江蘇省無錫市新吳區(qū)碩放實(shí)驗(yàn)小學(xué) 曹秋濤 周夢(mèng)瀟

筆者所在的數(shù)學(xué)工作團(tuán)隊(duì)對(duì)蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)“可能性”一課進(jìn)行了集體研究、團(tuán)隊(duì)磨課活動(dòng)。我們用新課標(biāo)的核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，以尋找切合學(xué)生當(dāng)前認(rèn)知水平、喚醒和發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)為目標(biāo)，反復(fù)打磨。在一次又一次的磨課中，我們不僅深化了對(duì)“可能性”教材內(nèi)容的認(rèn)識(shí)，還對(duì)新課標(biāo)的課程理念產(chǎn)生了基于實(shí)踐后的理解和認(rèn)同。我們把核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一的“數(shù)據(jù)意識(shí)”，作為本堂課的核心概念，統(tǒng)攝整堂課的設(shè)計(jì)、推進(jìn)和演化。

課上，學(xué)生通過游戲隨機(jī)生成真實(shí)有效的數(shù)據(jù)，通過觀察分析多組數(shù)據(jù)，對(duì)事件發(fā)生的可能性有了深刻的感悟，并初步養(yǎng)成對(duì)數(shù)據(jù)認(rèn)真觀察和分析、用數(shù)據(jù)來說話、表征的習(xí)慣。本設(shè)計(jì)通過知識(shí)（數(shù)據(jù)組）的結(jié)構(gòu)化呈現(xiàn)，讓學(xué)生對(duì)“可能性”知識(shí)產(chǎn)生較為整體和系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，即先教學(xué)可能性和可能性的大小，通過可能性大小的動(dòng)態(tài)變化，讓學(xué)生深刻理解確定性事件（“一定”和“不可能”）。那么，我們是如何憑借真實(shí)有效的數(shù)據(jù)，層層深入地引導(dǎo)學(xué)生感悟事件發(fā)生的隨機(jī)性，逐步發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)的呢？我們?cè)囍冒咐治龅男问?，進(jìn)行較為具體的剖析和總結(jié)。

一、精心組織數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，催生真實(shí)有效的數(shù)據(jù)

讓學(xué)生通過觀察，分析自己隨機(jī)生成的有效數(shù)據(jù)、真實(shí)數(shù)據(jù)來感悟數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，是本堂課得以展開和推進(jìn)的前提。精心組織學(xué)生參與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅是為了催生真實(shí)游戲的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，還是為了培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)態(tài)度和理性精神。本堂課設(shè)計(jì)了三個(gè)實(shí)驗(yàn)，團(tuán)隊(duì)周老師提出了明確且有層次性的實(shí)驗(yàn)操作要求。

第一次實(shí)驗(yàn)的摸球游戲規(guī)則：

師生合作摸球。黑色袋子中裝有1個(gè)紅球和1個(gè)黃球（它們的大小、材質(zhì)相同），學(xué)生事先不知道球的顏色和個(gè)數(shù)。摸球員每次任意摸出1個(gè)球，摸完后放回；操作員（教師）每次摸完需攪一攪袋中的球；記錄員記錄每次摸球的結(jié)果；其他同學(xué)觀察并思考摸幾次就可以判斷袋中2個(gè)球的顏色。

第二次實(shí)驗(yàn)的摸球游戲規(guī)則：

每個(gè)小組有1個(gè)黑色袋子，袋子中裝有1個(gè)紅球和1個(gè)黃球（它們的大小和材質(zhì)相同），學(xué)生事先知道顏色和個(gè)數(shù)。每個(gè)小組各摸球10次；摸球員每次任意摸出1個(gè)球，摸完后放回；操作員每次摸完需攪一攪袋中的球；記錄員用貼紅色或黃色圓片的方式記錄每一次摸球的結(jié)果，最后把摸到紅球和黃球的次數(shù)分別寫在“摸球記錄表”中。

第三次實(shí)驗(yàn)的摸牌游戲規(guī)則：

每個(gè)小組有4張撲克牌（3張紅桃、1張黑桃），操作員在每次摸牌前，都要重新洗牌，把牌打亂；記錄員記錄每次摸牌結(jié)果；其他組員輪流摸牌，共摸20次；記錄員用寫“正”字的方法將每次摸牌結(jié)果記錄在“摸牌記錄表”中。

通過對(duì)上述三個(gè)實(shí)驗(yàn)規(guī)則的解讀，在磨課的過程中，我們發(fā)現(xiàn)，只要學(xué)生的摸球（摸牌）的操作不規(guī)范，就可能造成極端數(shù)據(jù)。比如，第三個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)——摸3張紅桃和1張黑桃中的任意一張牌，摸到紅桃，教師贏，摸到黑桃，同學(xué)贏。結(jié)果，學(xué)生為了贏教師就盯著操作員重新洗牌的手，導(dǎo)致出現(xiàn)摸到黑桃的次數(shù)反而比紅桃的次數(shù)多的情況。為了使實(shí)驗(yàn)得出的數(shù)據(jù)真實(shí)有效，我們有必要精心設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)的要求，規(guī)范操作的流程和方法。第一個(gè)實(shí)驗(yàn)由教師和學(xué)生合作完成，教師負(fù)責(zé)摸完球后把球放入黑色袋子中攪一攪。這一做法就是給學(xué)生一個(gè)操作的示范——如何把袋子中的球攪亂，這樣就可以保證第二個(gè)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蝽樌行У卣归_。第三個(gè)實(shí)驗(yàn)中，之前學(xué)生洗牌的時(shí)候是放在課桌上洗的，這樣洗牌不容易把牌攪亂。所以，我們最后決定讓學(xué)生把牌放在課桌里來回疊放、穿插。正因?yàn)槲覀儗?duì)這三個(gè)實(shí)驗(yàn)操作要求上的精益求精，才催生了一組又一組真實(shí)有效的數(shù)據(jù)，為學(xué)生下一步的觀察數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)提供可靠的依據(jù)。

二、基于真實(shí)數(shù)據(jù)觀察，培養(yǎng)用數(shù)據(jù)說話的習(xí)慣

新課標(biāo)指出，在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)語言主要表現(xiàn)為數(shù)據(jù)意識(shí)或數(shù)據(jù)觀念、模型意識(shí)或模型觀念、應(yīng)用意識(shí)。通過經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中的簡單數(shù)量關(guān)系與空間形式的過程，學(xué)生能初步感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的交流方式；能夠感悟數(shù)據(jù)的意義與價(jià)值，有意識(shí)地使用真實(shí)數(shù)據(jù)表達(dá)、解釋與分析現(xiàn)實(shí)世界中的不確定現(xiàn)象。“可能性”知識(shí)對(duì)于四年級(jí)學(xué)生而言，是非常抽象且很難真正理解和把握的。如果沒有一種深入體驗(yàn)隨機(jī)事件的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)的理解會(huì)浮于表面，形成一種機(jī)械的認(rèn)識(shí)。培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)據(jù)說話，不僅是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)意識(shí)的有效途徑，還是培養(yǎng)學(xué)生有依據(jù)地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)表達(dá)的思維方式?！翱赡苄浴钡慕虒W(xué)，如果脫離了“用數(shù)據(jù)說話，用數(shù)據(jù)思考”的學(xué)習(xí)方式，就只能產(chǎn)生那種從結(jié)論到結(jié)論的、機(jī)械式的、膚淺的認(rèn)知，也很難使學(xué)生體會(huì)“隨機(jī)性”“等可能性”的本質(zhì)內(nèi)涵。

在第一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“學(xué)生摸球猜顏色”中，師生對(duì)話如下：

生1：我摸了3次，第一次和第二次摸到的球都是紅球，第三次摸到了黃球，我認(rèn)為袋子中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黃球。

生2：我摸了4次，前三次都摸到了黃球，第四次摸到了紅球，我認(rèn)為袋子中1個(gè)是紅球，1個(gè)是黃球。

生3：我摸了2次，第一次摸到了紅球，第二次摸到了黃球，我認(rèn)為袋子中1個(gè)是紅球，1個(gè)是黃球。

師：袋子中確實(shí)裝著1個(gè)紅球和1個(gè)黃球，為什么第三個(gè)同學(xué)摸2次就能判斷出這個(gè)結(jié)果，而第二個(gè)同學(xué)摸了4次才猜出這個(gè)結(jié)果呢？

生4：因?yàn)榈谌齻€(gè)同學(xué)的運(yùn)氣好，恰好第一次摸到紅球，第二次摸到黃球，而第二個(gè)同學(xué)的運(yùn)氣沒有第三個(gè)同學(xué)的運(yùn)氣好，他連摸三次都是黃球。

片段分析：讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，除了需要掌握必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，還需要引導(dǎo)學(xué)生將生活語言的表達(dá)轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言的表達(dá)。作為小學(xué)階段唯一的關(guān)于概率的教學(xué)內(nèi)容——“可能性”，沒有相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念的支撐，學(xué)生可以用自己的語言來表達(dá)。教師的任務(wù)就是幫助學(xué)生順利完成這種過渡和轉(zhuǎn)換。課堂伊始，教師就有意識(shí)地讓學(xué)生用數(shù)據(jù)說話。通過簡單數(shù)據(jù)的比較，學(xué)生自然發(fā)現(xiàn)了摸球游戲中，摸到什么顏色的球，存在著“運(yùn)氣”的成分，而這種“運(yùn)氣”正是數(shù)學(xué)上的可能性事件中的隨機(jī)性。

在第二個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（黑色袋子中裝有1個(gè)紅球和1個(gè)黃球，分小組摸球，一共摸10次）中，教師先讓學(xué)生預(yù)測(cè)可能摸到幾個(gè)紅球和幾個(gè)黃球。下面是摸球結(jié)束后的師生對(duì)話：

生1：我們小組摸到紅球6次，摸到黃球4次。

生2：我們小組摸到紅球5次，摸到黃球5次。

生3：我們小組摸到紅球3次，摸到黃球7次。

……

師：誰來說說，10次摸球的結(jié)果與你預(yù)測(cè)的結(jié)果一樣嗎？為什么？

生1：我預(yù)測(cè)摸到5次紅球和5次黃球，實(shí)際摸到6次紅球和4次黃球，實(shí)際摸球的結(jié)果與預(yù)測(cè)的結(jié)果不一樣，因?yàn)槊恳淮蚊蛑埃紵o法確定到底摸到紅球還是黃球。

生2：我們小組摸球的結(jié)果與預(yù)測(cè)的結(jié)果一樣，都是摸到5次紅球和5次黃球。

生3：我們小組實(shí)際摸到紅球3次，摸到黃球7次，預(yù)測(cè)紅球摸到6次，黃球摸到4次，摸球的結(jié)果與預(yù)測(cè)不一樣，我們認(rèn)為摸到紅球或黃球都要靠運(yùn)氣，摸到黃球的運(yùn)氣好一點(diǎn)。

師：袋子中有1個(gè)紅球和1個(gè)黃球，每一次摸球之前，我們都無法知道下一次摸到什么顏色的球，但我們知道要么摸到1個(gè)紅球，要么摸到1個(gè)黃球，也就是摸到紅球和摸到黃球的機(jī)會(huì)是一樣的。

片段分析：培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)據(jù)說話的習(xí)慣的起點(diǎn)在于進(jìn)行數(shù)據(jù)的使用。本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)的目的在于將實(shí)際摸球的數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，讓學(xué)生初步感知可能性事件發(fā)生的不確定性、隨機(jī)性。由于八組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)了三組都是5個(gè)紅球和5個(gè)黃球的情況，學(xué)生隱隱覺得摸到紅球和摸到黃球的可能性相等。但是，教師并不急于得出“可能性相等”這樣的數(shù)學(xué)規(guī)律，而是代之以“摸到紅球和摸到黃球的機(jī)會(huì)相等”這樣通俗易懂的話語，為學(xué)生下一步探索“等可能性”積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提供思維方向。

三、在大數(shù)據(jù)觀察和分析中感悟，在數(shù)據(jù)比較中推想

本堂課的難點(diǎn)是讓學(xué)生感悟理解隨機(jī)事件中的“等可能性”。為了突破這個(gè)難點(diǎn)，教師設(shè)計(jì)了三個(gè)環(huán)節(jié)，先通過摸球游戲（黑色袋子中裝有1個(gè)紅球和1個(gè)黃球），讓學(xué)生初步感知事件發(fā)生的等可能性。摸球的總次數(shù)只有10次，摸到紅球的次數(shù)和摸到黃球的次數(shù)之間的差距會(huì)比較大，所以，這時(shí)候的等可能性的趨勢(shì)并不明顯，學(xué)生對(duì)等可能性的認(rèn)知屬于猜測(cè)和疑問的階段。

教師再介紹數(shù)學(xué)家蒲豐、費(fèi)勒、皮爾遜三人用大數(shù)據(jù)來研究拋硬幣的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（見表1）。學(xué)生閱讀后發(fā)現(xiàn)，隨著拋硬幣的總次數(shù)越來越大，硬幣正面朝上的次數(shù)與反面朝上的次數(shù)越來越接近。這時(shí)候，學(xué)生慢慢領(lǐng)悟到正面朝上與反面朝上可能性相等。雖然可能性相等，但由于拋硬幣中的隨機(jī)性始終伴隨，正面朝上與反面朝上的次數(shù)很難絕對(duì)相等。第三個(gè)實(shí)驗(yàn)中，教師通過摸牌游戲，問學(xué)生：“摸到紅桃A、紅桃2、紅桃3和紅桃4的可能性是怎樣的？為什么摸到其中任意一張牌的可能性相等？”由于已經(jīng)有了摸球體驗(yàn)可能性相等積累的直接經(jīng)驗(yàn)以及觀看數(shù)學(xué)家拋硬幣得到的間接經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生回答：“摸到其中任意一張牌的可能性相等”。他們不是簡單地理解了因?yàn)槿我饷@4張牌有4種可能，所以摸到每張牌的可能性都相等，而是已經(jīng)理解了在可能性相等的情況下，連續(xù)摸4次，不一定正好每張牌被摸到1次。

表1 數(shù)學(xué)家拋硬幣實(shí)驗(yàn)

只有通過大數(shù)據(jù)支撐的問題情境，才能讓隨機(jī)事件中的“等可能性”這一不容易被發(fā)現(xiàn)的規(guī)律“水落石出”。通過小數(shù)據(jù)和大數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較，學(xué)生才能發(fā)現(xiàn)，等可能性在小數(shù)據(jù)的情境中具有極端性、不穩(wěn)定性，只有在大數(shù)據(jù)的情境中，才能表現(xiàn)出相對(duì)穩(wěn)定性。這樣的比較，既揭示了等可能性的規(guī)律，又為學(xué)生進(jìn)一步感悟事件發(fā)生的隨機(jī)性提供了生動(dòng)翔實(shí)的數(shù)據(jù)參考。

通過反復(fù)的磨課和反思，我們認(rèn)為，本課錨定發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)是成功的關(guān)鍵；精心組織數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生隨機(jī)生成真實(shí)有效的數(shù)據(jù)是成功的前提；挑戰(zhàn)性問題的驅(qū)動(dòng)和教師適當(dāng)、適宜的介入指導(dǎo)、啟發(fā)是本堂課成功的保障。

學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)的形成不是一蹴而就的，而是在一次次的調(diào)查研究、收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)的過程中逐步養(yǎng)成的。本課的教學(xué)設(shè)計(jì)牢牢抓住“數(shù)據(jù)意識(shí)”這個(gè)核心概念，組織引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和數(shù)據(jù)分析的全過程，在難點(diǎn)處設(shè)置多個(gè)認(rèn)知環(huán)節(jié)，讓學(xué)生的認(rèn)知感悟逐步推進(jìn)，逐漸觸摸知識(shí)的本質(zhì)。