林國紅

(廣東省佛山市樂從中學,廣東 佛山 528315)

由于問題(1)較為簡單,本文不作討論,下面從不同視角,對問題(2)進行解答與探究.

1 解法探究

視角1 放縮法.

由ex≥1+x(x=0時取等號),得

故g(x)在[-1,+∞)上單調(diào)遞增.

所以g(x)≥g(-1)≥0.

視角2 主元法.

證法3①當a=1時,由證法1,可得

將a看作主元,令

證法4①當a=1時,由證法1,可得

將a看作主元,令

將a看作主元,令

評注在處理不等式有關(guān)問題時,若題目中有多個變量,且以x為主元解答較困難時,可以嘗試改變分析問題的角度,重新確立主元,排除參數(shù)的干擾.這樣往往會有“山窮水盡疑無路,柳暗花明又一村”的豁然開朗之感,從而可化繁為簡,化難為易[2].

視角3 配方法.

證法6當00.

由ex≥1+x,可得

當且僅當x=0,a=1時,等號成立.

證法7當00.

由ex≥1+x,可得

評注證法6與證法7先利用常見函數(shù)不等式ex≥x+1進行放縮,并結(jié)合二次函數(shù)的配方法來證明,證法巧妙,簡便,極大簡化了證明過程.兩個證法本質(zhì)上是一樣的,但證法7換元后更容易看出是二次函數(shù)的形式.

視角4 換元法.

證法8當0

當t>a時,g′(t)>0,故g(t)在(a,+∞)上單調(diào)遞增.

于是g(t)≥g(a)=-alna≥0.

評注本證法利用常見函數(shù)不等式ex≥x+1進行放縮,消去式子中的根式,然后換元構(gòu)造新函數(shù),通過求新函數(shù)的最值來證明,證法的運算量較少,過程也較為簡潔.

2 試題的思考與變式

試題分步設(shè)問,逐步推進,由淺入深,重點突出,較好地達到了考查目的,其思維過程較好地體現(xiàn)了函數(shù)與導數(shù)的核心內(nèi)容和基本思想方法的考查.

數(shù)學的魅力在于“變化”,有“變”才能“活”,恰當?shù)摹白兪健蹦鼙苊鈱W生在低層次重復,能使學生多角度、全方位地理解知識,思維能力得到拓寬和加強.所以數(shù)學教學不僅要解決問題,還要注重問題的變式拓展,引導學生積極探索一題多變、一題多用,達到舉一反三、觸類旁通的目的.

由原題及其證法,可得題目的變式:

3 鏈接高考

含參的函數(shù)不等式的證明問題,特別是以ex或lnx為背景的函數(shù)不等式證明,是高考中的重要考點,倍受命題者青睞,常作為壓軸題頻頻亮相.例如:

例1 (2018年高考全國Ⅰ卷文科第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

(1)設(shè)x=2是f(x)的極值點,求a,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(1)求曲線y=f(x)在(0,-1)處的切線方程;

(2)證明:當a≥1時,f(x)+e≥0.

學數(shù)學離不開解題,遇到一道經(jīng)典試題,要從多角度、深層次探尋其解法,通法也好,巧法也罷,不單要比較其優(yōu)劣,還要清楚其中的方法內(nèi)涵,知曉其中的來龍去脈,方能實現(xiàn)試題研究價值的最大化.另外,不要只滿足于問題的解決,要通過變式、類比進行研究,尋求問題的增長點,從而達到做一題會一類,甚至會一片的目的,積累良好的數(shù)學思維和實踐經(jīng)驗,最終在解題思路上產(chǎn)生質(zhì)的變化,使思維得到發(fā)展.