金大帥 （合肥市軌道交通集團(tuán)有限公司，安徽 合肥 230000）

0 引言

結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)可以有效的對(duì)結(jié)構(gòu)的健康狀態(tài)進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，出現(xiàn)損傷時(shí)能及時(shí)預(yù)警，將事故傷害降到最低。模態(tài)參數(shù)是工程結(jié)構(gòu)固有的振動(dòng)特性，每一階模態(tài)都具有特定的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型。模態(tài)參數(shù)識(shí)別是結(jié)構(gòu)動(dòng)力設(shè)計(jì)及狀態(tài)評(píng)估過(guò)程中不可或缺的一環(huán)[1-3]。作為一種環(huán)境激勵(lì)下的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，隨機(jī)子空間法因具有直接作用于時(shí)域數(shù)據(jù)（data driven）而不必將時(shí)域數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為相關(guān)函數(shù)或譜、識(shí)別精度高等特點(diǎn)，因此被廣泛應(yīng)用[4-6]。隨機(jī)子空間法進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別時(shí)直接作用于實(shí)測(cè)響應(yīng)數(shù)據(jù)，而在模態(tài)識(shí)別過(guò)程中，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的時(shí)間不同步可能直接導(dǎo)致識(shí)別結(jié)果出現(xiàn)偏差。時(shí)間不同步直接影響數(shù)據(jù)之間的相位信息，而相位信息是結(jié)構(gòu)性能和損傷評(píng)估的重要指標(biāo)。為了探究結(jié)構(gòu)異步實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)識(shí)別的影響，文章利用ANSYS 有限元仿真軟件建立了四層框架結(jié)構(gòu)模型，提取結(jié)構(gòu)不同位置處的異步響應(yīng)信號(hào)，利用隨機(jī)子空間法識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)。

1 隨機(jī)子空間基本理論

1.1 狀態(tài)空間方程

式中：xk=x(kΔt)為n維離散的狀態(tài)向量，n為自由度；yk為N維輸出向量，N為響應(yīng)點(diǎn)數(shù)；A 為n×n階系統(tǒng)矩陣，表示系統(tǒng)的動(dòng)力特性；B 為離散輸入矩陣；C 為N×n階輸出矩陣，描述結(jié)構(gòu)內(nèi)部狀態(tài)如何轉(zhuǎn)化為外界的測(cè)量值；wk為建模誤差或處理過(guò)程引起的噪聲；vk為傳感器誤差引起的噪聲。

式（1）整理得到隨機(jī)子空間識(shí)別的基本方程：

1.2 模態(tài)參數(shù)分析

矩陣A的特征值分解如下：

式中：Λ = dia g(λi)，λi為離散時(shí)間系統(tǒng)的特征值；?為系統(tǒng)的特征向量矩陣。

由矩陣Λ 得到離散的特征值λi，可用式（4）求得系統(tǒng)特征值ui：

第i階模態(tài)的振型表示為φi= C?i。

1.3 隨機(jī)子空間算法

為計(jì)算系統(tǒng)矩陣A 和輸出矩陣C，筆者將結(jié)構(gòu)所有測(cè)點(diǎn)的響應(yīng)數(shù)據(jù)組成2li×j的Hankel矩陣：

式中：hi為第i時(shí)刻所有測(cè)點(diǎn)的響應(yīng)數(shù)據(jù)；Hpast為li×j階“過(guò)去”輸出矩陣；Hfuture為li×j階“將來(lái)”輸出矩陣。

對(duì)Hankel矩陣QR進(jìn)行分解[9-11]，可將數(shù)據(jù)從2li×j縮減至li×j，極大地減少數(shù)據(jù)量，加快程序的運(yùn)行。QR分解可表示為：

將Hankel 矩陣中的“將來(lái)”輸出矩陣向“過(guò)去”輸出矩陣的行空間進(jìn)行正交投影，得到投影矩陣Oi。投影矩陣可表示為：

對(duì)投影矩陣SVD進(jìn)行分解：

另外，還有個(gè)重要定理：

式中：Γi為可觀測(cè)矩陣；為卡爾曼濾波狀態(tài)向量矩陣。

則由式（7）、式（8）可得：

采用最小二乘法可得：

其中：·?表示矩陣·的廣義逆矩陣。

SVD 分解后，矩陣S1的秩可以確定系統(tǒng)的階次。至此，即可識(shí)別出系統(tǒng)矩陣和輸出矩陣。

2 結(jié)構(gòu)仿真模型與模態(tài)識(shí)別

用ANSYS 軟件進(jìn)行建模，在框架結(jié)構(gòu)右側(cè)設(shè)置4 個(gè)間距相同的信號(hào)采集點(diǎn)，對(duì)框架左側(cè)施加激勵(lì)。框架結(jié)構(gòu)具體參數(shù)為寬度a=6 m、四層框結(jié)構(gòu)每層高h(yuǎn)=2.9 m、柱子采用beam188 單元、橫梁采用shell63 單元。材料屬性參數(shù)為，柱子為矩形截面、彈性模量E=25 GPa、泊松比為0.2。橫梁為矩形截面，彈性模量E=30 GPa。在框架右側(cè)等距離設(shè)置四個(gè)信號(hào)采集點(diǎn)，如圖1所示。

圖1 框架結(jié)構(gòu)測(cè)點(diǎn)布置圖

采用ANSYS 軟件建模完成后，對(duì)框架進(jìn)行模態(tài)分析，計(jì)算得到前三階自振頻率和振型如圖2所示。

圖2 框架前三階模態(tài)振型圖

框架模態(tài)分析結(jié)束后，對(duì)框架結(jié)構(gòu)施加零均值的噪聲作為結(jié)構(gòu)的激勵(lì)。利用ANSYS 有限元分析軟件中的瞬態(tài)分析，提取各測(cè)點(diǎn)加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)，最后設(shè)置相應(yīng)工況對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行異步采樣。對(duì)框架結(jié)構(gòu)指定位置施加噪聲激勵(lì)后，結(jié)構(gòu)不同測(cè)點(diǎn)的響應(yīng)數(shù)據(jù)采集進(jìn)行如下處理。首先1 號(hào)測(cè)點(diǎn)開(kāi)始采樣，同時(shí)其他測(cè)點(diǎn)未開(kāi)始采集數(shù)據(jù)；2 號(hào)測(cè)點(diǎn)在1 號(hào)測(cè)點(diǎn)采樣1 s 后開(kāi)始采樣；3 號(hào)測(cè)點(diǎn)在1 號(hào)測(cè)點(diǎn)采樣2 s 后開(kāi)始采樣；4 號(hào)測(cè)點(diǎn)在1 號(hào)測(cè)點(diǎn)采樣3 s 后開(kāi)始采樣，采樣頻率均為400 Hz，加速度響應(yīng)采集結(jié)束后，利用隨機(jī)子空間方法對(duì)異步采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別。

首先設(shè)置穩(wěn)定圖滿足的計(jì)算參數(shù)，取值分別為自振頻率的穩(wěn)定標(biāo)準(zhǔn)取值0.5%，阻尼比的穩(wěn)定標(biāo)準(zhǔn)取值2%，模態(tài)振型的穩(wěn)定標(biāo)準(zhǔn)取值0.5%。利用穩(wěn)定圖程序?qū)Σ杉漠惒巾憫?yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，得到的穩(wěn)定圖如圖3所示。

圖3 框架結(jié)構(gòu)穩(wěn)定圖

通過(guò)選取圖3 中前三階穩(wěn)定軸的穩(wěn)定點(diǎn)可以確定結(jié)構(gòu)的模型階次，確定模型階次后識(shí)別得到結(jié)構(gòu)頻率和結(jié)構(gòu)振型。簡(jiǎn)支梁的異步響應(yīng)數(shù)據(jù)模態(tài)頻率計(jì)算結(jié)果如表1所示。

為了更好反映計(jì)算振型與識(shí)別振型的相關(guān)性，引入振型相似因子的概念，定義振型相似因子DMAC如下[12]：

DMAC=1-MAC

一般情況下DMAC 值偏向0 時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)振型是同一振型；反之，偏向1 時(shí)認(rèn)為是不同振型。根據(jù)研究所得，當(dāng)DMAC＜0.05 時(shí)，可認(rèn)為兩振型為同一振型[13-14]。

在得到前三階頻率識(shí)別結(jié)果后，將識(shí)別的前三階結(jié)構(gòu)振型和ANSYS有限元計(jì)算振型進(jìn)行歸一化對(duì)比，得到振型圖和相應(yīng)的振型相似因子如圖4所示。

圖4 框架模擬異步振型識(shí)別

通過(guò)識(shí)別結(jié)果可知，一階頻率識(shí)別差值為0.008 Hz、二階頻率識(shí)別差值為0.125 Hz、三階頻率識(shí)別差值為0.706 Hz，前三階自振頻率的振型相似因子均滿足DMAC＞0.05。通過(guò)識(shí)別結(jié)果可知，隨機(jī)子空間法對(duì)異步實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的振型識(shí)別效果較差，前三階振型相似因子DMAC均不滿足同一振型的判定條件。

3 結(jié)論

使用隨機(jī)子空間法識(shí)別橋梁模態(tài)參數(shù)時(shí)，通常直接對(duì)測(cè)點(diǎn)的實(shí)測(cè)響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。理想情況下信號(hào)采樣點(diǎn)之間進(jìn)行同步采樣，利用模態(tài)識(shí)別方法，可以通過(guò)同步采樣信號(hào)，較好的識(shí)別出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。當(dāng)結(jié)構(gòu)測(cè)點(diǎn)的采樣時(shí)間不同步時(shí)，會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)（特別是模態(tài)振型）產(chǎn)生顯著的影響。在異步采樣的影響下，由于模態(tài)振型的識(shí)別結(jié)果不能滿足與理論振型是同一個(gè)振型的定義，因此在實(shí)際工程應(yīng)用中，應(yīng)當(dāng)細(xì)致考慮結(jié)構(gòu)的異步響應(yīng)數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)振型識(shí)別的影響。