張勇

【摘 要】“畫(huà)圖策略”是解決問(wèn)題時(shí)常用的一種數(shù)學(xué)方法，是數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn)。在教學(xué)中，教師經(jīng)常會(huì)運(yùn)用畫(huà)圖策略來(lái)幫助學(xué)生理解題意，但很少有學(xué)生會(huì)主動(dòng)應(yīng)用畫(huà)圖策略來(lái)幫助自己解決難題。也正是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)畫(huà)圖策略缺少一定的意識(shí)，或感覺(jué)存在一定的困難，這才需要教師在平時(shí)的教學(xué)中有意識(shí)地引導(dǎo)和培養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】教學(xué)策略 線段圖 數(shù)形結(jié)合 數(shù)量關(guān)系

筆者在一次教研活動(dòng)中同時(shí)學(xué)習(xí)了三位青年教師執(zhí)教的蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“解決問(wèn)題的策略”一課，對(duì)“線段圖”這一策略的教學(xué)頗有感觸。

一、課中實(shí)踐

片段一：畫(huà)線段圖

張老師在簡(jiǎn)單介紹集郵這一高雅藝術(shù)之后直接呈現(xiàn)例題，詢問(wèn)學(xué)生想到用什么方法，學(xué)生異口同聲：畫(huà)線段圖。教師引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立嘗試畫(huà)線段圖之后精心挑選了兩幅作品進(jìn)行展示，讓學(xué)生尋找相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。在此過(guò)程中，教師相機(jī)將課前已經(jīng)制作好的線段圖進(jìn)行板貼。

唐老師在學(xué)生集體讀題之后，讓學(xué)生集體口述線段圖的畫(huà)圖步驟，教師相機(jī)出示課件，以此教學(xué)生畫(huà)線段圖。

馬老師在讀完例題后，簡(jiǎn)單提示學(xué)生自己獨(dú)立畫(huà)圖，然后出示三份學(xué)生的作品，讓其他學(xué)生分別找找三幅作品的亮點(diǎn)和不足，接下來(lái)則帶領(lǐng)學(xué)生集體作圖并修正自己的作品。

片段二：“讀”線段圖

對(duì)于“讀”懂線段圖這一環(huán)節(jié)，三位教師不謀而合地采取了同一教學(xué)策略：先在課件中隱去蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)P48例題1中的所有文字信息，只給學(xué)生觀察所畫(huà)出的線段圖，讓學(xué)生嘗試復(fù)述例題中的條件和問(wèn)題。從三節(jié)課中學(xué)生的反應(yīng)可以看出，學(xué)生對(duì)于“讀”線段圖基本不存在困難。

片段三：用線段圖

“讀”完線段圖后，三位教師采取的教學(xué)方法都是先引導(dǎo)學(xué)生嘗試獨(dú)立思考自己解決例題中的問(wèn)題，隨后進(jìn)行充分的交流互動(dòng)。

張老師的課堂上有學(xué)生匯報(bào)：

72÷2=36（枚）

小春：36+12=48（枚）

小寧：36-12=24（枚）

筆者觀察到張老師在聽(tīng)完學(xué)生提出這一方法后臉上滿是詫異和不解，課堂也陷入了短暫的停滯，張老師思考后說(shuō)：“這種方法對(duì)嗎？”

一個(gè)學(xué)生舉手答道：不對(duì)，我們可以這樣想，假設(shè)小春有48枚郵票，小寧有24枚，那么小春就比小寧少24枚郵票，可是題中告訴的是小春比小寧少12枚。

此環(huán)節(jié)到這里就結(jié)束了。

唐老師在學(xué)生出現(xiàn)同樣方法之后處理如下。

師：同學(xué)們，我們先不著急評(píng)判這個(gè)同學(xué)的方法，老師這里有另外一個(gè)問(wèn)題想問(wèn)大家：“如果唐老師有8個(gè)蘋(píng)果，這個(gè)女生有4個(gè)蘋(píng)果，怎樣讓我們的蘋(píng)果數(shù)量一樣多呢？”

大部分學(xué)生能夠很快答出老師應(yīng)該分給女生2個(gè)蘋(píng)果。

師：這個(gè)答案是怎么得來(lái)的呢？

從學(xué)生的自由回答中可以知道，學(xué)生是明白老師只需要把自己多出的4個(gè)的一半的數(shù)量分給女生，兩人就能變得同樣多了。

緊接著，唐老師再讓全班學(xué)生進(jìn)行思考、分析上面學(xué)生提出的先“÷2”的那個(gè)方法是否正確，從課堂效果可看出，部分學(xué)生能夠?qū)倓偨處熈信e的蘋(píng)果例子獲得的經(jīng)驗(yàn)遷移到這道題目上，得出：小春只需要把自己比小寧多出的12枚郵票拿出一半，即6枚分給小寧就可以了。學(xué)生得出此結(jié)論后，唐老師利用課件將這種方法的詳細(xì)解答過(guò)程進(jìn)行了展示及再次講解。（見(jiàn)圖1）

馬老師的處理方法如下。

師：你們認(rèn)為這種方法對(duì)嗎？為什么呢？

生1：我認(rèn)為不對(duì)，把48和24兩個(gè)答案代入題中進(jìn)行檢驗(yàn)得到小春比小寧多24枚郵票，并非題目中所給的12枚。

師：那你覺(jué)得應(yīng)該怎么做呢？

生1：我是這樣想的，先用72÷2=36（枚），如果兩人郵票同樣多，小寧和小春每個(gè)人都應(yīng)有36枚郵票。題目中提到小春比小寧多12枚，那么我們就可以用36+6=42（枚），這是小春的郵票枚數(shù)，然后再用36-6=30（枚）求出小寧的郵票枚數(shù)。

師：你的6怎么來(lái)的呢？

生1：12÷2=6（枚），小春比小寧多12枚，那么小春只需要把自己比小寧多出的12枚中的一半，即6枚給小寧就可以讓兩個(gè)人變得同樣多。

接著，馬老師將生1的方法板書(shū)到了黑板。

二、課后反思

（一）“線段圖”在學(xué)習(xí)中的重要“地位”

縱觀蘇教版12冊(cè)小學(xué)數(shù)學(xué)教材編者設(shè)計(jì)的“線段圖”的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，仔細(xì)分析可看到，教材是先用色塊“遮蓋”具體的數(shù)量，再用色塊來(lái)統(tǒng)括大數(shù)據(jù)的數(shù)量，最后教材才編排了用線段來(lái)表示數(shù)量的多少及數(shù)量之間的關(guān)系，這一設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了蘇教版數(shù)學(xué)教材在進(jìn)行“線段圖”這一內(nèi)容編排時(shí)考慮到了由易到難、由具體到抽象。

（1）用色塊“遮蓋”數(shù)量及關(guān)系：二年級(jí)上冊(cè)“表內(nèi)乘除法的練習(xí)”（見(jiàn)圖2）一課是蘇教版數(shù)學(xué)教材第一次涉及借助色塊表示數(shù)量及關(guān)系。

此題意在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)：“求 8 個(gè) 3 相加的和是多少？”這道題里的色塊“遮蓋”了具體的數(shù)量，學(xué)生在自己計(jì)算后可以通過(guò)數(shù)數(shù)的方法驗(yàn)證自己求出的色塊遮蓋住的五角星個(gè)數(shù)是否正確。

（2）用色塊概括數(shù)量及關(guān)系：蘇教版數(shù)學(xué)教材里第二次出現(xiàn)色塊圖是在二年級(jí)下冊(cè)的“兩、三位數(shù)的加法和減法”（見(jiàn)圖3）一課。

這里用藍(lán)色色塊表示鴨蛋的數(shù)量，用黃色表示雞蛋的數(shù)量，而且這兩種顏色色塊所表示的具體數(shù)量都比較多，無(wú)法運(yùn)用數(shù)數(shù)的方法，因此這里的色塊更具有概括數(shù)量多少的作用。學(xué)生在解題的過(guò)程中需要借助側(cè)旁的文字描述與兩種不同顏色色塊的長(zhǎng)短來(lái)分析、理解鴨蛋和雞蛋兩種數(shù)量間的關(guān)系。

（3）用線段圖表示數(shù)量多少及數(shù)量關(guān)系：蘇教版數(shù)學(xué)教材里第一次呈現(xiàn)出具體的線段圖模型是在三年級(jí)上學(xué)期的“從條件想起”第一課時(shí)（圖略）。

這是教材第一次使用比較簡(jiǎn)單、易懂的線段圖來(lái)表示題中的條件及問(wèn)題，讓學(xué)生根據(jù)題中所給的條件完成線段圖并借助線段圖去理解、掌握、體會(huì)從條件出發(fā)分析題中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)而尋找相應(yīng)的解題方法的數(shù)學(xué)策略。

（4）蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“解決問(wèn)題的策略”一課（圖略）則是引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)具體情境中的相關(guān)信息補(bǔ)全線段圖，然后借助所補(bǔ)畫(huà)出的線段圖體會(huì)從問(wèn)題出發(fā)分析題中的數(shù)量關(guān)系的解題策略。

（5）蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“解決問(wèn)題的策略”（見(jiàn)圖4），則是讓學(xué)生根據(jù)實(shí)際的具體問(wèn)題補(bǔ)全題中線段圖所缺的信息，然后再根據(jù)補(bǔ)全的線段圖尋找到題中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)而找到解題的突破口，梳理出解決實(shí)際問(wèn)題的思路。

在后續(xù)的蘇教版數(shù)學(xué)五、六年級(jí)的教學(xué)中，也設(shè)計(jì)了很多借助線段圖來(lái)分析題意、解決問(wèn)題的實(shí)際問(wèn)題。

縱觀整個(gè)蘇教版數(shù)學(xué)教材，我們可以發(fā)現(xiàn)，“線段圖”這一教學(xué)內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)中占有舉足輕重的地位。

（二）“線段圖”在學(xué)習(xí)中的重要“優(yōu)勢(shì)”

線段圖是一種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題較為常用的解題策略，它能幫助學(xué)生從形象思維較為順利地過(guò)渡到抽象思維。線段圖的最大優(yōu)勢(shì)在于化抽象為具體，通過(guò)線段圖把題目中蘊(yùn)含的較為抽象的數(shù)量關(guān)系用形象、直觀的方式表達(dá)出來(lái)，從而引導(dǎo)學(xué)生將自己對(duì)概念的相關(guān)認(rèn)識(shí)重新進(jìn)行認(rèn)知、內(nèi)化，啟發(fā)他們從完整的、形象的線段圖中尋找到題目中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，從而更高效地解決問(wèn)題。另外，借助線段圖，能讓學(xué)生體會(huì)到以數(shù)化形、以形換數(shù)的思想，進(jìn)而發(fā)展其思維品質(zhì)。

那么，在實(shí)際的一線數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師又該如何發(fā)揮線段圖自帶的這些優(yōu)勢(shì)呢？教師應(yīng)先耐心引導(dǎo)學(xué)生將題目中的文字及其他信息用線段圖進(jìn)行具體呈現(xiàn)，接著引導(dǎo)學(xué)生借助線段圖仔細(xì)分析每一部分所代表的意義和蘊(yùn)含的數(shù)量之間的關(guān)系，尋找題目中所有信息所蘊(yùn)含的相互聯(lián)系，并以此建構(gòu)起數(shù)學(xué)條件與問(wèn)題之間所具備的數(shù)量關(guān)系模型，借此探索出較為適切的解決問(wèn)題的思路。

如本課例題中的信息較為抽象，學(xué)生一時(shí)無(wú)法清楚地厘清題目中小寧和小春郵票枚數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，這時(shí)教師就可以相機(jī)引導(dǎo)學(xué)生利用畫(huà)線段圖的方法來(lái)表示題中的相關(guān)條件和問(wèn)題，加深對(duì)題目的理解，然后仔細(xì)分析所畫(huà)的線段圖，就可發(fā)現(xiàn)小春、小寧郵票枚數(shù)之間存在的較為清晰的數(shù)量關(guān)系了。（見(jiàn)圖5）

（三）“線段圖”在學(xué)習(xí)中的重要“實(shí)力”

從三節(jié)課的課堂反饋中可以看到，絕大部分學(xué)生都能借助分析線段圖快速地尋找到解決問(wèn)題的突破口。

有的學(xué)生想到，先將小春比小寧多出的12枚郵票去掉，用72-12=60（枚）即得到原來(lái)小寧郵票枚數(shù)的兩倍，然后再分別計(jì)算出小寧和小春各自的郵票數(shù)。

有的學(xué)生想到，先將小寧的線段圖補(bǔ)畫(huà)一段小春比小寧多的12枚，用72+12=84（枚）得到原來(lái)小春郵票枚數(shù)的兩倍，再依次算出小春、小寧的郵票數(shù)。

由此可見(jiàn)，線段圖的“實(shí)力”確實(shí)非凡。

如果授課教師能夠在有學(xué)生出現(xiàn)“72÷2=36（枚） 小春：36+12=48（枚） 小寧：36-12=24（枚） ”這一錯(cuò)誤方法后，像唐老師教學(xué)時(shí)一樣先舉出一個(gè)貼近學(xué)生生活實(shí)際的例子，讓學(xué)生理解要使得兩人同樣多只需要把多出來(lái)的一半分給另外一個(gè)人，以此喚起學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，然后再借助本節(jié)課學(xué)生需要學(xué)習(xí)和掌握的策略畫(huà)線段圖進(jìn)行動(dòng)畫(huà)演示（見(jiàn)圖6、7、8），讓學(xué)生能夠直觀地感受到取其中的一半才能夠進(jìn)行均分，那么學(xué)習(xí)效果就會(huì)更好。

線段圖是一種比較直觀的解決問(wèn)題的策略，它也是學(xué)生從具體、形象的思維過(guò)渡到抽象的邏輯思維的載體。在日常教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)先準(zhǔn)確地把握學(xué)生的學(xué)情，然后根據(jù)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題的特征，引導(dǎo)學(xué)生依次通過(guò)畫(huà)圖、分析來(lái)解決問(wèn)題，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)與形、文與圖之間相互轉(zhuǎn)化。唯有此，學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)方能得心應(yīng)手，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也才能興致更濃、信心更足。