周輝

［摘 ?要］ 以“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的方式開展“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)，要求教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中優(yōu)化實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、優(yōu)化實(shí)驗(yàn)方式、優(yōu)化實(shí)驗(yàn)交流、優(yōu)化實(shí)驗(yàn)反思，從而讓學(xué)生“做數(shù)學(xué)”更具系列性、實(shí)效性、輻射性、引領(lǐng)性等。以“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的方式引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)，能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］ 小學(xué)數(shù)學(xué)；做數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；有效方式

“做數(shù)學(xué)”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，是一種最為本真、最為自然的方式。人類探索數(shù)學(xué)知識(shí)，就是在“做數(shù)學(xué)”的過程中進(jìn)行的。學(xué)生“做數(shù)學(xué)”不同于人類的生命實(shí)踐活動(dòng)，它是一種更有目的、更有計(jì)劃、更有針對(duì)性的“做”，這樣的一種“做數(shù)學(xué)”方式就是“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”。所謂“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”，就是“借助一定的物質(zhì)器材或?qū)W具，來探究、驗(yàn)證某個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的過程”。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)當(dāng)在教師有目的、有計(jì)劃的指導(dǎo)下開展，這樣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更具學(xué)習(xí)效能。在小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，教師要精心選擇實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、發(fā)掘?qū)嶒?yàn)素材，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)有效地建構(gòu)、創(chuàng)造知識(shí)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛱嵘龑W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、優(yōu)化實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，讓“做數(shù)學(xué)”更具系列性

當(dāng)下，很多教師引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”時(shí)，往往缺乏一種計(jì)劃性，缺乏一種層次性、系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性的規(guī)劃。具體表現(xiàn)為“做數(shù)學(xué)”的內(nèi)容設(shè)計(jì)、編排等比較隨意，往往是“腳踩西瓜皮，滑到哪里是哪里”。優(yōu)化實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，讓學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)具有整體性、結(jié)構(gòu)性、系列性，能提升學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的效能。在教學(xué)中，教師要根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)和要求以及學(xué)生的具體學(xué)情等，精心研發(fā)、設(shè)計(jì)相關(guān)的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)艽龠M(jìn)學(xué)生的知識(shí)理解，提升學(xué)生的操作技能、滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法等。

比如教學(xué)“圓柱和圓錐”這一部分內(nèi)容時(shí)，筆者就設(shè)計(jì)研發(fā)了“一類”相關(guān)聯(lián)的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，讓學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)富有結(jié)構(gòu)性。首先是“旋轉(zhuǎn)成體”的實(shí)驗(yàn)，即讓學(xué)生用一個(gè)長方形、直角三角形以及半圓形繞著相關(guān)的軸旋轉(zhuǎn)，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到旋轉(zhuǎn)體的特征，認(rèn)識(shí)到平面圖形和立體圖形之間的關(guān)系，從而更好地發(fā)展學(xué)生的空間思維。其次是“疊加成體”的實(shí)驗(yàn)，即讓學(xué)生用一張長方形紙（看成近似的長方形）慢慢疊加（平移）成一個(gè)長方體。與此類似，用多媒體課件展示圓疊加成圓柱的過程、三角形疊加成三棱柱的過程。這樣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能讓學(xué)生有效建構(gòu)直柱體的體積公式，即“底面積乘高”。再次是“疊加（平移）成面”的思維性、思想性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，即用多媒體課件動(dòng)態(tài)展示圓柱、長方體、三棱柱等的底面周長疊加形成側(cè)面的過程，由此引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“底面周長乘高”的側(cè)面積統(tǒng)一公式。最后是“卷面成體”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，即讓學(xué)生將一張長方形紙卷成圓柱的側(cè)面、長方體的側(cè)面、三棱柱的側(cè)面，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“直柱體側(cè)面的展開圖的共通性”，等等。這樣的一種系列化、結(jié)構(gòu)化的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，讓學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)從無序轉(zhuǎn)向有序、從單一走向系列、從特殊走向一般、從例證走向理證。

優(yōu)化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，要求教師對(duì)學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)整體規(guī)劃、系統(tǒng)建構(gòu)。通過系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容研發(fā)、設(shè)計(jì)，讓學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)具有遷移性、應(yīng)用性。在這個(gè)過程中，教師要對(duì)相關(guān)的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容進(jìn)行整合，對(duì)相關(guān)的實(shí)驗(yàn)資源、素材等進(jìn)行統(tǒng)合。系列性的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，不僅有助于學(xué)生建構(gòu)系統(tǒng)性的認(rèn)知，更能開拓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

二、優(yōu)化實(shí)驗(yàn)方式，讓“做數(shù)學(xué)”更具實(shí)效性

“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)不是讓學(xué)生機(jī)械地、盲目地操作，而是融入學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、認(rèn)知?！白鰯?shù)學(xué)”活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是學(xué)生“手腦協(xié)同”認(rèn)知活動(dòng)，因此是一種“具身性”的認(rèn)知活動(dòng)。為此，教師在引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的過程中，要優(yōu)化學(xué)生的實(shí)驗(yàn)方式，讓學(xué)生主動(dòng)觀察、操作、思維、想象、推理等。在實(shí)驗(yàn)過程中，教師要根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的特質(zhì)以及學(xué)生的具體學(xué)情，選擇合適的實(shí)驗(yàn)方式，去激發(fā)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的積極性，發(fā)掘?qū)W生“做數(shù)學(xué)”的創(chuàng)造性。

優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方式，能提升學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的參與度，增強(qiáng)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的成就感、獲得感、幸福度等。一般而言，學(xué)生“做數(shù)學(xué)”通常有“探究式實(shí)驗(yàn)”“驗(yàn)證式實(shí)驗(yàn)”“切片式實(shí)驗(yàn)”“模擬性實(shí)驗(yàn)”“模型性實(shí)驗(yàn)”等。在引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的過程中，融入、滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法，能讓學(xué)生更有效地發(fā)現(xiàn)、探究數(shù)學(xué)知識(shí)。比如教學(xué)“2的倍數(shù)的特征”這一部分內(nèi)容時(shí)，學(xué)生遇到了這樣的問題：奇數(shù)加上奇數(shù)是什么數(shù)？奇數(shù)加上偶數(shù)是什么數(shù)？偶數(shù)加上偶數(shù)是什么數(shù)？對(duì)于這樣的問題，很多教師在教學(xué)中往往會(huì)讓學(xué)生簡(jiǎn)單地“舉例子”，用“例證法”來探究。但這樣的探究，僅僅讓學(xué)生獲得了一種數(shù)學(xué)結(jié)果，卻沒有讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)的奇偶性的本質(zhì)。在教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生通過“例證法”獲得結(jié)果后，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：其他的奇數(shù)與奇數(shù)相加、奇數(shù)與偶數(shù)相加、偶數(shù)與偶數(shù)相加都是這樣的結(jié)果嗎？為什么會(huì)有這樣的規(guī)律呢？這樣的追問，讓學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到，不完全歸納需要進(jìn)行多次的舉例、實(shí)驗(yàn)。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從更深層次上、更具有普適性意義上來分析這一規(guī)律。據(jù)此，筆者引導(dǎo)學(xué)生做了一個(gè)“擺方格圖”的實(shí)驗(yàn)。在“做數(shù)學(xué)”的過程中，學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到，如果奇數(shù)和奇數(shù)相加，奇數(shù)中不成對(duì)的多的一個(gè)或者少的一個(gè)都會(huì)重新組合成一對(duì)或者相互抵消掉；如果奇數(shù)和偶數(shù)相加，最后總會(huì)多出一個(gè)或者少出一個(gè)而沒有辦法抵消掉。通過實(shí)驗(yàn)，學(xué)生能更深刻地認(rèn)識(shí)到，和的奇偶性取決于相加的數(shù)中的奇數(shù)個(gè)數(shù)。

優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方式，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更具實(shí)效性。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生“動(dòng)手做”，更要引導(dǎo)學(xué)生“動(dòng)眼看”“動(dòng)腦思”“動(dòng)嘴說”。在“做數(shù)學(xué)”的過程中，教師要深度研究學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的方式：是讓學(xué)生實(shí)物操作還是讓學(xué)生模型操作，是讓學(xué)生畫圖操作還是讓學(xué)生學(xué)具操作，等等。通過適當(dāng)?shù)摹皠?dòng)手做”的方式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度的數(shù)學(xué)思考、探究。

三、優(yōu)化實(shí)驗(yàn)交流，讓“做數(shù)學(xué)”更具輻射性

學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程不僅是個(gè)體的探究過程，也是個(gè)體與個(gè)體之間的對(duì)話、交流。作為教師，不僅要引導(dǎo)學(xué)生探究，更要引導(dǎo)學(xué)生交流。優(yōu)化學(xué)生的實(shí)驗(yàn)交流，能讓學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)更理性、更自覺。同時(shí)，通過實(shí)驗(yàn)交流，能讓學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)更具輻射性，能對(duì)其他學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)產(chǎn)生積極的啟示。實(shí)驗(yàn)交流，不僅是學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的一個(gè)階段，更應(yīng)該貫穿學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的始終。

比如教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”，學(xué)生首先想到的就是“用量角器測(cè)量三角形的三個(gè)角的度數(shù)”。通過實(shí)驗(yàn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，彼此測(cè)量的三角形的三個(gè)角的度數(shù)各不相同，將三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)加起來，有的學(xué)生是180°，有的學(xué)生是181°，還有的學(xué)生是182°、179°，等等。據(jù)此，有的學(xué)生猜想“三角形的內(nèi)角和是180°”。為此，筆者引導(dǎo)學(xué)生互動(dòng)交流：測(cè)量法有怎樣的弊端？學(xué)生發(fā)現(xiàn)，由于量角器作為一個(gè)儀器，其分度值是1°，這不能測(cè)量比1°大一點(diǎn)或者比1°小一點(diǎn)的度數(shù)，進(jìn)而不可避免地存在著誤差。在互動(dòng)交流中，學(xué)生想出了各種方法來探索三角形的內(nèi)角和。有的學(xué)生認(rèn)為，可以將三個(gè)角撕下來拼一拼，看看是否能拼成一個(gè)平角；有的學(xué)生認(rèn)為，可以將三角形的三個(gè)內(nèi)角折疊在一起，看看是否能夠拼成一個(gè)平角，等等?；?dòng)交流，再一次引發(fā)學(xué)生做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生展開了動(dòng)手“做數(shù)學(xué)”的操作活動(dòng)。在實(shí)驗(yàn)操作的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“實(shí)驗(yàn)”的粗糙性。如有的學(xué)生認(rèn)為，將三角形三個(gè)角撕下來拼在一起的時(shí)候，或者將三個(gè)角折疊在一起的時(shí)候有縫隙，等等。為此，筆者啟發(fā)、點(diǎn)撥學(xué)生：能否從長方形的內(nèi)角和開始推導(dǎo)？這一啟發(fā)、點(diǎn)撥再一次點(diǎn)燃了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，引發(fā)學(xué)生互動(dòng)交流。有的學(xué)生說，一個(gè)長方形的內(nèi)角和是360°，長方形可以分成兩個(gè)直角三角形，每一個(gè)直角三角形的內(nèi)角和就是180°。受此啟發(fā)，學(xué)生展開互動(dòng)交流：銳角三角形、鈍角三角形能否轉(zhuǎn)化成兩個(gè)直角三角形呢？思維的層層遞進(jìn)，逐步讓學(xué)生得出了數(shù)學(xué)結(jié)論，深度學(xué)習(xí)就在這個(gè)過程中發(fā)生。

互動(dòng)交流還能促進(jìn)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)反思。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，有一些經(jīng)驗(yàn)需要總結(jié)、提煉，形成一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)智慧與策略；而另一些教訓(xùn)、錯(cuò)誤等也需要學(xué)生總結(jié)、規(guī)避。作為教師，要建構(gòu)、打造結(jié)構(gòu)化互動(dòng)場(chǎng)域，引發(fā)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的主動(dòng)之意，鍛煉學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的意志之力，激活學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)之情。

四、優(yōu)化實(shí)驗(yàn)反思，讓“做數(shù)學(xué)”更具引領(lǐng)性

“做數(shù)學(xué)”的過程不是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)操作活動(dòng)，而是一種對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的“再發(fā)現(xiàn)”“再建構(gòu)”“再創(chuàng)造”的過程。在引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的過程中，教師要不斷地啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生反思：自己的實(shí)驗(yàn)素材、資源準(zhǔn)備怎樣？自己的實(shí)驗(yàn)操作過程怎樣？有沒有什么誤差可以縮減的？等等。作為教師，要將實(shí)驗(yàn)反思滲透到實(shí)驗(yàn)過程中，讓學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)更具引領(lǐng)性。通過優(yōu)化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)反思，能讓學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)從特殊走向一般、從感性走向理性、從無序走向有序。

比如教學(xué)“平行四邊形的面積”這一部分內(nèi)容時(shí)，筆者讓學(xué)生猜想：平行四邊形的面積可以怎樣計(jì)算？學(xué)生的猜想、意見分成兩組：一組學(xué)生認(rèn)為，平行四邊形的面積應(yīng)該是底乘斜邊，理由是平行四邊形可以推拉成長方形，而長方形的長相當(dāng)于平行四邊形的底邊、長方形的寬相當(dāng)于平行四邊形的斜邊；另一組學(xué)生認(rèn)為，平行四邊形的面積應(yīng)該是底乘高，理由是平行四邊形可以通過剪拼法拼接成一個(gè)長方形，而長方形的長相當(dāng)于平行四邊形的底邊、長方形的寬相當(dāng)于平行四邊形的高，等等。圍繞著這樣的爭(zhēng)論，學(xué)生彼此之間展開了深刻性反思：這兩種觀點(diǎn)哪一種是正確的？為什么？通過反思，學(xué)生認(rèn)識(shí)到，平行四邊形在推拉成長方形的過程中面積發(fā)生了變化，甚至可以變化為零，而平行四邊形在剪拼成長方形的過程中面積沒有發(fā)生變化。通過這樣的反思，平行四邊形的推導(dǎo)過程更具針對(duì)性、方向性和實(shí)效性。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生圍繞著反思性結(jié)果——“剪拼法”，將平行四邊形分割成了一個(gè)直角三角形、一個(gè)直角梯形，或分割成了兩個(gè)直角梯形，或分割成了其他的相關(guān)圖形，并進(jìn)行了有效的圖形面積推導(dǎo)。在這個(gè)過程中，無論是哪一種分割，平行四邊形的面積都沒有發(fā)生變化。完成平行四邊形面積推導(dǎo)后，有的學(xué)生提出了這樣的問題：老師，推導(dǎo)平行四邊形的面積一定要將平行四邊形沿著高分割嗎？為什么？通過優(yōu)化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)反思，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)走向自覺、走向深刻。

陶行知先生說，“事情怎樣做就怎樣學(xué)，怎樣學(xué)就怎樣教”“教的法子要依據(jù)學(xué)的法子，學(xué)的法子要依據(jù)做的法子”。以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式建構(gòu)“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)，就是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中以“做”為核心，將“做”“思”“學(xué)”“玩”“創(chuàng)”等統(tǒng)一起來，在“做數(shù)學(xué)”的過程中積極主動(dòng)地去發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)、創(chuàng)造。以“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”為載體，推動(dòng)學(xué)生的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)，能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。