吳桐，公丕鋒，張金鋒

一維線性諧振子相干態(tài)隨時間的演化

吳桐，公丕鋒，張金鋒

（淮北師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 淮北 235000）

線性諧振子在量子力學(xué)中是非常重要的一個理論模型．通過引入湮滅算符和產(chǎn)生算符，把線性諧振子的哈密頓量轉(zhuǎn)化成粒子數(shù)表象下的形式，避免了復(fù)雜的運算，容易導(dǎo)出一維線性諧振子的能量本征值和本征函數(shù)．把相干態(tài)展開為諧振子本征態(tài)的線性疊加，最后得到一維線性諧振子相干態(tài)在坐標(biāo)表象下隨時間的演化關(guān)系．發(fā)現(xiàn)其相干態(tài)是以不同頻率隨時間振動的一系列波包.

一維諧振子；相干態(tài)；量子力學(xué)

線性諧振子在量子力學(xué)、量子光學(xué)等課程中都是非常重要的理論模型[1-2]．當(dāng)前關(guān)于諧振子的討論也是比較熱門課題之一，周文淵[3]等對簡單諧振子系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值模擬模和理論計算，直觀地展示了諧振子在不同能級下的本征波函數(shù)隨位置坐標(biāo)的變化規(guī)律；馮璐[4]等利用微擾法對電磁場作用下的線性諧振子的能級和波函數(shù)進(jìn)行了研究；徐浩[5]利用Wigner函數(shù)的性質(zhì)研究了一維無限深勢阱和一維諧振子這2種束縛態(tài)模型，發(fā)現(xiàn)其能級都是分立的；張迪[6]把線性諧振子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)進(jìn)行了可視化的仿真模擬；線性諧振子在研究光場的Fork態(tài)、相干態(tài)和壓縮態(tài)等量子態(tài)中也顯得非常重要[7-8]．尤其是相干態(tài)在理想激光器中是普遍存在的一種基本量子態(tài)，其部分量子屬性非常接近于經(jīng)典場的態(tài)[9]．當(dāng)光場被量子化以后可看作多模諧振子的振動，可把光場的電場強度、磁感應(yīng)強度用產(chǎn)生算符和湮滅算符來表示．量子力學(xué)中的一條基本原理就是測不準(zhǔn)關(guān)系，在相干態(tài)下坐標(biāo)算符和動量算符的誤差關(guān)系正好符合最小測不準(zhǔn)關(guān)系．本文利用湮滅算符和產(chǎn)生算符之間的對易關(guān)系與狄拉克符號求解了一維線性諧振子的薛定諤方程，得到了坐標(biāo)表象下的本征態(tài)波函數(shù)．討論光相干態(tài)與一維諧振子本征態(tài)之間的關(guān)系，得到了線性諧振子的相干態(tài)在坐標(biāo)表象下隨時間的演化關(guān)系．體現(xiàn)了狄拉克符號方法在量子力學(xué)公式推導(dǎo)中的優(yōu)越性．

1 一維諧振子本征態(tài)函數(shù)

激光的光子場是一種玻色子場，湮滅其中一個光子并不影響整個激光場的各種性質(zhì)，所以用相干態(tài)來描述激光場是非常方便的，這樣一來相干態(tài)就顯得非常重要，推導(dǎo)一維諧振子相干態(tài)的波函數(shù)的具體形式．

一維諧振子的薛定諤方程[10]為

用狄拉克符號可表示為

由于坐標(biāo)算符和動量算符為厄米算符，所以其本征值一定為實數(shù)

一維諧振子的時間演化波函數(shù)可寫為

湮滅算符、產(chǎn)生算符與坐標(biāo)算符和動量算符之間的線性關(guān)系分別為

其對易關(guān)系為

一維諧振的哈密頓算符

若用粒子數(shù)算符可表示為

由于哈密頓算符與粒子數(shù)算符對易，二者應(yīng)有共同本征函數(shù)，則哈密頓算符的本征方程可寫為

粒子數(shù)算符與產(chǎn)生算符和湮滅算符的對易關(guān)系可寫為

易得

（14）

所以

粒子數(shù)算符的本征態(tài)可寫為

可得一維諧振子本征態(tài)在坐標(biāo)表象下的波函數(shù)為

2　一維諧振子相干態(tài)隨時間的演化方程

由于相干態(tài)是湮滅算符的本征態(tài)，其本征值方程為

相干態(tài)展開為粒子數(shù)態(tài)的線性組合

證明相干態(tài)的表達(dá)形式，令

代入式（19）可得

又由于

相干態(tài)的完備關(guān)系也可以通過粒子數(shù)態(tài)的完備關(guān)系而得到

（26）

因而可得在坐標(biāo)表象下的相干態(tài)表示為

這樣可得一維線性諧振子相干態(tài)的時間演化方程

3 結(jié)語

利用狄拉克符號和產(chǎn)生算符與湮滅算符的對易關(guān)系求解了一維諧振子的定態(tài)薛定諤方程并得出諧振子坐標(biāo)表象下的本征態(tài)函數(shù)，展示了狄拉克符號在量子力學(xué)公式推導(dǎo)中所體現(xiàn)出來的便捷性．證明了相干態(tài)能以一維線性諧振子的本征態(tài)為基矢量來進(jìn)行展開，得到一維諧振子的相干態(tài)隨時間的演化方程．加深了對單模光場湮滅算符本征態(tài)的認(rèn)識，也有利于對激光器所產(chǎn)生的單模光場的理解.

[1] Walls D F，Milburn G J．Quantum Optics[M]．Berlin Heidelberg：Springer-Verlag，1994：10-15．

[2] Scully M O，Zubairy M S．Quantum Optics[M]．Cambridge United Kingdom：Cambridge University Press，2018：9-13．

[3] 周文淵，張伯宇，羅世平，等．一個簡單諧振子系統(tǒng)模型的模擬與計算[J]．大學(xué)物理，2020，39（11）：72-75．

[4] 馮璐，吳云飛，張海豐．電磁場作用下線性諧振子的能級及波函數(shù)討論[J]．貴陽學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2019，14（4）：1-3．

[5] 徐皓．Wigner函數(shù)的性質(zhì)及其在一維無限深勢阱和一維諧振子中的應(yīng)用[J]．原子核物理評論，2011，28（1）：44-50．

[6] 張迪．量子力學(xué)中線性諧振子的可視化研究[J]．運城學(xué)院學(xué)報，2015，33（3）：34-36．

[7] Glauber R J．The Quantum Theory of Optical Coherence[J]．Phys Rev，1963，130：2529-2531．

[8] Weiss U．Quantum Dissipative System[M]．Singapore：World Scientific，2001．

[9] 公丕鋒，朱孟正，張金鋒．關(guān)于量子光學(xué)中壓縮態(tài)的探討[J]．牡丹江師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2019（3）：32-35．

[10] 周世勛，陳灝．量子力學(xué)教程[M]．北京：高等教育出版社，2022：38-44．

Evolution of the coherent states of one-dimensional linear harmonic oscillator

WU Tong，GONG Pifeng，ZHANG Jinfeng

（School of Physics and Electronic Information，Huaibei Normal University，Huaibei 235000，China）

The linear harmonic oscillator is a very important theoretical model in quantum mechanics．By introducing the annihilation operator and the generation operator，the Hamiltonian of the linear harmonic oscillator is transformed into the form under the representation of the particle number，which avoids complex operations and tends to derive the energy eigenvalue and eigenfunction of the one-dimensional linear harmonic oscillator．The coherent state is expanded as a linear superposition of the eigenstates of the harmonic oscillators，and finally the evolution relationship of the coherent states over time under the coordinate representation can be obtained．It is found that the coherent state is a series of wave packets vibrating with time at different frequencies．

one-dimensional linear harmonic oscillator；coherent states；quantum mechanics

1007-9831（2023）07-0048-04

O483

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2023.07.010

2023-03-14

安徽省高等學(xué)校科學(xué)研究重大項目（2022AH040068）；安徽省質(zhì)量工程項目（2021sysxzx027，2020zyrc143，2020SJJXSFK2147）

吳桐（1998-），女，黑龍江大慶人，在讀碩士研究生，從事中學(xué)物理教學(xué)理論與實踐研究．E-mail：1351925378@qq.com

公丕鋒（1977-），男，山東臨沂人，講師，碩士，從事量子光學(xué)、量子信息研究．E-mail：tuhan2010@126.com