(shù)學問題形象化，讓呆滯的數(shù)學結(jié)論生動化，讓嚴密的數(shù)學邏輯順暢化，從而使枯燥的項目式學習更加生活化.可以這么說，問題鏈及情境的設置是否合理，直接影響項目研究的進展和質(zhì)量.因此，問題情境的設置應基于學生學情、教材內(nèi)容、思想方法、教學重難點等諸多因素，既要符合知識發(fā)展的邏輯規(guī)律（學生熟悉的），又要注意問題的數(shù)量及問題間的層次關(guān)系（邏輯上的關(guān)聯(lián)性），同時還應具有一定的挑戰(zhàn)性.

（三）注重界定、拆分與轉(zhuǎn)化

《課程標準》指出，教學情境和數(shù)學問題是多樣的、多層次的.數(shù)學教學情境一般包括現(xiàn)實情境、數(shù)學情境和科學情境；數(shù)學問題是指在情境中提出的問題，分為簡單問題、較為復雜問題和復雜問題.項目設計中的問題界定、問題拆分、問題轉(zhuǎn)化是問題驅(qū)動的關(guān)鍵所在.問題的界定，其實就是判斷、篩選的過程，即對問題的價值進行判斷，篩選出有價值的問題進行教學，避免在無效問題上浪費時間和精力，這是問題驅(qū)動下項目式學習的起點.問題的拆分是項目式學習的基本思維，拆分問題就是將一個復雜、籠統(tǒng)、難以解決的“大問題”分解為一個個簡單、具體、可操作的“小問題”，化整為零，各個擊破.例如，在講解等比數(shù)列的相關(guān)概念時，可將“等比數(shù)列的基本概念”這一問題拆分如下.

問題1：類比等差數(shù)列，應該如何定義等比數(shù)列？

問題2：什么是等比中項？它和等差中項有什么區(qū)別？

問題3：請寫出一個簡單的等比數(shù)列，并給出其通項公式.

問題4：你能推導出一般情況下等比數(shù)列的通項嗎？

問題5：類比等差數(shù)列，結(jié)合通項公式，你能找到等比數(shù)列具有哪些性質(zhì)嗎？

拆分問題不是將子問題進行簡單羅列，而是要分解出具有層次性、關(guān)聯(lián)性、遞進關(guān)系的若干便于執(zhí)行的小問題.這種由淺入深、環(huán)環(huán)相扣、逐層遞進的處理方式能有效降低教學難度，便于學生拾級而上.問題的化歸與轉(zhuǎn)化是項目式學習中問題設計的一種基本策略，它是在研究和解決有關(guān)數(shù)學問題時采用某種手段將問題進行變換，使之轉(zhuǎn)化為一個簡單、易解的問題，進而達成問題解決的一種方法.在項目式學習中，常見的轉(zhuǎn)化類型有：一般與特殊的轉(zhuǎn)化；正與反的轉(zhuǎn)化；常量與變量的轉(zhuǎn)化；數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；相等與不等的轉(zhuǎn)化；實際問題與數(shù)學模型的轉(zhuǎn)化；數(shù)學各分支之間的轉(zhuǎn)化等.例如，對于數(shù)列的單調(diào)性，可從“量”（an+1-an>0 恒成立）與“形”（函數(shù)圖象上的孤立點）兩個不同的角度進行轉(zhuǎn)化理解；對于等差數(shù)列的定義，可從文字語言（教材中的定義）及符號語言（an+1-an=d）兩個角度進行描述；對于等比數(shù)列的判定，可從定義、通項、等比中項及求和公式四個角度相互轉(zhuǎn)化，分析判斷.學生會在這種問題轉(zhuǎn)化與化歸的過程中，不斷拓寬學習思路，提升數(shù)學技能和數(shù)學素養(yǎng).

優(yōu)質(zhì)的項目式學習都起始于一個真實的好問題，發(fā)展于若干個高質(zhì)量的驅(qū)動問題.問題的驅(qū)動無對錯之分，卻有高低之別.因此，在日常教學實踐中，教師要在真切觀照現(xiàn)實問題的基礎上，加強對跨學科核心概念、教學設計方法及學生情感教育的關(guān)注，不斷探索問題驅(qū)動的設計策略，力爭創(chuàng)設出真實、貼切、多向、可操作的“腳手架”問題，并借助項目式學習這個工具，提升參與者（教者和學習者）真實的能力和素養(yǎng).□◢