謝樂平　佘志強

摘 要：為了推進(jìn)專業(yè)課程的課程思政，提升人才培養(yǎng)質(zhì)量和落實立德樹人的根本任務(wù)，提出了代數(shù)中求向量組的極大線性無關(guān)組的擴充法，探索了擴充法的廣泛應(yīng)用，并以擴充法為例，結(jié)合當(dāng)前的線上線下混合式教學(xué)模式，研究了如何融入課程思政元素并更好地組織和實施教學(xué)。

關(guān)鍵詞：擴充法；課程思政；混合式教學(xué)

2020年教育部印發(fā)《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》提出：課程思政建設(shè)要全面推進(jìn)，課堂教學(xué)是構(gòu)建全員全程全方位育人大格局的“主渠道”，而專業(yè)課程教學(xué)是課程思政的最主要依托[1]。為此，考慮到代數(shù)是普通高等教育和繼續(xù)教育所有理工農(nóng)等學(xué)科各專業(yè)必修的課程，因此以代數(shù)課程中求向量組的極大線性無關(guān)組為例，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了研究和處理，提出了一種基礎(chǔ)性、代表性的數(shù)學(xué)方法——擴充法，并以擴充法為例，探索了混合式教學(xué)模式下融入課程思政的教學(xué)實施。

一、代數(shù)中的擴充法

擴充的出處最早見于《孟子·公孫丑上》：“知皆擴而充之矣”。字典中擴充的意思是：擴大充實。通過查閱資料和初步調(diào)查，發(fā)現(xiàn)已有數(shù)系的擴充、數(shù)據(jù)的擴充，還有寫作文時的擴充方法（擴寫）等，但是數(shù)學(xué)及其他學(xué)科中還沒有“擴充法”的概念。

（一）求極大線性無關(guān)組的擴充法

向量組中的極大線性無關(guān)組是代數(shù)中一個重要的內(nèi)容。

定義1[2] 數(shù)域上有限個相同維數(shù)的向量組成一個向量組，一個向量組中如果存在個向量組成的部分向量組（簡稱為部分組）滿足以下兩個條件：

①這個向量組成的部分組線性無關(guān)；

②向量組中任意個向量都線性相關(guān)。

則稱該部分組為向量組的一個極大線性無關(guān)組。

定義1中，在滿足條件①的前提下，條件②等價于“向量組中任意向量都可以由該部分組線性表出”。

與極大線性無關(guān)組有關(guān)的線性組合、線性表出、線性相關(guān)性等概念及相關(guān)性質(zhì)，屬于《線性代數(shù)》和《高等代數(shù)》的基礎(chǔ)內(nèi)容，以下還不加證明地給出線性相關(guān)性的兩個性質(zhì)：

性質(zhì)1 單個非零向量構(gòu)成線性無關(guān)的向量組。

性質(zhì)2 如果向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量可以由線性表出，并且表出方式唯一。

因為含有零向量的向量組一定是線性相關(guān)的，所以在算法開始前先排除向量組中的零向量，或者先標(biāo)記所有的零向量。

以下給出一種求非零向量組的一個極大線性無關(guān)組的算法的步驟：

第一步，任取該向量組中的一個非零向量，記為，并且進(jìn)行標(biāo)記。由性質(zhì)1，部分組（）是線性無關(guān)的向量組。

第二步，選取該向量組中的一個未被標(biāo)記的向量（如果存在的話），如果可以由部分組線性表出，則僅標(biāo)記；否則，如果不能由向量組線性表出，由性質(zhì)2的逆否命題可得：向量組也線性無關(guān)，此時記，并對線性無關(guān)部分組進(jìn)行擴充，得到新的線性無關(guān)的部分組依然記為，并標(biāo)記；

不斷重復(fù)第二步，直到向量組中的向量都被標(biāo)記，此時所得部分組就是原向量組的一個極大線性無關(guān)組。

我們稱以上求極大線性無關(guān)組的方法為擴充法。

說明：第一步的部分組中，如果在第二步中擴充一次，則下標(biāo)逐一增加。

擴充法的思想：為了找到向量組中最多個數(shù)的線性無關(guān)的向量，首先選取單個的非零向量，構(gòu)成一個線性無關(guān)的部分組，然后一個個討論其余的（未標(biāo)記的）向量，如果該向量可以由部分組線性表出，則僅標(biāo)記該向量，如果該向量不能由部分組線性表出，則將其增加到部分組（部分組進(jìn)行了擴充）并標(biāo)記該向量，直到討論（標(biāo)記）完向量組中的所有向量。

（二）擴充法的應(yīng)用

擴充法在代數(shù)中除了應(yīng)用于求向量組的一個極大線性無關(guān)組，還可以應(yīng)用于求線性空間的一組基：先取線性空間中的一個非零元素構(gòu)成部分組，然后一個個討論其余的元素，將不能被部分組線性表出的元素逐個地擴充進(jìn)部分組（擴充后仍稱為部分組，只是下一個元素的討論要在擴充的部分組的基礎(chǔ)上進(jìn)行），最后得到的部分組就是線性空間的一組基。

類似地，還能應(yīng)用擴充法求歐式空間的一組正交基或標(biāo)準(zhǔn)正交基，例如求一組標(biāo)準(zhǔn)正交基：先取歐式空間中的一個單位向量構(gòu)成部分組，然后一個個選取不能由部分組線性表出的向量，并將該向量與部分組施密特（Schmidt）正交化以后的結(jié)果再擴充進(jìn)部分組，直到得到不能再擴充的部分組（此時部分組所含向量的個數(shù)等于空間的維數(shù)），就是歐式空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。

代數(shù)中求極大線性無關(guān)組除了擴充法，也可以利用矩陣的初等變換、或者行列式理論結(jié)合線性相關(guān)性的性質(zhì)等更專業(yè)的方法，但擴充法更大眾化、應(yīng)用范圍更廣。

一般的，代數(shù)中的擴充法，是指在滿足線性無關(guān)的條件下，一步步擴充部分組（增加滿足條件的向量），從而求得向量組的一個極大線性無關(guān)組的數(shù)學(xué)方法。推廣以后，擴充法指滿足某個或某些條件（要求）下，按照某種法則一步步擴充（使增加），最終求得滿足條件的某種結(jié)果的方法。

在圖論中，求一個圖的最小生成樹的避圈法就是擴充法：在選取后其余的邊集中，在不構(gòu)成圈的條件下，再選權(quán)最小的邊擴充（增加）進(jìn)來，直到得到一顆生成樹，即最小生成樹；在帶權(quán)圖的最短路問題中，Dijkstra標(biāo)號法也是通過不斷擴充圖中的邊直到得到一條從起點出發(fā)的最短路，只是擴充的條件是所有路中距離最小，并且最終要通過反向追蹤來得到具體的最短路；在平面圖著色的五色定理的證明中，也可以借助擴充相鄰面的方法討論圖的面色數(shù)，等等。

在運籌學(xué)中，求運輸問題的最小元素法、閉回路法、Vogel法都是一種擴充的方法；在網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中求解最大流問題實際上也是一種流量擴充的方法；從運籌學(xué)的角度來看，圖論中求最小生成樹的破圈法就是避圈法的一種“對偶”的算法，等等。

經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析法也是一種擴充法；物理學(xué)中的控制變量法的本質(zhì)也是擴充；體育競賽中的淘汰賽還是一種擴充的方法，只是不斷擴充的是被淘汰的參賽者集合而已。在其余學(xué)科及社會實際中，擴充法的應(yīng)用舉不勝舉。

二、擴充法的混合式教學(xué)

“翻轉(zhuǎn)課堂”于2007年左右起源于美國，最開始是老師錄制播放PPT和講課的聲音，并上傳到網(wǎng)絡(luò)上給需要的學(xué)生自主學(xué)習(xí)。到2014年，我國初步建成中國大學(xué)MOOC（慕課）和國家精品課程在線學(xué)習(xí)平臺。2020年，由于疫情爆發(fā)，推動我國教育的大變革，初等教育、中等教育、普通高等教育和繼續(xù)教育開始大范圍實施線上教學(xué)，教育部印發(fā)《關(guān)于在疫情防控期間做好普通高等學(xué)校在線教學(xué)組織與管理工作的指導(dǎo)意見》，依托互聯(lián)網(wǎng)學(xué)習(xí)平臺的各種在線授課資源蓬勃發(fā)展。疫情過去，線上教學(xué)模式繼續(xù)延續(xù)下來，并演化成線上線下混合式教學(xué)（OMO），當(dāng)前教育專家一致認(rèn)為：OMO代表著教育的未來，它超越單一的線上或線下教學(xué)，將成為未來教育教學(xué)的基本模式。

（一）混合式教學(xué)的優(yōu)勢

經(jīng)調(diào)查，當(dāng)前所有普通高校已經(jīng)不再是單一的傳統(tǒng)的線下教學(xué)，不管是公共課，還是專業(yè)課，基本上都采用了線上線下混合式教學(xué)。對于繼續(xù)教育，教育部規(guī)定從2023年開始必須線下授課，且線下課時不低于總課時的20%，但是線上網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺和信息化教學(xué)資源仍然是繼續(xù)教育學(xué)生學(xué)習(xí)的主陣地[3]。

很多專家認(rèn)為，線上教學(xué)模式的優(yōu)點在混合式教學(xué)模式中都得到了保留，而且混合式教學(xué)模式還避免了線上教學(xué)的諸多不足：如線上缺乏師生現(xiàn)場的互動和氛圍，學(xué)習(xí)雖然可以有老師布置任務(wù)和要求，但只能主要靠學(xué)生的自覺來完成，從而無法有效管控學(xué)生的學(xué)習(xí)；由于沒有面對面的現(xiàn)場教學(xué)，授課教師無法及時、全面的掌握所有學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和效果，也就不能即時調(diào)整教學(xué)的速度和進(jìn)度等等。

相對于傳統(tǒng)教學(xué)模式，混合式教學(xué)也有諸多的優(yōu)勢：如突破了課時的限制，學(xué)生可以自主、自由地進(jìn)行學(xué)習(xí)，主要的學(xué)習(xí)不再局限于課堂授課，學(xué)生能充分利用碎片化時間學(xué)習(xí)，對線上的分解以后的碎片化知識的學(xué)習(xí)也優(yōu)于傳統(tǒng)教學(xué)；線上和線下的教學(xué)能夠良好地互補，課前，能夠布置和完成線上的預(yù)習(xí)，平臺能及時將預(yù)習(xí)結(jié)果反饋給教師，幫助教師更好地掌握學(xué)情，以便更有效地組織課堂教學(xué)；課堂上，網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺能夠參與和組織課堂的教學(xué)如簽到、隨機提問、練習(xí)討論等，能為教學(xué)提供更多預(yù)先準(zhǔn)備好的資源，優(yōu)化教學(xué)時間等；課后，線上是課堂的延伸，教師通過準(zhǔn)備學(xué)習(xí)資源能實現(xiàn)分層次的教學(xué)，做到更好地因材施教，讓學(xué)生選讀個人更感興趣的內(nèi)容，做到個性化發(fā)展，也給大部分學(xué)生提供了深入學(xué)習(xí)的空間和機會等等。

（二）擴充法融入課程思政元素

教育部《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》的“科學(xué)設(shè)計課程思政教學(xué)體系”中明確指出：要根據(jù)不同學(xué)科專業(yè)的特色和優(yōu)勢，深入研究不同專業(yè)的育人目標(biāo)，深度挖掘提煉專業(yè)知識體系中所蘊含的思想價值和精神內(nèi)涵，科學(xué)合理拓展專業(yè)課程的廣度、深度和溫度，從課程所涉專業(yè)、行業(yè)、國家、國際、文化、歷史等角度，增加課程的知識性、人文性，提升引領(lǐng)性、時代性和開放性[1]。

擴充法本身就是一種常見的科學(xué)思維方法，也是一個重要的專業(yè)原理。在一定程度上，擴充法屬于方法論，而方法論體現(xiàn)和影響世界觀，所以擴充法的教學(xué)本身就是對學(xué)生認(rèn)識和改造世界的世界觀的教育。

代數(shù)中的擴充法是一種典型的數(shù)學(xué)方法，能夠在該方法的演繹推理過程中充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美——嚴(yán)謹(jǐn)和準(zhǔn)確，使學(xué)生感悟在學(xué)習(xí)、工作中要腳踏實地，認(rèn)真細(xì)致，進(jìn)而培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)客觀的科學(xué)態(tài)度和勇于探索的鉆研精神。擴充法還可以更具體地展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美：由于迭代法與擴充法在一定程度上是一致的，而迭代法在現(xiàn)實生活中有很多具體的體現(xiàn)，如描繪雪花的形狀（科克曲線）、現(xiàn)實生活中某些分形的圖像等，這些具體的、精致的圖片可以使學(xué)生感受到大自然的神奇和數(shù)學(xué)的美！

我國學(xué)者管梅谷1962年提出并解決了圖論中的中國郵路問題，該問題也屬于組合優(yōu)化的問題，是一類最短路問題，通過對管梅谷及中國郵路問題的介紹，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)史，激發(fā)追求真理、敢于創(chuàng)新、勇攀高峰的精神，也增強學(xué)生的人文素養(yǎng)和文化自信等。

前面提到擴充法有很多應(yīng)用，它們也是擴充法的不同表現(xiàn)形式，但是，擴充法的本質(zhì)思想是確定的，該本質(zhì)思想不僅在認(rèn)識和解決理論問題時具有重要的意義，還能夠應(yīng)用于實際，例如當(dāng)前國際形勢錯綜復(fù)雜、風(fēng)云變幻，到底誰是我們的朋友？為什么民族團(tuán)結(jié)是我們處理民族關(guān)系的一項準(zhǔn)則？等等這些國際形勢、時事問題和社會主義偉大事業(yè)都可以從擴充法的角度給出部分答案。

當(dāng)然，不同的教師對同一個教學(xué)內(nèi)容的課程思政是仁者見仁、智者見智的，這也是教育的獨特性的體現(xiàn)。對于擴充法融入的思政元素，可以從形成背景，發(fā)展歷程，現(xiàn)實應(yīng)用，未來趨勢，國家重大成果，制度優(yōu)越，家國情懷，科學(xué)家人物事跡，學(xué)科專業(yè)原理，生活、教學(xué)、科技實踐等等方面去挖掘。

（三）擴充法的混合式教學(xué)

混合式教學(xué)中，線下和線上是教學(xué)馬車的雙輪，奔向的目標(biāo)都是立德樹人，但是在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法上應(yīng)該是各有側(cè)重、相互補充的。例如擴充法求極大線性無關(guān)組的教學(xué)，包括擴充過程的演繹推導(dǎo)、舉例說明，思想方法講解等應(yīng)該是線下教學(xué)的重點，需要教師通過問題驅(qū)動、采用引導(dǎo)、啟發(fā)式等教學(xué)方法以線下課堂講授的形式進(jìn)行；而擴充法在其他學(xué)科、社會問題等方面的應(yīng)用，以及擴充法的深入繼續(xù)學(xué)習(xí)研究等則采用線上形式更適宜。再者由于課時的關(guān)系，線下教學(xué)應(yīng)該以專業(yè)為主，課程思政要與專業(yè)教學(xué)深度融合，并講究精簡，與專業(yè)教學(xué)同向同行，而線上則可以實施全方位的、更充分的課程思政，做到廣撒網(wǎng)。

在擴充法的教學(xué)中，課前，以線上的形式為主，布置學(xué)生在線上教學(xué)平臺復(fù)習(xí)向量組的線性相關(guān)性等概念和基本性質(zhì)，預(yù)習(xí)極大線性無關(guān)組的概念和求法及例，并通過較簡單的練習(xí)題檢驗復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)的效果；布置學(xué)生閱讀線上資料，通過科克曲線（雪花圖像）的介紹和該曲線圖形、自然界存在的某些分形等使學(xué)生感受到自然的神奇和數(shù)學(xué)的美，了解專業(yè)知識的實踐性并提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。教師參考教學(xué)平臺自動收集的復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)結(jié)果了解學(xué)生的學(xué)情，并設(shè)計或調(diào)整課堂教學(xué)。

課堂中，因為擴充法是專業(yè)基礎(chǔ)理論知識，所以建議以線下講授的傳統(tǒng)教學(xué)方式為主，線上輔助線下教學(xué)，線上輔助包括諸如簽到、不便于板書內(nèi)容的演示或展示、課堂師生互動、練習(xí)及完成情況評估反饋、課堂小結(jié)及教學(xué)數(shù)據(jù)如效果情況分析等。

課后，我們以線上為主，也可以根據(jù)學(xué)習(xí)效果和具體需要設(shè)置線下課時，包括作業(yè)的布置、完成與批改，學(xué)生自行檢測學(xué)習(xí)效果等；還包括學(xué)生對擴充法的進(jìn)一步深入了解、學(xué)習(xí)或研究等，如擴充法的拓展和應(yīng)用：斐波那契數(shù)列對應(yīng)的兔子繁殖問題能使學(xué)生更好地認(rèn)識自然和世界；五色定理（進(jìn)一步到四色定理）的證明對學(xué)生是具有挑戰(zhàn)性和吸引力的，讓學(xué)生探索和追求真理、攀登科學(xué)高峰；還可以設(shè)計與擴充法有關(guān)的、開放式的案例分析題，并組織線上的討論以鍛煉學(xué)生和實施課程思政，等等。如果學(xué)生作業(yè)情況表現(xiàn)不理想、或者大部分學(xué)生有某些共同的疑惑，則可以通過線下課堂來復(fù)習(xí)鞏固、釋疑解惑。

結(jié)束語：融入課程思政的擴充法的混合式教學(xué)只是我們在代數(shù)課程教學(xué)中的一個初步的探索和實踐，還有待繼續(xù)推進(jìn)和完善。另外，不同學(xué)科專業(yè)的不同課程的混合式教學(xué)和課程思政的實施也是值得大家研究的問題。

參考文獻(xiàn)：

[1] 教育部關(guān)于印發(fā)《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》的通知[DB/OL].http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A08/s7056/202006/t20200603_462437.html.

[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.線性代數(shù)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2013.

[3] 熊艷清，謝樂平. 繼續(xù)教育課程思政的困難與對策研究[J].客聯(lián)， 2023，24（4）：68-69.

作者簡介：謝樂平（1976—），男，漢族，湖南寧鄉(xiāng)人，副教授，碩士研究生，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)及其應(yīng)用研究。佘志強（1979—），男，漢族，湖南洪江人，碩士研究生，研究方向：微分幾何。

課題項目：湖南省普通高等學(xué)校教學(xué)改革研究項目（HNJG-2020-0871）；教育部產(chǎn)學(xué)合作協(xié)同育人項目“基于杰普公司校企共建雙創(chuàng)課程及實踐體系的數(shù)學(xué)專業(yè)雙創(chuàng)人才培養(yǎng)研究與實踐”（202002165055）， “基于杰普協(xié)同育人的創(chuàng)新型、應(yīng)用型師資隊伍建設(shè)研究與實踐”（ 202101203009）