王 斌, 周艷平, 別群益

(三峽大學 理學院, 湖北 宜昌 443002)

1 引言與預備知識

本文研究如下四維不可壓縮Navier-Stokes方程的能量守恒:

(1)

其中,u表示速度場,π表示壓力,ν表示黏性系數(shù)．Navier-Stokes方程描述的是黏性不可壓縮流體動量守恒的運動方程,該方程解的存在性、穩(wěn)定性、唯一性和解的非線性動力學特性等問題[1-6]是流體力學家近幾十年來關注的熱點．

1.1 能量弱解的定義

Leray[7]和Hopf[8]證明了在能量有限的初始條件下,Navier-Stokes方程存在弱解,可記為Leray-Hopf弱解．接著,Masuda[9]證明了在Ω?N中Navier-Stokes方程弱解的存在性．以下給出其定義．

定義1 對于初始值u0∈L2(N)和一個特定時間T,方程(1)中存在一個弱解使得

(2)

(3)

Foias[10]引入了函數(shù)空間Lq([0,T];Lp(N)),其中1≤p,q≤∞,證明了若Lq([0,T];Lp(N))中存在一個弱解u,滿足

則u是Navier-Stokes方程的唯一弱解;Serrin[11]在N(2≤N≤4)的情況下也得到了一個類似的定理:對于1≤p,q≤∞,滿足

則u是Navier-Stokes方程的唯一弱解．

1.2 適當弱解和部分正則性

在文獻[12-14]中,Scheffer引入了Navier-Stokes方程的適當弱解和廣義能量不等式的概念,并得到了這類弱解的各種部分正則性結(jié)果．隨后,Wu[15]證明了四維空間中Navier-Stokes方程也存在適當弱解且滿足局部能量不等式．以下給出適當弱解的定義(見文獻[15])．

定義2 設(u,π)是Navier-Stokes方程在Q?4上的適當弱解,對于t∈[-1,0]使得

關于四維Navier-Stokes方程弱解的部分正則性研究已經(jīng)取得了很多成果．Scheffer[13]證明了在4的局部閉集外存在弱解u是連續(xù)的,且該局部閉集的三維Hausdorff測度有限;Dong和Du[16]、Wang和Wu[17]均證明了奇異集的二維拋物型Hausdorff測度為0;接著,Wu[15]證明了在4×[0,∞]中Navier-Stokes方程存在部分正則性弱解滿足局部能量不等式,且奇異集具有有限的二維拋物型Hausdorff測度．以下給出弱解的奇異集定義(可參考文獻 [15])．

定義3 設u是Navier-Stokes方程在4×[0,T]上的弱解,若存在r>0,有u∈L∞(Qr(x),t),其中Qr(x,t)是以(x,t)為中心的時空柱面,則點(x,t)∈4×[0,∞]為正則點．否則(x,t)為奇異點,這里用S表示所有奇異點的閉集．

1.3 能量等式

若u是方程(1)的強解,則對所有t∈[0,T],方程(1)滿足能量等式:

(4)

在Onsager猜想[18]下,等式(4)排除了由非線性項導致的異常能量耗散,該能量耗散與無黏性(ν=0)Euler方程的弱解有關．對于能量等式(4)的討論,這里利用弱解的奇異集可能局限在一個低維時空子集的事實,通過Caffarelli-Kohn-Nirenberg定理[19]構(gòu)建適當?shù)母采w奇異集的試驗函數(shù)來建立能量等式．

關于Navier-Stokes方程的能量守恒已有很多研究結(jié)果,在三維空間中,Lions[20]證明了當u∈L4([0,T];L4(3))時等式(4)成立;Lady?enskaja、Solonnikov和Ural’ceva在文獻[21]中也得到了這個結(jié)果;隨后Kukavica[22]假設壓力π∈L2([0,T];L2(3)),得到了能量守恒;在N維空間中,Serrin[11]證明了在u∈Lq([0,T];Lp(N))和2/q+N/p≤1的條件下能量守恒;Shinbrot[23]改進了這一結(jié)論,證明了當2/p+2/q≤1,p≥4時,該方程能量守恒．

本文利用Wu[15]研究的四維不可壓縮Navier-Stokes方程的部分正則性結(jié)果,得到了四維空間中新的Lq([0,T];Lp(4))條件,保證該方程的能量守恒．以x=1/p為橫坐標,y=1/q為縱坐標繪圖(見圖1—4),圖中虛線表示不包含邊界,實線表示包含邊界．

1.4 主要結(jié)果

定理1 假設u∈Cw([0,T];L2(4))∩L2([0,T];H1(4))是方程(1)在[0,T]上的適當弱解且在[0,T)上是正則的．若u∈Lq([0,T];Lp(4))滿足下列條件:

(5)

(6)

(7)

則u在[0,T]上滿足能量等式(4)．

注1 定理1為奇異集的Hausdorff維數(shù)d=2時的情況(見后文中圖3)．

注2 若p<3,和文獻[24]中三維情形時的結(jié)果比較可知: 在四維空間中, 當奇異集的Hausdorff維數(shù)d=2時, 式(7)為雙曲線, 2xy+4x-4x2=1; 而在三維空間中, 其對應的曲線為拋物線, 6x2-7x-2y+2=0(此時d=1), 其中x=1/p,y=1/q．

2 證 明 思 路

下文中的Lq([0,T];Lp(4))均簡記為Lq(Lp)．假設(u,π)是Navier-Stokes方程在4×[0,T]上的一個Leray-Hopf弱解,類似文獻[25],當0≤s

(8)

A-B-C=D+2P-2νE-2νF．

(9)

本節(jié)主要目的是在試驗函數(shù)φ中找出一個序列{φδ}δ>0,使得當δ→0時,A,B和E分別收斂到式(4)各項;C,F和D+2P趨于0,從而得到p和q的取值范圍使得能量等式(4)成立．

給定一個Leray-Hopf弱解u和奇異集S,在試驗函數(shù)中找到一個序列{φδ}δ>0,滿足如下兩個條件:

(10)

(11)

對于A,B和E的極限,若u∈L∞L2∩L2H1,由控制收斂定理,得

下文用 [-1,0] 來代替區(qū)間[0,T],0是臨界點,假設S?4×{0}．為使C,D+2P和F趨于0,記Br(x)表示開球{y∈4:|y-x|

(12)

因此,對任意的a>0,有

(13)

通過構(gòu)建上面的試驗函數(shù)φ,可得以下引理(其證明見文獻[19])．

(14)

其中,常數(shù)s不依賴于δ．另外,當d=0時,若sσ≤α,則式(14)仍成立．

3 主要結(jié)果的證明

如第2節(jié)所述,用 [-1,0] 來代替區(qū)間 [0,T]．下面利用式(13)和引理1來分別估計C,F和D+2P．首先,對于C,由H?lder不等式,對任意的p,q≥2,有

(15)

有界．為此,令

根據(jù)引理1,當s≥1時,p和q須滿足

(16)

另一方面,當s<1時,則p和q須滿足

(17)

結(jié)合式(16)和(17),得C趨于0．

對于F,有

(18)

已知u∈L2H1,當δ→0時,|Q*|趨于0,可得式(18)最后一項趨于0．由H?lder不等式,對任意的p,q≥2,有

類似于C的估計,由引理1,得

(19)

(20)

其中

結(jié)合式(19)和(20),得F趨于0．

對于D+2P,下面就p≥3和p<3兩種情形分別討論．

(21)

類似于C的估計,由引理1,得

(22)

(23)

其中

結(jié)合式(22)和(23),得D+2P趨于0．

當p<3時,由插值不等式,若

(24)

(25)

得

(26)

其中

(27)

將式(25)代入式(27),得

(28)

上面的約束條件(16)和(17)、(19)和(20)、(22)和(23)分別表示三組平行線:線C、線F和線DP．線C圍繞點L∞L2(即點(1/2,0), 后面類似)旋轉(zhuǎn), 線F圍繞點L2L(8-2d)/(2-d)旋轉(zhuǎn), 且都隨著α增大而逆時針旋轉(zhuǎn)．當d≤2時,有α=(6-d)/2,此時線C和線DP重合;當d>2時,得α=2,此時線C和線F重合．因此,為保證能量守恒,p和q須滿足如下條件:

(29)

(30)

(31)

當p≥3時,若0≤d<2,考慮線C存在分離點L(14-3d)/(4-d)L(14-3d)/(4-d),若3≤p<(14-3d)/(4-d),線C為虛線,若p>(14-3d)/(4-d),線C為實線;當d=2時,線C、線F和線DP均為直線,2/p+2/q=1; 若2

當p<3時,線C和線F的約束條件不變,此時線DP為條件(28)．聯(lián)立式(16)、(17)和(28),并消去α,得到曲線:

(32)

若d=2,代入式(32),得

此式為定理1的式(7)(見圖3)．

當2

圖1—4分別表示奇異集Hausdorff維數(shù)d=0,0

圖1 d=0圖2 0

圖3 d=2圖4 2

4 結(jié) 論

具黏性不可壓縮Navier-Stokes方程是流體運動的基本模型方程,有著重要的實際應用背景．Wu在文獻[15]中研究了四維不可壓縮Navier-Stokes方程的部分正則性,當該方程的Leray-Hopf弱解存在Hausdorff維數(shù)小于4的奇異集時,我們利用Wu[15]的結(jié)果,找到了四維空間中新的Lq([0,T];Lp(4))條件,從而解決了四維空間中緊性不足問題．關于Navier-Stokes方程適當弱解的能量守恒在三維和四維空間中已經(jīng)有了很多研究,對于更高維空間里Navier-Stokes方程適當弱解的能量守恒的情形有待進一步研究．