屠亞杰，方 遒，2，李艷玲

（1.廈門理工學院 福建省客車先進設計與制造重點實驗室，福建 廈門 361024；2.廈門大學 航空航天學院，福建 廈門 361102）

波達方向（DOA）估計作為陣列信號處理的研究內容之一，在雷達、航空、聲納、日常通信等諸多領域都有著廣泛應用［1-2］。DOA估計的角度分辨率取決于陣列孔徑，陣列孔徑確定后，可以計算得到對應的角度分辨率，稱之為瑞利限［3］。為突破瑞利限提出了一系列方法稱為超分辨率方法，在眾多超分辨率算法中多重信號分類［4］（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法最為經典，它利用噪聲特征向量和信號向量的正交關系得到陣列空間譜函數(shù)，在空域內進行譜峰搜索求出信源方向?；贛USIC算法容易實現(xiàn)、測角精度高等優(yōu)點，學術界基于MUSIC算法展開了一系列研究。同非等［3］提出一種基于空間平滑的改進MUSIC算法，該算法解決MUSIC算法對相干信號DOA估計失效的難題，但會損失陣列孔徑。石要武等［5］提出一種基于特征空間的MUSIC算法，該算法不僅可以對相干信號進行DOA估計，還可以對信號源的功率進行估計，提高對小能量目標信號的估計成功率，但該算法依然存在陣列孔徑損失問題。劉曉志等［6］提出一種基于偽數(shù)據(jù)相關矩陣二次重構的DOA估計算法，該算法可以實現(xiàn)對相干信號的DOA估計且不損失陣列的孔徑，能對強弱鄰近信號作出準確估計，但在低信噪比環(huán)境下對相同信號強度的鄰近相干信號的檢測成功率下降。張賀勇等［7］提出一種基于空間平滑的單次快拍DOA估計算法，該算法應用空間平滑算法可以對相干和非相干信號進行比較準確的DOA估計，可以滿足工程應用中對算法易于實現(xiàn)的需求，有著較高的應用價值，但該算法僅使用單快拍數(shù)據(jù)參與運算，在低信噪比環(huán)境下DOA估計結果與實際結果偏差大。

針對上述方法的限制與不足，本文提出一種基于數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣二次重構并對噪聲子空間進行加權處理的改進型MUSIC算法，通過重構數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，對得到的噪聲特征值進行加權處理，得到新的噪聲子空間和改進后的空間譜函數(shù)，最后通過譜峰搜索可以實現(xiàn)相干信號入射角度鄰近條件下的DOA估計，并對新算法的有效性進行仿真驗證。

1 陣列模型和相干信號

考慮有P個窄帶遠場目標信號從不同入射角θ=[θ1,θ2…,θp]入射到以下由M個接收陣元組成的均勻線陣，相鄰陣元間的間距d=λ∕2，λ為載波波長，信號與均勻線陣法線之間的夾角θ∈[?π∕2,π∕2]。均勻線陣結構如圖1所示。

圖1 均勻線陣模型

均勻線陣在t時刻接收到的數(shù)據(jù)向量為:

式（1）中A=[a(θ1),…,a(θp)]為M×P維方向矩陣為入射角度θi方向的M×1維導向向量，其中包含角度信息。s(t)=[s1(t),…,sP(t)]T為P×1 維的入射目標信號向量，n(t)=[n1(t),n2(t)…,nM(t)]T為M×1 維噪聲向量。噪聲服從零均值、方差為σ2的高斯分布，噪聲向量相互獨立，且與信號向量獨立。[?]T表示轉置運算。

對于陣列接收到的多個入射信號，入射信號之間的關聯(lián)程度可以根據(jù)相關系數(shù)來劃分為不相關、部分相關和相干3種情況。對于兩個平穩(wěn)信號Si(t)和Sj(t)，其相關系數(shù)定義為:

根據(jù)公式（2），相關系數(shù)滿足 |ρij|≤1。當ρij=0 時，Si(t) 和Sj(t) 不相關，相互獨立；當0<|ρij|<1 時，Si(t)和Sj(t)部分相關；當 |ρij|=1 時，Si(t)和Sj(t)相干［4］。

2 經典MUSIC算法

Schmidt博士在1979年提出經典MUSIC算法，經典MUSIC算法利用信號特征向量張成的信號子空間與噪聲特征向量張成的噪聲子空間的正交特性，構造空間譜函數(shù)，再經過譜峰搜索得到入射信號的DOA方向。均勻線陣接收到信號的協(xié)方差矩陣R為:

式中:Rs=E[s(t)sH(t)]為P×P維的信號協(xié)方差矩陣，diag(?)表示構造對角矩陣，對角線上包含各個入射信號的功率；I為M×M維的單位矩陣；δ2為噪聲的功率；E[]?表示求期望計算；[]?H表示求共軛轉置計算。

獲得協(xié)方差矩陣R后，對其進行特征值分解R=UΣUH，得到M 個特征值，將M 個特征值從大到小排序為:

根據(jù)公式（5）得到的空間譜函數(shù)，通過譜峰搜索可以估計出入射信號的DOA。但在實際應用中協(xié)方差矩陣R無法直接獲得，一般情況下采用樣本協(xié)方差矩陣來代替R進行特征值分解［8］。

在實際情況下，由于存在噪聲的干擾導致導向向量a()θi與噪聲子空間UN不完全正交，aH(θi)UNUHNa(θi)結果不嚴格為0，是一個趨近于0的極小值，此時MUSIC 算法的空間譜函數(shù)可以表示為:

對以上過程進行總結，得到經典MUSIC 算法的主要步驟為:

步驟1:由公式（3）得到均勻線陣接收到的信號協(xié)方差矩陣R；

步驟2:對信號協(xié)方差矩陣R進行特征值分解，將得到的特征值按從大到小排序；

步驟3:提取與入射信號個數(shù)相等的P個較大特征值對應特征向量張成的信號子空間US，提取剩下的M?P個較小特征值對應特征向量張成的噪聲子空間UN；

步驟4:使θ變化，根據(jù)公式（5）計算空間譜函數(shù)并進行譜峰搜索，得到入射信號的DOA估計值。

3 改進型MUSIC算法

根據(jù)理論分析，經典MUSIC在大快拍數(shù)、高信噪比、陣列陣元個數(shù)足夠的條件下，MUSIC算法能充分發(fā)揮作用，可以達到任意高的分辨率。在信號弱相干或不相干條件下，接收到信號的協(xié)方差矩陣R滿秩，經過特征值分解得到的信號子空間US和噪聲子空間UN正交，根據(jù)公式（5）的空間譜函數(shù)進行譜峰搜索可以達到較高的分辨率。但是實際應用中MUSIC算法的估計性能在某些情況下會失效，一方面可能因為入射信號存在多徑傳播和同頻干擾導致信號相干情況發(fā)生，部分入射信號的能量會散發(fā)到噪聲子空間，造成協(xié)方差矩陣R不滿秩［9］；另一方面可能在目標附近存在強反射點時，協(xié)方差矩陣R經特征分解后得到的信號子空間中目標信號的信息被強反射點遮蓋，導致弱信號強度的目標難以估計［10］。

針對以上問題，在經典MUSIC 算法基礎上提出一種基于協(xié)方差矩陣重構的改進型MUSIC 算法。首先為解決信號相干問題，參考空間平滑算法的原理，重構處理接收到信號協(xié)方差矩陣，使信號協(xié)方差矩陣的秩達到滿秩狀態(tài)，即rank(R)=M；接著為加強對弱信號強度目標的識別，對噪聲子空間根據(jù)實際的DOA 估計場景進行加權修正，得出新的噪聲子空間和改進后的空間譜函數(shù)；最后進行譜峰搜索得到入射目標信號的DOA估計。

假設入射信號目標的個數(shù)已知，本文基于經典MUSIC 算法提出的改進型MUSIC 算法的具體步驟為:

步驟1:重構入射信號協(xié)方差矩陣:

將陣列接收到的數(shù)據(jù)向量y(t)變換為Y(t):

在式（8）中，Y(t)為y(t)的復共軛矩陣；J為M×M維反單位矩陣，即

步驟2:求Y(t)的協(xié)方差矩陣:

公式（10）中，R?為R的復共軛矩陣。

步驟3:根據(jù)R1和R的算數(shù)平均值重構協(xié)方差矩陣RY:

步驟4:根據(jù)矩陣運算原理，矩陣R，R1和RY具有相同的信號子空間和噪聲子空間。對重構后的協(xié)方差矩陣RY進行特征值分解:

式（12）中，Σ 是由全部特征值組成的對角矩陣。

[5]Aaron Smith, Monica Anderson, Automation in Everyday Life, Oct. 4, 2017, http://www.pewinternet.org/2017/10/04/automation-in-everyday-life/.

步驟5:對噪聲子空間進行加權修正，改進后的噪聲特征值定義為:

式（13）中，λi為初始噪聲的特征值為改進后的噪聲特征值，0.1α為校正值。校正值0.1α=0 時，校正值不對特征值起到校正作用，改進后的特征值等于經典MUSIC 算法的特征值；校正值0.1α過大時，會導致噪聲子空間的特征值接近信號子空間的特征值，會引起欠估計問題，算法分辨率下降；校正值0.1α過小時，無法起到特征值校正作用，噪聲子空間的特征值與信號子空間的特征值之間的差值會更大，導致弱信號強度的目標難以估計。因此，需要找到合適的校正值。根據(jù)信息論準則并參考束強［11］的研究得到:噪聲特征值的最大值與最小值之比應小于2，此時經典MU?SIC算法的性能達到最佳，即:

根據(jù)式（15）計算出符合要求的α，并取符合條件的最小整數(shù)α計算得到最終校正值0.1α。

步驟6:根據(jù)最終校正值得到改進后的噪聲子空間為:

步驟7:改進后的空間譜函數(shù)為:

步驟8:根據(jù)改進后的空間譜函數(shù)進行譜峰搜索，得到入射信號的DOA估計。

4 仿真實驗與分析

為對比經典MUSIC算法、FSS算法、FBSS算法和本文提出的改進型MUSIC 算法的性能，在陣元個數(shù)M=10、相鄰陣元間距d=λ∕2 的均勻線陣，噪聲為理想高斯白噪聲條件下進行仿真實驗。對于需要進行空間平滑處理過程的仿真實驗，將整個均勻線陣劃分為4 個子陣，每個子陣包含6 個陣元。FSS算法和FBSS算法的具體實現(xiàn)步驟參考張權等［12］、姚昕彤等［13］的方法。

4.1 算法對相距很近相干信源的估計性能

有兩個相同功率的相干信源分別從0°和6°方向入射到M=10 均勻線陣上，信噪比為5 dB，快拍數(shù)為200，仿真結果如圖2所示。

圖2 近距離相干信源的DOA估計

由圖2可知，當兩個相干目標以6°間隔入射到均勻線陣時，經典MUSIC算法已經失效，無法對相干目標進行識別；FSS 算法和FBSS 算法雖然有兩個峰值點，且FBSS 算法得到的尖峰比FSS 算法得到的尖峰更尖銳，但這兩種算法得到的DOA 估計值明顯與真實入射角度值之間存在偏差；本文提出的算法形成的尖峰更加尖銳，DOA 估計值與真實入射角度值之間的差值更小，說明本文算法對入射目標的角度分辨能力更強，有著更好的DOA估計性能。

4.2 算法對多個相干信源的估計性能

由于經典MUSIC算法無法對相干信號進行識別，因此僅對比FSS算法、FBSS算法和本文提出的改進型MUSIC算法在多個相干信源條件下的DOA估計性能。有6 個相同功率的相干信號分別從-6°，0°，6°，18°，30°，40°方向入射到M=10 的均勻線陣，信噪比均為10 dB，快拍數(shù)為200，仿真結果如圖3所示。

圖3 多相干信源條件下的DOA估計

唐曉杰等［14］研究表明，在陣元個數(shù)為M 的均勻線陣條件下，F(xiàn)SS算法最多只可以對M∕2 個相干信源進行DOA估計；FBSS算法因為額外利用了后向子陣列，增加了平滑次數(shù)，最多可以對2M∕3 個相干信源目標進行DOA 估計。因此，在本研究設置的仿真條件下，F(xiàn)SS算法最多可以對5個相干信源進行DOA 估計；FBSS 算法最多可以對6 個相干信源進行DOA估計。從圖3仿真結果可以看到，6個相干信號入射時，F(xiàn)SS 算法只產生5 個峰值點，無法完成對全部6個入射角度的DOA估計，F(xiàn)SS算法失效；FBSS算法雖然產生6個尖銳的峰值點，但生成的6 個峰值點中只有4 個峰值點在真實峰值點附近，分別位于-6°、18°、30°、40°這4個真實峰值點附近，其它兩個峰值點為產生的虛假峰值點，F(xiàn)BSS 算法也失效。本文提出的改進型MUSIC 算法在陣元個數(shù)為10 時，最多可以對9 個相干信源目標進行DOA 估計，所以該算法可以對這6 個相干信號進行DOA 估計。仿真結果也表明，本文算法可以完成對這6 個入射目標的DOA 估計，且峰值點都在真實角度附近，產生的峰值點與真實峰值點之間的誤差不超過0.5°。驗證了本文提出的改進型MUSIC 算法相較FSS 算法和FBSS 算法在相同快照數(shù)、信噪比條件下，在保證DOA估計精度的同時能利用更少的陣元個數(shù)完成更多的入射信號的DOA估計。

4.3 不同信噪比條件下的算法性能比較

已知均方根誤差（RMSE）公式為:

式（18）中，W表示蒙特卡洛實驗重復的次數(shù)，P 是信號源的個數(shù)，是在第w 次蒙特卡洛實驗中對第i個信號源θi的DOA估計值。

有兩個相干信號分別從0°、10°方向入射到M=10 的均勻線陣上，快拍數(shù)為200。信噪比在?10～10 dB 范圍內變化，步長為2 dB，根據(jù)式（18）在不同的信噪比條件下進行100 次蒙特卡洛實驗，得出FSS算法、FBSS算法和本文提出算法的DOA 估計均方根誤差隨著信噪比的變化曲線，如圖4所示。

圖4 算法RMSE隨信噪比變化曲線

根據(jù)圖4可知，在信噪比大于0 dB時，三種算法的DOA 估計均方根誤差十分接近于0，說明此時這3種算法的DOA估計性能都很好，3種算法都可以用于相干信源目標的DOA 估計；當信噪比小于0 dB 時，特別是SNR=?10 dB 時可以明顯發(fā)現(xiàn)本文提出算法的均方根誤差要遠小于FSS算法和FBSS 算法的均方根誤差。說明在低信噪比條件下，本文提出算法的均方根誤差更小，本文提出的算法有著更好的DOA估計性能。

4.4 不同快拍數(shù)條件下的算法性能比較

有兩個相干信號分別從0°、10°方向入射到M=10 的均勻線陣上，信噪比設置為8 dB?？炫臄?shù)在20～200范圍內變化，步長為20，根據(jù)式（18）在不同的快拍數(shù)條件下進行100次蒙特卡洛實驗，得出FSS 算法、FBSS 算法和本文提出算法的DOA估計均方根誤差隨著快拍數(shù)的變化曲線，如圖5所示。

圖5 算法RMSE隨快拍數(shù)變化曲線

由圖5 可知，F(xiàn)SS 算法、FBSS 算法和本文提出算法的DOA估計均方根誤差均隨著快拍數(shù)的增加而逐漸降低，即這3種算法的估計精度會隨著快拍數(shù)的增加而提高，并且隨著快拍數(shù)增加到足夠大時，這3種算法的估計精度將會保持同一水平，即在大快拍數(shù)條件下這3 種算法都能對入射信號進行準確的DOA估計。在快拍數(shù)小于140的小快拍條件下，本文提出算法的估計精度優(yōu)于FSS 算法和FBSS算法。當快拍數(shù)為60時，F(xiàn)SS算法和FBSS算法的均方根誤差均大于1°，分別為1.10°和1.18°；此時本文提出算法的均方根誤差僅為0.93°?？梢哉f明在小快拍數(shù)條件下，本文提出的算法相比FSS算法和FBSS算法有著更高的角度估計精度；并且在實驗過程中還發(fā)現(xiàn)，本文提出的算法在小快拍條件下對相干信號DOA估計的成功率高于FSS算法和FBSS算法，具備更好的DOA估計性能。

5 結論

針對經典MUSIC 算法無法對相干信源進行DOA 估計的問題，提出了一種基于協(xié)方差矩陣重構的改進型MUSIC算法。該算法在對信號協(xié)方差矩陣進行重構處理的基礎上，對其噪聲特征值進行加權處理，得到新的噪聲子空間和改進后的空間譜函數(shù)，結合譜峰搜索實現(xiàn)同等信號強度信源鄰近情況下相干信源的DOA 估計。經過仿真驗證，本文提出算法可以在不犧牲陣列有效孔徑的基礎上完成對相干信號的DOA 估計，并且在低信噪比、小快拍數(shù)條件下，相比FSS算法和FBSS算法有著更低的均方根誤差，有著更好的DOA 估計性能和最少的計算量，更能滿足實際工程應用中對算法高準確性、易于實現(xiàn)的要求。