華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510630) 羅碎海

華南師大附中汕尾學(xué)校(516600) 謝賢祖

我們學(xué)漢字是一個(gè)一個(gè)死記硬背的,而學(xué)數(shù)學(xué)卻不能這樣,要像數(shù)數(shù)一樣往下順,由前知后、由點(diǎn)知面、舉一反三;要注意代數(shù)形式與幾何內(nèi)容的統(tǒng)一;要注意普遍性與特殊性之間的聯(lián)系.以下我們從對(duì)課本例題的分析與研究,認(rèn)真體會(huì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法、體會(huì)數(shù)學(xué)的發(fā)展變化規(guī)律.從而更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué).

引例[1](普通高中教材數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第136 頁(yè)例5)“經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線準(zhǔn)線于點(diǎn)M,求證: 直線MB平行于拋物線的對(duì)稱軸.”(解答見(jiàn)課本[1])

原題翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是: 過(guò)拋物線C:y2=2px焦點(diǎn)的一條直線與拋物線交于兩點(diǎn)A,B,通過(guò)點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)O的直線交準(zhǔn)線l:x=于點(diǎn)M,求證: 直線軸MB//OX軸(如圖1).

圖1

探究1該命題的逆命題如何?

逆命題有兩種形式:

由于原命題本質(zhì)是充要條件的命題,所以兩個(gè)逆命題都為真命題,也可以說(shuō)是原題的另兩種等價(jià)形式.

等價(jià)形式(1)就為2001 年全國(guó)高考題:

“拋物線y2=2px(P >0) 的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上,且BC//X軸,證明直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.”

探究2對(duì)拋物線所具有的如上性質(zhì),別的圓錐曲線如何?

若將原拋物線換為橢圓,自然得到有下列敘述:

認(rèn)真推算,發(fā)現(xiàn)直線AC并不經(jīng)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn).這種推廣不對(duì).是不能推廣還是推廣的方向搞錯(cuò)了呢? 要注意原題中的元素的多重性質(zhì),點(diǎn)O是拋物線的頂點(diǎn),但也是線段FE的中點(diǎn),所以還有別的形式.

經(jīng)過(guò)推算,可知(4)是正確的,(3)不正確.“點(diǎn)O是線段FE的中點(diǎn)”才是原題的本質(zhì),“點(diǎn)O是拋物線頂點(diǎn)”只是表面現(xiàn)象.到此可得雙曲線中相應(yīng)的命題:

圖2

探究3既然三種曲線都具有類似的性質(zhì),而三種曲線有統(tǒng)一定義和統(tǒng)一的方程(極坐標(biāo)方程),那么應(yīng)該有統(tǒng)一的證明方法吧!

三種曲線的統(tǒng)一證明取F為極點(diǎn),Fx為極軸,建立極坐標(biāo)系.設(shè)∠AFX=θ,A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π)則

(如圖3,上式可在直角坐標(biāo)系中證明:

圖3

FD=ρ1cosθ,EF+FD=p+ρ1cosθ=AH=所以ρ1=FA=

ρ2=BF=因?yàn)镹F//CB,所以

根據(jù)圓錐曲線第二定義,有e=,所以

又p=|EF|,所以N是EF的中點(diǎn).

這是一個(gè)一般性的結(jié)論與一般性的證明.一個(gè)特殊例子就是:

探究4 以上問(wèn)題中涉及的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線,從更廣意義上可認(rèn)為是極點(diǎn)與極線的特殊問(wèn)題.那么對(duì)一般的極點(diǎn)與極線該問(wèn)題如何?

進(jìn)一步探討有:

(7)更一般的問(wèn)題: 如圖4,過(guò)定點(diǎn)P(x0,y0)的直線交橢圓C:=1(a > b >0)于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P不在橢圓C上,過(guò)點(diǎn)A作直線=1 的垂線,垂足為E,求證: 直線BE過(guò)定點(diǎn).

圖4

分析如圖5,不妨設(shè)定點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓內(nèi)部,直線l:=1 是點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的極線,延長(zhǎng)BA交直線l于點(diǎn)Q,作BH ⊥l于點(diǎn)H,PM ⊥l于點(diǎn)M,設(shè)PM與BE交于點(diǎn)T,由極點(diǎn)與極線性質(zhì),設(shè)=λ[2][3].則

圖5

所以

所以PT=MT.所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)T,該點(diǎn)是線段PM的中點(diǎn).

綜上,我們得知: 最初問(wèn)題中的“直線MB平行于拋物線的對(duì)稱軸”不是問(wèn)題的本質(zhì),本質(zhì)應(yīng)是“直線MB垂直于拋物線的準(zhǔn)線”.最初的焦點(diǎn)弦性質(zhì)其實(shí)是任意一點(diǎn)與其對(duì)應(yīng)極線的性質(zhì).

問(wèn)題經(jīng)過(guò)拋物線向一般圓錐曲線推廣,從焦點(diǎn)與準(zhǔn)線向一般極點(diǎn)與極線推廣,實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的體系化,實(shí)現(xiàn)了認(rèn)識(shí)上的升華.這時(shí),我們的認(rèn)識(shí)已不限于拋物線中,也不限于圓錐曲線的焦點(diǎn),而是對(duì)于任意的圓錐曲線與任意一點(diǎn)可以編制題目,達(dá)到了“隨心所欲不逾矩”的地步.

任何一個(gè)問(wèn)題的出現(xiàn),可能是某一問(wèn)題的特殊情況,我們只有探求其普遍性,才能認(rèn)識(shí)原問(wèn)題的本質(zhì).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是這樣,其它問(wèn)題也是這樣,即“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”,而數(shù)學(xué)教給我們這種思想方法: 注意多重性,追求普遍性.