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        高中數(shù)學“學生說題”實施探索

        2023-08-11 17:26:39陳莉莉李海軍
        中學數(shù)學雜志(高中版) 2023年4期
        關鍵詞:高中數(shù)學

        陳莉莉 李海軍

        【摘 要】 ?“學生說題”促使學生暴露思維過程,是讓學生主動參與到學習的全過程中去的一種有效方式.通過同學間交流、教師點評,促進學生思維能力的提升.在實踐的基礎上,以“學生主體”為原則,從制定原則、制定計劃到“學生說題”說什么、怎么指導“學生說題”進行說題的具體實施.并且從對實施的反思中提出了如何突破瓶頸.

        【關鍵詞】 ?高中數(shù)學;傳統(tǒng)教學;學生說題;小組評價

        在日常的教學過程中常常會碰到這樣的困惑:為什么有些類型的問題我們做過多次透徹的分析,同類型的問題也多次練習,可是有些同學還是表現(xiàn)出不理解,不明白其中緣由,下次稍作變動,還是再錯.和學生交流,學生表示課堂上老師講的似乎都聽懂了,可一到自己做題時,尤其是有難度的題,就感覺束手無措,無從下手了.相反,那些在課堂上發(fā)表自己意見的同學,在考試時碰到類似的問題時,解題條理相對清晰多了.

        在傳統(tǒng)的教學中學生學習的過程是一個知識的傳授→接受→反復訓練→熟練掌握→領悟的單向發(fā)展過程.在這一過程中,學生總是被動、機械地模仿,學習缺乏主動性,而被動機械接受的方法往往很難提升學生學科思維品質.要提升學生的學科思維品質,首先得要學生自愿、主動地投入到學習中去,以積極進取的心態(tài)去構建知識體系.而“學生說題”正是要求學生“學會如何學習”的過程,也是讓學生體驗自己做一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者的過程.于是筆者嘗試用說題的方式去激活主體,暴露思維,提升品質.

        1 ??“學生說題”的實施

        “學生說題”并不是說不要老師的指導,相反對老師的指導提出了更高的要求,要求老師積極引導學生學會“說題”.為了“學生說題”能激活主體,暴露思維,體驗成功,筆者分以下幾個步驟實施.

        1.1 制定原則(1)全面參與原則

        組織學生說題不能只為追求氣氛,應根據(jù)不同層次的問題,選擇不同程度的學生全面參與進來,使每個學生都能享受到成功的喜悅,共同提高[1].(2)點評的激勵性和針對性原則學生說題并不像教師說題那樣嚴謹、精辟、全面,所以教師在學生說題后的點評必須及時,而且要盡量用肯定的、激勵的語言,增強學生說題的信心.同時點評要有針對性,使學生在說題的過程中有所收獲.

        1.2 制定計劃“學生說題”要有目的、有計劃、有組織、有針對性地進行,不能有隨意性、無的放矢,更忌備課不充分時讓學生課堂說題.于是筆者擬定了以下整體規(guī)劃:

        (1)第一階段,讓成績較好、表達能力較強的同學說題,起著示范模仿的作用,目的是培養(yǎng)學生良好的思考問題的習慣和思維品質.(2)第二階段,分成若干個小組,使每位同學在小范圍內嘗試說題.加強審題、說題訓練,使絕大多數(shù)學生能快速理清條件、問題及其關系,準確地找到題眼,逐步培養(yǎng)良好的審題習慣.

        (3)第三階段,把部分習題課適當交給學生,要求學生把每天批好的作業(yè)中錯誤的問題在小組內消化解決,教師試圖從講評作業(yè)中解脫出來.

        希望通過這三個階段的訓練,培養(yǎng)學生在學習過程中獨立思考的習慣,提高學生的表達能力,形成自主合作式的探究性學習,增強學生的反思意識,從而提高學習能力.1.3 “學生說題”說什么“學生說題”的內容是“學生說題”的核心所在,“學生帶著什么樣的教材走向教師”是教師激活主體,培養(yǎng)學生能力,提升學生思維品質的保證.要想提高“學生說題”的有效性,教師必須對“學生說題”的內容進行設計.

        (1)說題目的條件,挖掘隱含條件就是要說清題目的已知條件和問題,要求學生找準題眼和關鍵詞.尤其要讓學生學會排除干擾和挖掘題中隱含條件,通過挖掘“已知條件”和“隱含條件”來了解學生的思維偏差并幫助他們糾正偏差.

        案例1 ?(找準題眼,題目會說話)在 R 上定義的函數(shù)f(x)是偶函數(shù),且f(x)=f(2-x),若f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù),判斷f(x)在區(qū)間[-2,-1]和區(qū)間[3,4]上的單調性.

        這是作業(yè)中的一個題目,只有近50%的同學做對,于是安排了一位中等程度的周同學說題.

        S1:條件有(1)f(x)是偶函數(shù);(2)f(x)=f(2-x);(3)f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù).所求為判斷f(x)在給定區(qū)間上的單調性.由條件f(x)=f(2-x)得到圖象關于直線x=1對稱,基于這個條件的考慮,把f(x)是偶函數(shù)轉化為圖象關于y軸對稱,兩者一結合,可以作出如圖1所示的圖象.可以發(fā)現(xiàn),這個函數(shù)的周期為2.由圖象就不難得出答案.

        師:反思這個題目,關鍵還是要找準題眼:條件f(x)=f(2-x)暗示我們要用圖象的對稱來解決問題,正所謂“題目會說話”,只要用心去分析條件和所求,就能聽懂題目“說”的“話”.(2) 說解題的框架

        這是說題的重點,是學生在認真、仔細、嚴謹?shù)貙忣}后,在充分思考的基礎上,說出解題的大致思路,也就是解題的框架.這就像我們寫作時的提綱一樣重要.但是有很大一部分學生見到題就不假思索拿來就做,這樣的學生是把數(shù)學解題變成了體力勞動.感覺就像腳踩“西瓜皮”,最終解決了——運氣;碰壁了——放棄!通過對“學生說題”中說題框架的訓練,培養(yǎng)學生細致地審題,認真地思考從何處下手、向何方前進的習慣.欲速則不達,磨刀不誤砍柴工,這一思維的習慣一定要慢慢培養(yǎng).

        案例2 ?(草讀一遍別下筆,條件目標需熟悉)在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,cosB=- 5 13 ,cosC= 4 5 .

        (1)求sinA的值;(2)設△ABC的面積S△ABC= 33 2 ,求邊a的長.

        這是一次單元測試中的題目,很多同學在做第2問時花費了很長時間,包括平時數(shù)學成績還不錯的同學考后都表示“算砸了”.還有部分同學算了半天也計算不出結果,最后心慌,放棄.其中高一(11)班的葉同學條理很清楚,便安排她備課說題.

        S2:第2問同學們不難想到把△ABC的面積轉化為兩邊ac的乘積.要求邊a,怎么辦呢?根據(jù)方程思想,關鍵是要找到與邊a邊c這兩邊有關的另外一個等式.到哪里找這個等式呢?已知三角去求兩邊關系,想到用正弦定理得到.

        這樣就不難得到解題的大致框架:第一步,轉化面積得到ac的關系式;第二步,通過正弦定理找邊a邊c的另一個關系式;第三步,聯(lián)立方程即可解出a.(板書解題過程)

        師:這題其實并不難,可是為什么我們同學做得不是很好呢?因為很多同學草草看一遍題目就去做題,結果越算心越慌,以致最終放棄.我們在做題時要認真分析條件和結論,把題目都分析透了,才能得到解題的框架,從而從容地解出這個題目.所以審題的慢,是為了后面答題的快!用學生的“嘴”說出老師所“想”,這就要求教師大膽地把課堂交給學生,聽學生所“思”,聽學生所“想”,從而無形中告訴同學們,其實你們也可以,你們也很棒?。?)說讀題后的直覺

        在數(shù)學學習中,許多問題求解思路的發(fā)現(xiàn),往往是依靠數(shù)學直覺提供的猜想.直覺思維來自對已有成果的深刻認識和冷靜審查,需要廣博的知識、敏銳的觀察、豐富的聯(lián)想、恰當?shù)念惐?、合理的延拓以及標新立異的勇氣和膽識.在平時的數(shù)學學習與數(shù)學應用中應有意識地培養(yǎng),做到將直覺與理性相結合,直觀地感知問題,理性地分析問題,最后科學地解決問題[2].

        案例3 ?(直覺引領,理性分析)在一次考試中有這樣一道題:若直線 x a + y b =1通過點M(cosα,sinα),則( ?).

        A.a2+b2≤1 ??B.a2+b2≥1

        C. 1 a2 + 1 b2 ≤1 ??D. 1 a2 + 1 b2 ≥1

        本題的正確率不到30%,安排了班里數(shù)學比較好的朱同學來說這個題.

        S3:這是選擇題的最后一題,很多同學一看這個題目就暗示自己“我做不出來的”,結果思考也變得不積極.其實看到條件M(cosα,sinα),直覺告訴我點M(cosα,sinα)的坐標與單位圓有關.沿著這條思路往下想,點M在單位圓x2+y2=1上.直線 x a + y b =1通過點M(cosα,sinα),就可以轉化為直線 x a + y b =1和圓x2+y2=1有公共點.所以圓心到直線的距離小于或等于半徑,即得到: 1 ???1 a ?2+ ?1 b ?2 ?≤1.整理可得到: 1 a2 + 1 b2 ≥1.

        數(shù)學直覺不受邏輯思維的約束與限制,使人的認知結構向外無限擴展,具有反常規(guī)的獨創(chuàng)性.在數(shù)學課堂教學中,要對數(shù)學直覺加以滲透,培養(yǎng)學生數(shù)學發(fā)現(xiàn)、數(shù)學探究能力.引導學生在反思的基礎上,調動自己的全部知識經驗進行理性地分析[2].(4)說解題的“錯因”學生的數(shù)學學習過程是一個自主構建自己對數(shù)學知識的理解的過程.他們帶著自己原有的知識背景、活動經驗和理解走進學習活動,并通過自己的主動活動,包括獨立思考、與他人交流和反思等,去建構對數(shù)學的理解[3].因此,學生答錯了也不見得是件不好的事,錯誤不過是學生在數(shù)學學習過程中所做的某種嘗試,是非常正常的.當學生出現(xiàn)錯誤時,教師要給學生足夠的時間和機會去發(fā)現(xiàn)、表達、糾正,從而使學生主動構建知識.

        案例4 ?(失敗乃成功之母)已知兩個等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,若對于任意的正整數(shù)n,都有 Sn Tn = 2n 3n+2 ,則 a6 b6 = ????.這是一次限時訓練中的一道題,有近25%的同學答案是 2 3 ,于是我安排了其中一位張同學來說說她解這道題的心路歷程.

        S4:我當時是這樣解決的:因為{an},{bn}都是等差數(shù)列,它們的前n項和都是關于n的二次函數(shù)且都沒有常數(shù)項,而且題目條件中是一個比值形式,所以我想當然地認為n約掉,于是我便設Sn=2nk,Tn=(3n+2)k,則a6=S6-S5=2k,b6=T6-T5=3k,所以 a6 b6 = 2 3 .老師安排我說題,我去問了答案同樣是 2 3 的幾個同學,她們的解答過程和我類似, a6 b6 = S6-S5 T6-T5 = 2×6-2×5 3×6+2-3×5-2 = 2 3 .

        我調查了一下班里我們這樣做的同學有16人.這樣做錯在哪里呢?我們先來看正確的解法:設Sn=2n2k,Tn=(3n+2)nk,

        a6 b6 = S6-S5 T6-T5 = 2×62k-2×52k (3×6+2)×6k-(3×5+2)×5k = 22k 35k = 22 35 .我們看到了,其實a6=S6-S5,S6中的n為6,S5中的n為5,其實是不能提出公共的n的,也就不能約了,這就是錯因所在.和我一樣的同學要注意了,做題不能太想當然.師:反思這一題目,我有兩點感想:(1)做題不能想當然,要仔細深入地思考;(2)做錯之后的反思很重要.我想同學們做錯題目時要多思考,才不至于在同一個地方摔跤.“失敗是成功之母”,只有反思失敗,失敗才能成為成功“之母”.

        只有讓學生大膽說出自己的想法,教師才能發(fā)現(xiàn)他們錯誤的根源所在,教學才能有的放矢.事實上做錯了不要緊,重要的是讓學生知道自己錯在哪里,并且糾正這種錯誤[4].

        (5)說題目的變式學生說題目變式的過程,既是應用知識的過程,同時也是認識產生飛躍的過程.這一環(huán)節(jié)給了學生自由發(fā)揮的空間,有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力與實踐能力.所以這一環(huán)節(jié)的展示意味著學生的說題已有較高的水平.筆者認為對于一些表達能力好、基本功扎實的學生,老師也可以放手嘗試.雖然不是每一次嘗試都能成功,但經過這樣的嘗試,學生對知識的理解和對知識的遷移能力一定會越來越出色. 案例5 ?已知定點A(1,-3),點P為圓C:(x-3)2+y2=4上的動點.

        (1)求點P與定點A的距離的最大值;

        (2)求點P到直線x-y+5=0的距離的最小值;

        (3)求直線AP的斜率的最小值.

        這是在講直線和圓的位置關系中的一個作業(yè)題,同學們的答題情況整體不錯.筆者認為此題還有點意猶未盡,于是安排了班里思維活躍的陳同學說說對這道題的想法,可不可以有一些變式.下面選取他說題的片段:

        S5:我把題目條件改成已知實數(shù)x,y滿足方程(x-3)2+y2=4.其本質和原題的條件是一樣的.再把(1)求點P與定點A的距離的最大值改成:求(x-1)2+(y+3)2的最大值;把(3)求直線AP的斜率的最小值改成求 y+3 x-1 的最小值.這兩題的改編應該不難,這樣一改以后,就變成了一個純代數(shù)問題.關于第2題的改編我費了一番腦筋.把(2)變成求 x-y+5 的最小值.

        雖然我只是在語言上給予了翻譯,把幾何語言翻譯成了代數(shù)語言,但是正是這種簡單的翻譯使我明白一個道理:數(shù)形其實是不分家的.老師平時經常強調數(shù)形結合,要能夠很好地數(shù)形結合關鍵還是要學會翻譯.就像用形來解決數(shù)的問題,要找到式子的幾何意義一樣.

        如果學生能對題目中的條件分析、變式與引申,由學生說出本質的異同,是提高學生分析問題、解決問題的好途徑.

        2 ??“學生說題”教師要思考的幾個問題

        適合學生的才是最好的,“學生說題”也是如此.為了使說題能順利開展,安排學生說題前教師必須思考的幾個問題:

        (1)選什么題

        說題不能搞題海戰(zhàn)術,見一題說一題,要選擇有代表性、針對性的題目.根據(jù)教學內容選擇不同的題型,但一般要選擇有思維含量的習題.

        (2)怎樣讓學生說

        教師可以在前一天布置一些思維含量較高的題目,然后第二天在上課前讓學生給老師演示說題.如果教師一開始就放手讓學生說題,學生往往會冷場,造成既浪費時間,又嚴重挫傷學生的自信心.所以在說題開始時,應選一些基礎的、簡單的題目,在教師的指導下讓學生說.

        (3)讓怎樣的學生說

        說題前要進行摸底,因為如果一開始就讓一些基礎差、表達能力弱的同學說題往往會事倍功半,所以一開始教師可以讓基本功扎實、語言表達能力強的學生來說題,增強學生的自信心.再慢慢以點帶面,保證人人參與.一旦絕大多數(shù)學生都適應了這樣的學習氛圍,就預示著“學生說題”取得了成功.

        (4)什么時候說

        一開始可以讓學生對著老師進行預演說題,教師進行適時點評并給予一定的建議,然后說得比較好時,可以讓其在課堂的講臺前“當老師”,給同學進行分析講解,讓其體驗成功的喜悅.

        (5)說多長時間以及多少人說

        實施初期,可以在課堂5分鐘左右讓學生說題,2-3人說,如果實施較好可以在習題課或復習課多讓學生說,還可以讓學生即興說題,說錯時教師及時進行點撥.“學生說題”要逐步深入、螺旋上升.切忌急于求成,一蹴而就.要盡量從學生的認知水準出發(fā),選一些思維含量相對較高的題目讓學生進行展示.

        3 ??“學生說題”的瓶頸

        在實施“學生說題”的過程中,特別是即興說題的課堂,那些學習能力相對薄弱的同學表現(xiàn)得雖然和開始相比積極了些,但還是不能成為主角.特別是要求說題目變式時,他們的思維更是像受到了禁錮一般打不開.其次,在“學生說題”實現(xiàn)到一定階段時,筆者想放手大部分錯誤不是特別集中的作業(yè)的講評,把訂正作業(yè)交給每個小組,但是一旦失去了教師的檢查,有些小組的“說題”就不能像在課堂里那樣認真對待,作業(yè)的訂正在個別小組就打了折扣.針對以上兩個方面,筆者想先在小組學習上深入研究,借鑒其他成功的案例,做出有效的小組評價.

        “學生說題”就是在學生經過認真、仔細、嚴謹?shù)貙忣}后,在充分思考的基礎上,讓學生把審題、分析、解答以及對習題的變式、拓展按一定準則說出來,能讓學生主動參與到學習的全過程中去,促使學生暴露整個思維過程,然后通過同學間交流、教師點評,自我反思來提升思維品質,可以改變學生只聽老師講的被動的學習局面,從而提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

        參考文獻

        [1] ?殷偉康.“說題”,數(shù)學課堂因你而精彩[J].中國數(shù)學教 育,2010(11):6-8.

        [2] ?范金泉.例說數(shù)學直覺的養(yǎng)成與運用[J].中學數(shù)學月刊,2013(11):8-10.

        [3] ?李學平.倡導猜想 促進創(chuàng)新[J].數(shù)學學習與研究,2011(07):58-59.

        [4] ?汪志強.如何“說題”,數(shù)學習題課教學才更有效[J].數(shù)學教學通訊,2010(12):31-33.

        作者簡介 ?陳莉莉(1981—),女,吉林白城市人,中學一級教師;研究方向是高中數(shù)學教育教學;發(fā)表論文多篇.李海軍(1978—),男,吉林鎮(zhèn)賚縣人,中學高級教師;研究方向是高中數(shù)學教學.

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