田亞平, 楊江輝, 王瑞邦

(蘭州交通大學 機電工程學院, 蘭州 730070)

0 引 言

錐齒輪傳動廣泛應用于機車、航空、機床等行業(yè)傳動裝置中．含間隙和時變因素的錐齒輪傳動系統(tǒng)的非線性振動對系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性提出了嚴峻挑戰(zhàn),成為學者們研究的熱點．王三民等[1]建立了正交錐齒輪系統(tǒng)動力學模型并分析了系統(tǒng)分岔和幅值跳躍特性．黃康等[2]考慮隨機因素探索了間隙的合理范圍．Wang等[3]考慮含齒面混合潤滑研究了表面粗糙度對齒面沖擊的影響．Hua等[4]建立了軸承-錐齒輪轉(zhuǎn)子有限元模型,分析了軸承支承剛度對動態(tài)嚙合力的影響．Cao等[5]分析了不同潤滑狀態(tài)下錐齒輪傳動系統(tǒng)的非線性動態(tài)特性．李飛等[6]研究了摩擦和重合度對系統(tǒng)振動幅值和嚙合力的影響．

小波法[7]、數(shù)值法[8]是求解非線性系統(tǒng)分岔特性的常用方法,但在全局分岔特性轉(zhuǎn)遷特性分析上適用性較差．胞映射理論是研究非線性動態(tài)特性轉(zhuǎn)遷的常見方法．在參數(shù)域平面內(nèi),Gou等[9]采用胞映射研究了齒輪副模型的周期吸引子分形結構,Liu等[10]通過對齒輪解域界分析實現(xiàn)了混沌控制,林何等[11]分析了弧齒錐齒輪傳動系統(tǒng)中周期運動的解域界結構．因偽不動點周期求解及追蹤CPNF法求解效率高,在含間隙的行星輪系[12]和單級齒輪系統(tǒng)[13]的周期求解中獲得了成功應用．田亞平等[14]用CPNF法研究了單級齒輪系統(tǒng)的動態(tài)特性解域界結構．多參耦合下的解域界結構能有效揭示其動態(tài)特性間的耦合及轉(zhuǎn)遷規(guī)律．目前,針對含間隙直齒錐齒輪動態(tài)特性參數(shù)解域界結構的研究還鮮有報道．

據(jù)統(tǒng)計,間隙和時變參數(shù)是導致動車齒輪傳遞裝置(圖1)故障和車輛振動超標的主要因素．本文以該錐齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象,建立了7自由度錐齒輪系統(tǒng)動力學模型,采用CPNF法求解周期、脫嚙、齒面沖擊、動載特性的轉(zhuǎn)遷規(guī)律,探索參數(shù)組合下系統(tǒng)的周期分岔與齒面沖擊及脫嚙、動載間的耦合關系,為錐齒輪結構設計參數(shù)選擇提供理論依據(jù)．

1 動力學模型

含彈性支承的直齒錐齒輪傳動系統(tǒng)動力學模型如圖2所示[1]．兩齒輪軸線正交于原點O,建立坐標系∑:{Oxyz}．兩輪支承等效在齒寬中點O1,O2,沿坐標軸的支承剛度和阻尼為kij,cij(i=x,y,z;j=1,2)．ch,kh(t)和bh分別為齒輪副嚙合的阻尼、時變剛度和齒側間隙．設主動輪1受到的驅(qū)動力矩Tp由常量Tpm和變量Tpv構成;從動輪2受到穩(wěn)定的阻抗力矩Tgm．忽略齒輪的擺動與彎曲,兩個剛性錐盤的振動是分別以O1,O2為中心,沿坐標軸的移動和軸線的轉(zhuǎn)動,即8個自由度{X1,Y1,Z1,X2,Y2,Z2,θ1,θ2}．

考慮振動和誤差,兩齒輪沿嚙合線的動態(tài)綜合傳遞誤差Λn為

Λn=(X1-X2)a1-(Y1-Y2)a2-(Z1+r1θ1-Z2-r2θ2)a3-en(t),

(1)

式中,a1=cosδ1sinαn,a2=cosδ1cosαn,a3=cosαn,δ1為主動輪節(jié)錐角,αn為法面壓力角,r1,r2為兩輪的節(jié)圓半徑．齒輪副的靜態(tài)綜合誤差en(t)展開成級數(shù)形式為

(2)

式中,Ωh,Al和Φl為嚙合頻率、l階諧波幅值和初相位．

齒輪副的嚙合力Fn及其沿坐標軸的分力Fx,Fy和Fz分別為

(3)

用文獻[15]計算kh(t)并用級數(shù)展開為

(4)

式中,km,kkl和Φkl為嚙合剛度的均值、l階諧波幅值和初相位．結合動車齒輪箱工程計算精度要求,本文選取一階級數(shù)進行數(shù)值仿真計算．

間隙函數(shù)f(Λn)為

(5)

圖2 動力學模型Fig. 2 The nonlinear dynamic model for a spiral bevel gear set

根據(jù)Newton第二定律,圖2所示的錐齒輪傳動系統(tǒng)振動方程為

(6)

式中,m1,m2,J1,J2為兩輪的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量．

用沿嚙合線的動態(tài)綜合傳遞誤差Λn作為新自由度,將式(6)中兩齒輪扭振方程合并得

(7)

將上述方程整理并量綱一化處理得

(8)

式中

xj=Xj/bn,yj=Yj/bn,zj=Zj/bn,λ=Λn/bn,Ωn=(km/me)1/2,

Ωij=(kij/mj)1/2,ξij=cij/(2mjΩn),kij= (Ωj/Ωn)2,i=x,y,z,j=1,2,

(9)

bn為標稱間隙．

2 系統(tǒng)動態(tài)特性仿真指標

2.1 脫嚙占空比和齒背嚙合比

輪齒脫嚙和齒背接觸行為是引起齒面拍擊和附加動載荷的主要因素．由文獻[16]知,齒輪嚙合的沖擊和脫嚙(I=0,1,2)狀態(tài)可由運動周期中的最小嚙合綜合誤差λmin與齒側間隙b判斷,其判斷式為

(10)

脫嚙占空比(non-meshing duty coefficient,δNMDC)和齒背嚙合比(back-meshing duty coefficient,δBMDC)是量化系統(tǒng)脫嚙沖擊嚴重性的主要指標,設在一個運動周期T內(nèi)脫嚙時間為t1,齒背嚙合時間為t2,則δNMDC和δBMDC為

(11)

2.2 動載系數(shù)

齒輪強度設計中考慮齒輪振動導致動態(tài)嚙合力瞬態(tài)增大的因數(shù)稱為動載系數(shù)(dynamic load coefficient,δDLC)．受支承剛度、箱體結構和重合度等因素影響動載系數(shù)計算十分復雜,為突出間隙和時變剛度對動載系數(shù)的影響,定義運動周期內(nèi)最大嚙合力|fn(τ)|max與平均值fpm之比的平方根為動載系數(shù):

(12)

3 參數(shù)解域結構求解

參數(shù)解域結構求解是基于胞映射原理將參數(shù)平面進行胞元離散,在胞元內(nèi)對周期運動采用CPNF法延續(xù)追蹤判穩(wěn)獲得其周期運動的參數(shù)域界結構．在追蹤過程中伴隨有脫嚙、沖擊和動載特性的參數(shù)解域結構求解．其基本思想及實施過程如下．

3.1 參數(shù)域胞元化

對多參γi控制的非自治動力學系統(tǒng)可描述為

(13)

式中,X為n維狀態(tài)向量,τ為量綱一時間,γi∈RK為系統(tǒng)的k個控制參數(shù),f為映射法則．

為分析激勵參數(shù)γi與響應間的關聯(lián)機制,在[xl,xu]×[yl,yu]二維參數(shù)域Θ內(nèi)對參數(shù)離散化為n×m個胞元,參數(shù)胞為cij(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m)．其中,xl,yl和xu,yu分別表示x,y方向的起點和終點,hi,hj為離散胞在x,y方向的胞元尺度．x,y方向的胞尺度hi,hj為

(14)

在參數(shù)域Θ內(nèi),從xl,yl開始得到x,y方向上參數(shù)的遞推關系xi,yj為

(15)

則域Θ內(nèi)離散后的各胞元(xi,yj)賦值為

(16)

3.2 動力學行為延拓追蹤步驟

參數(shù)域Θ內(nèi)各胞元的動力學行為采用CPNF法追蹤求解．首先沿x方向?qū)Τ跏及?x0,yj)用偽不動點PNF法[10-11]進行系統(tǒng)運動周期求解并判穩(wěn); 然后沿x方向按步長hi進行延拓追蹤、用Floquet乘子|λ|max判斷周期運動的穩(wěn)定性．當|λ|max>1時周期運動失穩(wěn),在該胞元(xi,yj)處終止周期追蹤判斷分岔類型,并用PNF法重新求解新周期,若求解周期數(shù)超過設定值時認定該胞元為混沌或擬周期狀態(tài)(可用Floquet乘子和Lyapunov指數(shù)判定),在(xi+1,yj)胞元處重新求解周期數(shù)并追蹤直至xu結束;當完成x方向追蹤后,沿y方向遞進一層繼續(xù)追蹤求解,直至遍歷全域結束．

3.3 胞元周期解求解過程

CPNF法周期求解判穩(wěn)的關鍵是求方程組(17)的穩(wěn)定解

(17)

式中,Φ=DP(X)為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)遷矩陣[12], 其狀態(tài)方程的Jacobi矩陣?f(X,τ)/?X在λ≠±b的分段光滑區(qū)內(nèi)為

(18)

式中

A1=[-a1[kx12ξx1],a2[ky12ξy1],a3[kz12ξz1],

a4[kx22ξx2],-a5[ky22ξy2],-a3[kz22ξz2]],

(19)

因在λ=±b處Jacobi矩陣不存在,故結合計算精度選取合理步長的有限差分法替代為

(20)

方程(17)以(Xk,I)為初值積分一個周期T獲得系統(tǒng)迭代點Xk+1和轉(zhuǎn)遷矩陣DP(Xk)．令Xk=Xk+1作為下次迭代的初始值,迭代到滿足精度要求的不動點XF,就是式(13)的m倍周期運動X(τ)的不動點．找到穩(wěn)定周期解后,引入分岔參數(shù)Ω,采用延續(xù)追蹤法進行周期追蹤．設已求得Ω=Ωk(k=0, 1, 2, …)時,周期T的不動點為Xk,用Euler積分法得Ω=Ωk+1點對應不動點Xk+1的初始不動點Xk+1,0的預測公式[14]:

(21)

式中,ΔΩ為追蹤步長,GX(Ωk,Xk)=I-DP(Ωk,Xk),GΩ(Ωk,Xk)=PΩ(Ωk,Xk)．PΩ(Ωk,Xk)由打靶法建立的微分方程組(22)求得

(22)

式中

fΩ(X,Ω,τ)=feΩ{2cos(Ωτ)+Ωsin(Ωτ)}[01×131]T+

αsin(Ωτ)[0 -1 0 1 0 1 0 1 0 -1 0 -1 0 -4]T/4．

(23)

以(Xk,Ωk)為初值積分一個映射周期T獲得以(Xk,PΩ(Ωk,Xk))為追蹤參數(shù)下的新不動點．

4 系統(tǒng)動態(tài)特性綜合分析與解域界

不失一般性,取量綱一仿真參數(shù):

ξi1=ξi2=0.01 (i=x,y,z),ξh1=ξh2=0.012 5,ξh=0.05,

ki1=ki2=1.0,kh1=kh2= 0.5,kh=1+αcos(Ωτ),

fpm=0.5,fav=0.0,fe= 0.2,b=1.0．

在參數(shù)解域界平面內(nèi),齒面沖擊/運動周期(I/P)類型用特定的顏色表示,其分岔曲線為解域界．齒輪系統(tǒng)常常穩(wěn)定運行于短周期狀態(tài)下,為突出低周期(P<64)分岔特性,在I/P分岔圖中對周期數(shù)P≥65的長周期、擬周期(quasi-P)和混沌(chaos)運動均用“I/N”表示．系統(tǒng)的倍化(PD bif)、鞍結(NS bif)、檫切[17](G bif)分岔定義參見文獻[14],不再贅述．當系統(tǒng)從I/P向I/(3P)狀態(tài)轉(zhuǎn)遷時,系統(tǒng)發(fā)生了齒輪系統(tǒng)典型的周期3分岔(3T bif),依次類推．

時變嚙合剛度系數(shù)α表征齒輪嚙合重合度,其值表征單雙對齒嚙合不均勻性程度．頻率比Ω表征系統(tǒng)轉(zhuǎn)速,其值表征系統(tǒng)轉(zhuǎn)速高低．故構建Ω×α∈[1.2, 1.7]×[0.05, 0.55]參數(shù)平面(圖3),在平面內(nèi)均勻地選取501×501個胞元構建I/P及相應的δNMDC,δBMDC,δDLC解域界結構．

I/P解域界結構(圖3(a))表明:在參數(shù)平面內(nèi),以周期1(P=1,下同)運動為主,存在P=2,3,9,10,18,32和quasi-P、chaos等運動狀態(tài);3種齒面沖擊共存,以單邊沖擊為主．在α<0.15區(qū)域內(nèi),隨Ω遞增系統(tǒng)發(fā)生了SN bif和3T bif,使系統(tǒng)處于0/1,1/1,1/3運動狀態(tài)．在0.15<α<0.3區(qū)域內(nèi),系統(tǒng)通過PD bif、3T bif、HP bif等分岔方式進入混沌運動．在0.3<α<0.55區(qū)域內(nèi),隨Ω遞增系統(tǒng)發(fā)生了G bif、3T bif、3T chaos和CIC bif 等分岔．在Ω=1.6附近表現(xiàn)出復雜的動力學行為轉(zhuǎn)遷,即在該胞元內(nèi)動力學行為極其不穩(wěn)定．沿α方向在Ω<1.25區(qū)間內(nèi),系統(tǒng)以P=1運動的3種沖擊轉(zhuǎn)遷為主．在1.25<Ω<1.5區(qū)間,系統(tǒng)的動力學行為較為穩(wěn)定．當Ω>1.5時,系統(tǒng)通過HP bif、3T bif和CIC bif的形式使系處于周期-混沌-周期運動狀態(tài)．參數(shù)解域界結構表明齒輪嚙合重合度是影響齒輪沖擊的主要因素,隨α遞增齒面脫嚙、齒背接觸的概率增大．在系統(tǒng)的共振頻率附近多周期、混沌現(xiàn)象加劇,并出現(xiàn)了齒輪傳動系統(tǒng)典型的周期3分岔行為．

系統(tǒng)I/P解域界結構對應的齒面脫嚙、齒背接觸和動載特性如圖3(b)—3(d)所示．圖3(b)表明,齒輪脫嚙程度隨周期分岔和齒面沖擊的轉(zhuǎn)遷而階躍突變,在1/1解域內(nèi)其脫嚙程度并不一致,在G bif分岔線附近δNMDC達到極值0.55左右．隨α增大其脫嚙程度加劇,而在1/N和2/N解域內(nèi)δNMDC值并未達到極值,即多周期或混沌運動下齒面脫嚙未必最嚴重．圖3(c)表明,在雙邊沖擊的2/1域界內(nèi)其齒背接觸最為嚴重達到極值0.38左右,在2/3、2/N域界內(nèi)其齒背接觸狀態(tài)隨α遞增而加劇但沒有達到極值,即齒輪嚙合的雙邊沖擊程度與系統(tǒng)混沌現(xiàn)象并無必然聯(lián)系．圖3(d)表明,系統(tǒng)的δDLC隨齒面沖擊和周期運動分岔出現(xiàn)了突變,在同一解域內(nèi)其動載系數(shù)隨α遞增而增大,在無沖擊的0/1解域內(nèi)其值較小、在雙邊沖擊的2/1、2/N域界內(nèi)達到極值2.8．

(a) I/P(b) δNMDC

(c) δBMDC(d) δDLC圖3 Ω×α平面動態(tài)特性解域界結構Fig. 3 Dynamic properties solution domain boundary structures in the Ω×α 2-parameter plane

為驗證CPNF法求解的正確性,沿α方向以0.05等距選取截面,用Runge-Kutta法對Ω參數(shù)分岔進行數(shù)值計算獲得三維I/P分岔圖(圖4)．

圖4 Ω×α雙參分岔圖Fig. 4 The bifurcation diagram in the Ω×α 2-parameter plane

圖4中,黑、紅、藍色映射點分別對應無沖擊、單邊沖擊和雙邊沖擊,其I/P分岔過程與圖3(a)相匹配驗證了解界域結構的正確性．因CPNF法對周期運動求解追蹤過程不用計算瞬態(tài),故較Runge-Kutta法求解效率高．

為更清晰地展示周期分岔與齒面脫嚙的關聯(lián)關系,取α=0.20,0.40的分岔圖如圖5所示．圖5(a)中的系統(tǒng)通過SN bif、3T bif、HP bif和激變(CIC bif)分岔方式使系統(tǒng)處于0/1, 1/1, 2/3, 1/3, quasi-P,2/chaos,1/chaos,1/1運動．圖5(b)中系統(tǒng)通過SN bif、3T bif、PD bif和C bif分岔使系統(tǒng)處于2/1,1/1,2/3,2/chaos運動狀態(tài)．HP bif和SN bif可通過CPNF追蹤中Floquet乘子|λ|max來判定,而G bif與SN bif是通過齒面沖擊類型和Floquet乘子共同判別,若穿越λ=±b截面時Floquet乘子從實數(shù)軸方向穿越單位圓則發(fā)生了鞍結分岔,否則為擦切分岔．

取α=0.20截面(圖5(a))的部分Poincaré映射和相圖(圖6)驗證CPNF求解的分岔過程．Ω=1.531時系統(tǒng)為1/1運動(圖6(a))經(jīng)3T分岔為2/3運動(圖6(b)),P=3轉(zhuǎn)遷為3個焦點(圖6(c))、Hopf圈(圖6(d))、扭曲鎖相(圖6(e))直至形成混沌運動(圖6(f))．即圖5驗證了通過周期3分岔和Hopf分岔使系統(tǒng)處于1/1,2/3,1/1,擬周期和混沌運動．

(a) α=0.20(b) α=0.40圖5 分岔圖Fig. 5 The bifurcation diagram via α

(a) Ω=1.531(b) Ω=1.535(c) Ω=1.563

(d) Ω=1.575(e) Ω=1.600(f) Ω=1.650圖6 Poincaré映射圖和相圖Fig. 6 Poincaré and phase maps

圖7為圖5(b)中α=0.40時I/P部分的Poincaré映射和相圖．Ω=1.523時系統(tǒng)處于0/1運動(圖7(a))經(jīng)周期3分岔為2/3運動(圖7(b)),P=3再經(jīng)周期3分岔為P=9(圖7(c))、P=18(圖7(d))、……、混沌運動(圖7(e))．圖7驗證了系統(tǒng)經(jīng)周期3分岔進入混沌的過程．

取α=0.40截面(圖5(b))對應的齒面脫嚙比、齒背接觸比和動載系數(shù)分布圖(圖8)．齒面脫嚙在齒面沖擊轉(zhuǎn)遷截面發(fā)生了突變,在1/1周期區(qū)間其脫嚙程度隨Ω遞增而減弱(圖8(a))．齒背接觸在雙邊沖擊區(qū)域隨Ω遞增而加劇,在陣發(fā)性混沌區(qū)域存在突變現(xiàn)象(圖8(b))．動載系數(shù)隨齒面沖擊和周期分岔產(chǎn)生了突變,隨齒面沖擊加劇其動載系數(shù)俱增(圖8(c)),在單邊沖擊區(qū)其δDLC隨Ω遞增而遞減,在雙邊沖擊區(qū)隨Ω遞增而遞增．即齒面沖擊和周期分岔是影響齒面脫嚙、齒背接觸及動載特性的主要因素．

圖8 脫嚙比、動載系數(shù)分布圖Fig. 8 The δNMDC, δBMDC and δDLC distribution diagrams

時變嚙合剛度和頻率比平面內(nèi)的I/P,δDLC,δBMDC和δNMDC解域界結構揭示了系統(tǒng)隨參數(shù)分岔、脫嚙、沖擊、動載荷的轉(zhuǎn)遷規(guī)律及其關聯(lián)關系．針對不同速度車型要求,依據(jù)解域界結構對轉(zhuǎn)速和重合度參數(shù)進行匹配優(yōu)化．選取參數(shù)時盡量避開混沌、雙邊沖擊和動載較大的參數(shù)區(qū)域,盡可能在0/1區(qū)域選擇合理的重合度或轉(zhuǎn)速參數(shù)能有效地降低嚙合沖擊、脫嚙和動載對齒輪箱的影響,可延長齒輪箱的服役周期、降低設備維護費用．

5 結 論

本文針對7自由度直齒錐齒輪傳動系統(tǒng)的周期分岔、齒面沖擊、脫嚙和動載特性問題,采用胞映射理論構建了重合度和轉(zhuǎn)速激勵參數(shù)平面,用CPNF法進行了數(shù)值求解獲得了I/P,δNMDC,δBMDC和δDLC解界域結構,得到了如下結論:

1) 參數(shù)平面內(nèi)基于胞映射理論的CPNF法解域界結構求解方法是一種高效的數(shù)值求解方法．

2) 含間隙的錐齒輪系統(tǒng)存在鞍結、倍化、Hopf、激變、擦切和周期3等分岔現(xiàn)象,隨時變嚙合剛度系數(shù)增加其齒面沖擊加劇,在嚙頻附近系統(tǒng)的周期運動和齒面沖擊最為嚴重．

3) 系統(tǒng)分岔和齒面沖擊轉(zhuǎn)遷導致其齒面脫嚙和齒背接觸及動載行為產(chǎn)生了突變,在各I/P區(qū)域內(nèi)其值也隨參數(shù)波動．隨時變嚙合剛度系數(shù)增大其動態(tài)特性加?。?/1和2/N區(qū)域其脫嚙最為嚴重,在2/1區(qū)域內(nèi)齒背接觸最為嚴重,其動載系數(shù)最大．