金 毅

(呼和浩特市第二中學(xué),內(nèi)蒙古 呼和浩特 010000)

2023年新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷立足基礎(chǔ)、考查能力,突出強(qiáng)調(diào)對(duì)基本知識(shí)和基本概念的靈活掌握,注重考查學(xué)科知識(shí)的綜合應(yīng)用能力. 接下來(lái),我們以試卷中的第21題為代表,深度探析其解法和背景.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

(1)求C的方程;

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,過(guò)點(diǎn)(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn),M在第二象限,直線MA1與NA2交于點(diǎn)P,證明點(diǎn)P在定直線上.

當(dāng)我們準(zhǔn)備將韋達(dá)定理代入的時(shí)候,發(fā)現(xiàn)xP的表達(dá)式中,y1,y2變?cè)Y(jié)構(gòu)并不對(duì)稱,計(jì)算的困難由此產(chǎn)生,這就是圓錐曲線中的“非對(duì)稱結(jié)構(gòu)”,下面我們給出解決這種問(wèn)題的方案,并進(jìn)一步討論解法上的改進(jìn).

圖1 新高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)21題圖

2 不對(duì)稱結(jié)構(gòu)解決方案的探討

2.1 尋找和積關(guān)系,化復(fù)雜為簡(jiǎn)單

綜上,點(diǎn)P在直線x=-1上.

2.2 尋找代換關(guān)系,減少變?cè)獋€(gè)數(shù)

點(diǎn)評(píng)以上兩種方案,是基于不對(duì)稱的代數(shù)結(jié)構(gòu),在代數(shù)運(yùn)算上給出的具體策略. 方案1將乘積化為和的關(guān)系,便于和其它項(xiàng)進(jìn)一步運(yùn)算,最終得到定值;方案2則是消去其中一個(gè)未知數(shù),減少未知數(shù)的個(gè)數(shù),更加容易做后續(xù)運(yùn)算,發(fā)現(xiàn)表達(dá)式的規(guī)律,最后整體相除得到定值. 這兩種運(yùn)算方法靈活運(yùn)用了韋達(dá)定理,展示了韋達(dá)定理除了整體代換之外另一個(gè)層面的運(yùn)用. 接下來(lái),我們將進(jìn)一步改進(jìn)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的解決思路,進(jìn)一步優(yōu)化計(jì)算.

2.3 尋找斜率關(guān)系,簡(jiǎn)化直線方程

=-12.

可得點(diǎn)P在直線x=-1.

點(diǎn)評(píng)方案3有很強(qiáng)的實(shí)戰(zhàn)性. 根據(jù)直線MN過(guò)定點(diǎn),推出直線MA1與NA1的斜率乘積為定值,在計(jì)算的過(guò)程中,關(guān)于未知數(shù)y1,y2的結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的. 再結(jié)合雙曲線第三定義,得到斜率之間的比為定值. 這樣做的結(jié)果就是簡(jiǎn)化了直線NA2與直線MA1的形式,便于聯(lián)立,大大減少了計(jì)算量,回避了非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的復(fù)雜運(yùn)算.

2.4 尋找定比向量,簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程

①

②

點(diǎn)評(píng)本解法充分考慮向量共線,設(shè)定比為λ,再結(jié)合雙曲線的定比點(diǎn)差法,解出M,N縱坐標(biāo)的值,在不用韋達(dá)定理的情況下,直接代入求得定值.

2.5 巧用參數(shù)方程,恒等代換求值

③

將M,N坐標(biāo)代入表達(dá)式

根據(jù)表達(dá)式③,可得

=-1.

3 對(duì)試題背景的探討

3.1 極點(diǎn)極線的試題背景

文[1]對(duì)結(jié)論1用初等的曲線系方法已經(jīng)給出了詳細(xì)的證明,因篇幅所限,此處不再贅述. 此時(shí)稱U為極點(diǎn),VP為U關(guān)于圓錐曲線f的極線.

圖2 結(jié)論1 極點(diǎn)與極線

類似于文獻(xiàn)[1]的證法,可得到結(jié)論2.

此時(shí)稱點(diǎn)P為極點(diǎn),UV為點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線f的極線.

從結(jié)論1、2可以看出,極點(diǎn)可以在曲線外,可以在曲線內(nèi),也可以在曲線上. 當(dāng)極點(diǎn)在曲線上時(shí),極線為圓錐曲線f在這一點(diǎn)處的切線.

3.2 基于極點(diǎn)極線理論的變式探究

點(diǎn)評(píng)結(jié)論4中,令m=-4,a=2,b=4即得到2023年新高考Ⅱ卷21題. 結(jié)論5是對(duì)結(jié)論4情況的補(bǔ)充. 結(jié)論4,5均可用本文的方案1至5進(jìn)行證明.

2023年新高考Ⅱ卷第21題基于極點(diǎn)與極線的深刻背景,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與邏輯推理能力,問(wèn)題的切入點(diǎn)多樣化,解法不唯一,是一道深刻考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的好題. 題目的素材是雙曲線,相比橢圓來(lái)說(shuō),在考場(chǎng)上做題會(huì)感到更陌生,更具有挑戰(zhàn)性. 坐標(biāo)法是解決解析幾何問(wèn)題的主要方法,是解決解析問(wèn)題的通法,它體現(xiàn)著數(shù)形結(jié)合的思想,從幾何和代數(shù)兩個(gè)方面體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的無(wú)窮魅力[2]. 在平常的高三復(fù)習(xí)中,一方面要盡可能理解知識(shí)背景,另一方面是用好基本方法處理復(fù)雜問(wèn)題,特別是要對(duì)比各個(gè)基本方法之間的優(yōu)勢(shì)與不足,這樣才能真正做到學(xué)以致用.