杭州市教育科研標(biāo)兵姚翔工作室杭州市交通職業(yè)高級中學(xué)(310000) 吳江

1.試題與解答

題目(2022 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試(A1 卷) 第10 題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)一條動直線l與拋物線Γ:y2=4x相切,且與雙曲線?:x2?y2=1 交于左、右兩支各一點(diǎn)A、B.求?AOB的面積的最小值.

評注解法的不同主要體現(xiàn)在兩個方面: 一是選擇不同的初始變量,通過運(yùn)算用單變量表示三角形面積,建立目標(biāo)函數(shù).二是運(yùn)用不同的方法,求解函數(shù)(面積)的最小值.因此,整個解題過程可分為兩個部分,即表示面積與求解最值.

1.表示面積

無論是設(shè)點(diǎn)(切點(diǎn)坐標(biāo))還是設(shè)線(斜率、截距),都可以由“相切”這一條件建立關(guān)聯(lián)各變量的等式,從而將其統(tǒng)一變量來表示,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)用單變量表示三角形面積,即得到目標(biāo)函數(shù)與變量的對應(yīng)關(guān)系.由“交于左、右兩支各一點(diǎn)”這一條件建立關(guān)聯(lián)各變量的不等式組,從而得到變量的取值范圍,即目標(biāo)函數(shù)的定義域.

2.求解最值

構(gòu)造函數(shù)和不等式是求解解析幾何最值(范圍)問題的常用方法.在上述解法中,都應(yīng)用了換元,其目的是化簡形式或構(gòu)造不等式,以便于進(jìn)一步轉(zhuǎn)化處理.解法1 和解法2 應(yīng)用了基本不等式,技巧性較強(qiáng),解法3 通過轉(zhuǎn)化聯(lián)系了二次函數(shù)模型,需具備敏銳的洞察力,解法4 對目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)的方式思維量小,但運(yùn)算量大.

該題一共20 分,從評分標(biāo)準(zhǔn)來看,完成用單變量表示面積和求得面積的最小值各占10 分,由此可知,雖然表示面積作為前一部分是總體解題程序中的主體,但是真正的難點(diǎn)卻是后一部分求解面積的最小值,體現(xiàn)出該題對基礎(chǔ)與能力的“并重”考查.

2.拓展推廣

從上述解題過程中不難發(fā)現(xiàn),三角形面積的最小值是由雙曲線和拋物線的方程所決定,因此可以得到下述一般性結(jié)論:

3.感悟反思

高中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)應(yīng)“重基礎(chǔ),講方法”,力求基礎(chǔ)與能力并進(jìn).熟悉基本的題型,掌握常規(guī)的解題路徑是一件看得見、摸得著的工作,而對于典型問題的難點(diǎn)突破需要講究方法,如上述解題過程中求面積的最小值,解法1 和解法2 對分母整體換元,解法3 將分式拆分后換元,都有著明確的轉(zhuǎn)化目標(biāo),應(yīng)總結(jié)模型的特征,使其有跡可循.另外,對原問題加以推廣及探究相關(guān)變式是提煉方法,內(nèi)化鞏固的有效途徑,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入思考,追本溯源,在探究中提升能力,落實(shí)核心素養(yǎng)的滲透與培養(yǎng).