韓華

(天津理工大學理學院,天津 300382)

隨著科學技術的迅速發(fā)展和計算機技術的廣泛應用，數學的思想、方法以及技術在自然科學、工程技術等領域發(fā)揮著越來越重要的作用，而且已經廣泛深入到經濟學、管理學以及社會學等各個相關領域。大學生也需要在高等數學的學習中獲得更豐富、更有用的現代數學知識，提升運用數學工具和技術的能力，以適應現代社會的發(fā)展。高等數學是本科生學習階段的一門必修課，高等數學課程的學習質量是本科生學習水平的一個重要標志，也是學生由中學階段向大學階段角色轉換過程中遇到的第一塊試金石。所以，教師和學生之間互相配合、教學相長，是提高學生學習的積極性和提升教師的教學水平的雙贏策略。

高等數學課程中所學習到的微積分知識，是理工科學生的專業(yè)課學習階段的重要工具，也為相關課程的開展提供了專業(yè)的知識儲備，所以理工科學生的高等數學學習顯得尤為重要。但是我們始終認為，大學數學的教育目標不應該僅僅是為學生專業(yè)課的學習提供理論基礎，在教學的過程中更重要的是引導學生接受數學文化的熏陶，學會一種理性的思維模式。在其腦海中搭建一座橋梁，把所學的知識在思想中融合，做到融會貫通，游刃有余。

本科生第二學期的高等數學教學，涉及重積分的計算以及曲線曲面積分的計算。這是高等數學教學的重點也是難點，是理工科學生后續(xù)學習必須具備的基本計算能力。但是，大部分的學生并沒有相關的繪圖基礎，沒有辦法具體地刻畫出相關的三維圖形。這使得三重積分以及曲面積分的計算中，向相關平面的投影圖形的形狀難以理解，導致后續(xù)的計算無法進行。所以在教學過程中，我們嘗試利用各種工具來幫助學生畫好三維圖形，這樣可以更直觀、更深刻地理解投影到某個面上的投影區(qū)域的劃定，也能夠幫助學生更好地學習曲面積分的知識。

事實上，在工科專業(yè)學生的教學中，對三維圖形的描繪，學生反而顯得尤為感興趣，在了解到他們上個學期的工程制圖課程也涉及三維制圖后，筆者在教學設計里，由一道習題引入，將高等數學和工程制圖的教學相結合，激發(fā)了學生的學習興趣，讓學生對相應內容的理解更加深刻，也體現了當前多學科交叉融合的教學特點。

一、問題的引入

第一類曲面積分的運算，主要涉及以下內容，設積分曲面Σ 由方程z=z(x，y)給出，Σ 在xOy面上的投影區(qū)域為，函數在上具有連續(xù)偏導數，被積函數f(x，y，z)在Σ 上連續(xù)。則由分析可得

這樣就把對面積的曲面積分化為了向坐標平面xOy投影下的二重積分。同樣，若曲面Σ 由x=x（y，z）方程或y=y（z，x）給出，我們也可以類似地把對面積的曲面積分化為向坐標平面yOz或者zOx投影下的二重積分進行相應計算，公式分別為：

顯然，如何確定向各個平面投影的函數圖像是曲面積分求解問題的關鍵，在遇到第一類曲面積分時，如何確定向哪個平面投影也是學生糾結的問題。

二、問題過程分析

這道題求解并不困難，但是由于錐面被曲面切割部分的具體形狀比較難以想象，學生在具體的求解過程中產生了疑問。對于該問題，課后習題給出的標準答案是向xOy平面做投影，如圖1所示，Σ 在xOy面上的投影區(qū)域為圓形區(qū)域，由計算曲面積分公式：

圖1 投影圖

在教學過程中，學生對這個圖形非常感興趣，經過課堂討論，學生產生了以下的疑問：

第一，向xOy平面投影，投影區(qū)域就是一個圓，能否把這個具體的投影過程用3D圖像刻畫出來？

第二，分別向xOz，以及yOz平面投影，對應的投影區(qū)域是什么樣子的，又如何計算？計算過程相比較是不是會更簡單？

由于材料工程類專業(yè)的學生在專業(yè)基礎課學習“現代工程圖學”課程中，該課程主要教授學生研究繪制和閱讀工程圖樣的原理和方法，而這些是工科學生必備的表達和交流工程技術思想的重要工具。該課程對現代流行的經典計算機繪圖軟件AutoCAD有了一些了解，學生很快利用CAD制圖將立體圖形畫出，如圖2所示。這個圖形能夠直觀地看到兩個曲面的交線，學生能夠通過自己的相關專業(yè)知識來解決數學問題。由于要分別向三個坐標平面投影，如果三維圖形能夠更直觀地演示出投影區(qū)域，將更容易幫助計算。作為課外作業(yè)，學生也饒有興趣地去尋找相關的作圖軟件，并得到了想要的效果[1-3]。

圖2 Auto 作圖

通過查閱資料，學生發(fā)現了一款非常好用的3D繪圖軟件GeoGebra，這是一款非常實用的數學作圖軟件。在中小學教學中廣泛使用，可以用來幾何作圖、函數繪圖、代數演算等。在課堂演示教學，課后作業(yè)的完成中起到了很好的作用，使得教學過程更立體、更生動并富有啟發(fā)性，讓學生印象深刻，理解更到位，在方便學生的同時，也提升了教師的工作效率。

對我們來說，這款軟件最大的優(yōu)點就是可以動態(tài)地展示各類立體幾何圖像，無論圖像位于哪個平面，都可以直觀地觀看，并且可以逐步展示投影的過程，讓學生的思維豁然開朗。在簡單學習這個軟件的基本應用后，學生直觀地得到了曲面Σ 的3D圖像，如圖3所示。

圖3 GeoGebra 繪制的3D 圖形

接下來，通過將該3D圖像進行旋轉，我們得到了該曲面分別向三個坐標平面上的投影區(qū)域，如圖4，圖5所示，并利用這些圖形給出了分別向xOz，以及yOz平面投的計算過程。向xOz面投影的計算過程：

圖4 向xOz 面投影圖像

圖5 向yOz 平投影圖像

從這個圖像上很明顯看得出對稱關系，我們只需要計算在第一象限里的投影，最后取2倍即可（題目只有上半部分的圖像）。計算過程如下：

向yOz面投影的計算過程：

這個計算也涉及到了對稱性，同樣我們可以只求第一象限再取2倍。這個計算主要麻煩在投影區(qū)域邊界方程稍微復雜一點，學生在求解二重積分時需要的計算量大一些。主要計算過程如下：

在分析和演算的過程中，學生也發(fā)現了，向每個平面投影的計算復雜度都有差別。特別是第三個向yOz平面的投影，計算的復雜程度很大，計算也用到了較多的定積分求解技巧，稍有不慎，整個過程就需要從頭演算。對于這道題來說，向xOy平面投影的計算是最簡單的。

在學生對兩個軟件都熟悉后，我們把整節(jié)課的相關圖形，都用AutoCAD和GeoGebra做了刻畫。特別是GeoGebra的使用，使得學生更加樂意去嘗試向不同的平面去做投影，進一步地發(fā)現向哪個平面的投影計算更加簡單，學會了第一類曲面積分的一個計算技巧，理解了第一類曲面積分的意義。這節(jié)課的教學內容本來是高等數學教學中的一個難點，對于三維圖形的空間想象力的限制，使得學生理解和計算上都存在著困難。但是機緣巧合的我們找到了學生的一個興趣點，將整節(jié)課的教學內容加以拓展，使整個課堂對學生的吸引力更大，內容更加充實豐富，學生獲益良多。

三、主要思想總結

這道題目的選取其實非常合適，既讓學生了解了向不同平面投影的區(qū)別，又在整個計算過程中訓練了學生的水平，并且對之前定積分的不同類型的計算做了復習。讓學生直觀了解了曲面積分和二重積分的區(qū)別和聯系，為進一步地講解第二類曲面積分，以及兩類曲面積分之間的關系做了很好的鋪墊。

關于多重積分的學習，一直是高等數學教學過程中的重點和難點，由于所學知識的限制，學生往往在解答過程中遇到很大的困難。如何在教學設計上增加學生感興趣的知識點，使學生學習更積極主動，是重積分教學中教師著重考慮的內容。我們曾試圖拉長教學時間，增加習題課時，這起到了一定的效果，能夠幫助一部分學生理解。但是這次通過和學生的專業(yè)課內容相結合，讓學生去探討去發(fā)現，顯然收效更好。這也使我們作為教育者更加理解了“因材施教”的意義。通過該問題的分析和講解，學生一方面加深了對曲面積分的理解，對于曲面積分向各個平面投影會遇到的困難和如何選取最優(yōu)解法有了進一步的認識；另一方面，學生一直理解學微積分是為了后續(xù)專業(yè)課的相關計算做基礎，但是通過這次課程，學生發(fā)現，專業(yè)課學到的知識同樣也可以用到微積分的學習中，幫助他們去求解相關習題，這也使得學生理解了學科之間相輔相成的關系。

四、教學能力的提升

數學的學習，對于工科的學生非常重要，但是學生往往不知道所學的專業(yè)知識如何來輔助學習高等數學。在上述問題的分析過程中，學生對高等數學的學習有了極大的熱情，利用相關的工程制圖知識，提高了高等數學相關知識的學習高度。這也是高等院校中多學科交叉融合的一個非常好的實例，讓學生學以致用，在日常的學習中提升個人的學習能力。在這節(jié)課之后，我們和學生討論了他們學習的工程制圖課程所學習的內容，請學生來幫助我們做教學準備，看有哪些地方是可以和他們所學的專業(yè)課程相結合。這樣既讓學生有了自主學習的動力，在課堂上又達到了很好的教學效果，這一章結束的期中階段性水平測驗時，學生的解題能力都有了不同程度的提高。這也使得我們在教學設計時有了以下的經驗總結，并做了相關的一些假設，準備加以實施，進一步地去學習和促進學科融合，讓學生的數學學習有一些樂趣。

第一，切實做到因材施教，學生的專業(yè)不同，大多數的理工科學生都有高等數學、線性代數以及概率論與數理統(tǒng)計等幾門數學課程，穿插在前兩年的大學學習中去完成。對于不同專業(yè)的學生，我們想在下一步的教學中，適當增加與相關專業(yè)教師的交流。因為所學專業(yè)不同，不同學院之間的教師之間交流機會比較少，借助于相關數學課程的教學，增加和相關學院教師的交流機會，既能夠了解到這些專業(yè)后續(xù)課程的學習需要哪些知識，又能做到因材施教，在這些內容上著重講解，為后續(xù)課程的開展打好基礎[4-5]。

第二，通過和學生以及相關教師的交流，探討學科融合的一些契機，找到學科交叉的點，既是幫助學生學習水平的提高，也是我們科研交流的一個好的機會。從基礎著手，增加自身的學識水平和專業(yè)知識，拓展專業(yè)內容，知識的碰撞總能擦出意想不到的火花，教學相長也為教師教學水平和科研能力的提升提供了好的平臺。

第三，細化學生的學習內容，由于高等數學是理工科學生的必修課，市場上相關的輔導材料紛繁雜亂，學生做起來沒有頭緒。根據我校學生的專業(yè)分布，我們準備在教學過程中去尋找適合相關專業(yè)學生學習的習題，結合學生的專業(yè)特色以及招收水平，編纂對應難度的習題，輔助學生及時復習。我們準備組建教學組，進行分工，集合專業(yè)教師的能力，去推動這項工作的進行，通過實踐實時反饋不斷改進。如果這項工作能夠做到相對滿意的結果，對學生的培養(yǎng)應該是大有益處的。

習近平總書記在黨的二十大報告中指出，要建立全民終身學習的學習型社會，學習型大國。而終身學習是在更好地適應經濟社會全面發(fā)展的基礎上不斷學習，不斷進步。高等學校的教育更是如此，要做到與時俱進，教師要根據時代的進步，人民生活環(huán)境的不斷改善來實時地提高自己的教學能力，提升自己的教學水平，不能一成不變，不可故步自封。與不同專業(yè)的人才之間的交流，以及網絡資源的充分利用，都是實現終身學習的有效途徑。而正如陶行知先生所說，只有好學，才是終身進步之保險，也是常青不老之保證。作為高校教師，我們只有保持終身學習，才能成為一名合格的新時代教育工作者，才能培養(yǎng)好社會主義的建設者和接班人。