王恩普

(江蘇省淮陰中學(xué)教育集團(tuán)淮安市新淮高級(jí)中學(xué),江蘇 淮安 223001)

在“三新”背景下,教材顯然是一線教師和學(xué)生的主陣地,教材的研究顯得尤為重要,尤其是教材中的例題和習(xí)題,都是精編細(xì)選,深得很多命題者的青睞,因此有必要對(duì)一些典型的例習(xí)題進(jìn)行深入探究.本文從不同的視角出發(fā),對(duì)蘇教版選擇性必修第二冊(cè)中的一道例題的解法進(jìn)行了充分研究,而且在解法探究的過程中,也很自然地體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性和創(chuàng)新性.

1 試題呈現(xiàn)

題目如圖1,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E,F分別是BC和CD的中點(diǎn).求點(diǎn)E到直線B1D1的距離.

圖1 題目示意圖

這是蘇教版選擇性必修第二冊(cè)6.3.4《空間距離的計(jì)算》例11的改編,考查空間幾何中的點(diǎn)到直線的距離,此題的背景是正方體,坐標(biāo)表示較為簡單,但是從不同的視角出發(fā),可以發(fā)現(xiàn)解法多樣,各具特點(diǎn),因此文章對(duì)本題的解法進(jìn)行了深入研究,與讀者共享.

2 解法探究

圖2 空間直角坐標(biāo)系示意圖

令x=1,則y=-1,z=4.

解得n=(1,-1,4).

故點(diǎn)E到直線B1D1的距離為

故點(diǎn)E到直線B1D1的距離為

設(shè)平面EB1D1的一個(gè)法向量為

n1=(x1,y1,z1),

令x1=2,得z1=-1,y1=-2.

所以n1=(2,-2,-1).

n2=(x2,y2,z2),

令x2=1,得y2=-1,z2=4.

可得n2=(1,-1,4).

故點(diǎn)E到直線B1D1的距離即為

解法4 (求空間向量的模)如圖3,在平面EB1D1內(nèi)過點(diǎn)E作直線B1D1的垂線,垂足為點(diǎn)H,由平面向量基本定理,知

圖3 解法4示意圖

又H,B1,D1三點(diǎn)共線,則有λ+μ=1.

由投影向量,知

評(píng)注解法5來源于人教版教材,借助于投影向量的概念,問題解決過程簡潔,易操作.

由余弦定理,知

評(píng)注解法6把空間的點(diǎn)到線的距離轉(zhuǎn)化為平面三角形中的高,只需要求出三角形的三邊長,借助于三角函數(shù)知識(shí)即可解決,從而體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想.

解法7(兩點(diǎn)距離公式)如圖3,在平面EB1D1內(nèi)過點(diǎn)E作直線B1D1的垂線,垂足為點(diǎn)H,由題可設(shè)H(x,x,1),則

故點(diǎn)E到直線B1D1的距離為

評(píng)注解法7的本質(zhì)就是設(shè)出垂足的坐標(biāo),通過向量的數(shù)量積表示出垂直關(guān)系,從而求出垂足的坐標(biāo),然后利用空間兩點(diǎn)距離公式即可求解.

3 教學(xué)啟示

在新高考形勢下,對(duì)學(xué)生的考查應(yīng)該是全方面的,所以對(duì)于問題的解決,不能僅限于得出結(jié)果,更重要的是要在解題中提升學(xué)生的能力,并能引導(dǎo)學(xué)生打破常規(guī)進(jìn)行獨(dú)立思考和判斷,提出解決問題的方案,主動(dòng)從不同的角度進(jìn)行探究,融合所學(xué)知識(shí),在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì),提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力[1].