王鋒葉，黃元元，李靈曉

（河南科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 河南 洛陽 471000）

高等數(shù)學是非數(shù)學專業(yè)理工科學生的一門必修基礎(chǔ)課，它是學生后繼專業(yè)課的基礎(chǔ)，對學生的邏輯思維、演繹思維、歸納思維等數(shù)學思維方法的培養(yǎng)以及研究問題能力的提高非常重要?；旌鲜浇虒W是一種將傳統(tǒng)教學與網(wǎng)絡(luò)化教學結(jié)合的教學模式，在學習過程中凸顯學生的主體性與教師的引導(dǎo)性。第二個重要極限是高等數(shù)學中函數(shù)、極限和連續(xù)這一章非常有用的極限之一[1]，利用它可計算一些特殊未定式的極限，它在實際生活中也有相應(yīng)的應(yīng)用，比如銀行復(fù)利模型、設(shè)備折舊問題、元素衰變模型等等。文章以離散型第二個重要極限的講授為例，結(jié)合銀行復(fù)利模型，給出在高等數(shù)學中實施混合式教學的課程設(shè)計思路。

1 教學目標和設(shè)計思路

教育部印發(fā)了《高等學校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》，要求通過立德樹人的根本任務(wù)，實現(xiàn)知識傳授、能力培養(yǎng)、價值塑造三位一體的教學目標[2]。我們針對第二個重要極限的主要內(nèi)容制訂了如下教學目標：在知識目標上，讓學生掌握第二個重要極限的理論推導(dǎo)，知道第二個重要極限的極限結(jié)構(gòu)，會利用第二個重要極限求解一些具有相同結(jié)構(gòu)的數(shù)列極限；在能力目標上，通過案例式教學，培養(yǎng)學生應(yīng)用數(shù)學的意識，提高學生分析和解決實際問題的知識遷移能力；在思政目標上，結(jié)合數(shù)學文化中數(shù)學家的事例和教學中的案例，引導(dǎo)學生樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀。

根據(jù)《教育部關(guān)于一流本科課程建設(shè)的實施意見》，課程設(shè)計要求具有高階性、創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)度[3]。針對具體教學內(nèi)容，教學設(shè)計思路為：采用混合式教學方式，通過課前、課中和課后的多元教學活動，調(diào)動師生、生生互動，實現(xiàn)學生為學習的主體；在教學方法上，采用案例式和啟發(fā)式教學，融合信息化技術(shù)，從易到難，從直觀到理論，啟發(fā)學生進行探究式學習；在案例選擇上，采用與學生生活息息相關(guān)的實際問題，激發(fā)學生學習的欲望，通過解決問題增強學生的成就感；在內(nèi)容設(shè)計上，從簡單到復(fù)雜，實現(xiàn)教學的高階性和挑戰(zhàn)度，通過課后環(huán)節(jié)實現(xiàn)課堂內(nèi)容的創(chuàng)新性遷移。教學設(shè)計思路大致概況見圖1。

圖1 教學設(shè)計思路圖

2 教學過程

2.1 課前

根據(jù)教學目標和教學內(nèi)容設(shè)計課前任務(wù)單，目標是讓學生具備學習新知識的理論基礎(chǔ)，對新知識有大致了解，明確重難點，讓學生做到有的放矢。課前任務(wù)單為：復(fù)習單調(diào)有界準則，預(yù)習第二個重要極限，觀看證明其極限存在的視頻；查找資料，了解何為銀行單利和復(fù)利；結(jié)合數(shù)學史，談?wù)剬?shù)學家歐拉的認識。為了讓學生對新知識有初步的了解，課前指出課程的重難點：重點是第二個重要極限及其應(yīng)用，難點是第二個重要極限的應(yīng)用。

教師通過主題討論的教學活動檢查學生的預(yù)習情況。利用學習通后臺的學情統(tǒng)計，實時有效地掌握學生課前任務(wù)單的完成情況，并通過平臺督促提醒學生按時完成課前任務(wù)。

2.2 課中

2.2.1 問題引入

首先，教師結(jié)合課前關(guān)于銀行復(fù)利的主題討論，讓學生展示個性化學習結(jié)果，調(diào)動其學習的自信心。提出問題：何為銀行復(fù)利？銀行復(fù)利如何計算？教師通過隨機選人，讓學生總結(jié)出復(fù)利是一種計息方式，就是把利息計入本金中重復(fù)計息，即“錢生錢”“利滾利”。學生具備了理論基礎(chǔ)，給出生活實例中的一個簡單貸款問題，具體問題為：向借貸公司借了1 萬元，年利率是100%，1 年后要還的本息和是多少？拋出問題，讓學生覺得所學知識是有用且是有趣，激發(fā)其學習欲望。

2.2.2 分析問題，建立模型

利用復(fù)利分析以下問題，如借貸公司1 年后結(jié)息，1 年后要還的本息和是多少？如借貸公司一年結(jié)2 次息，1 年后要還的本息和是多少？如果借貸公司1 年結(jié)3 次息，1年后要還的本息和又是多少？如果1 年結(jié)4 次、5 次，甚至n 次息，要還的本息和是多少？

教師通過隨機選人、學生搶答等方式，讓學生從簡單到一般、循序漸進地接受以下兩點：實例中本息和的表示形式，復(fù)利產(chǎn)生的真實效應(yīng)。比如，如果借貸公司1 年結(jié)兩次息，1 年后的本息和公式是什么？其中前半年的利息是多少？后半年的利息是多少？讓學生能總結(jié)出，隨著結(jié)息次數(shù)增多，要還的本息和增多。讓學生發(fā)問，如果結(jié)息次數(shù)無限增多，本息和是否也無限增多？

最后，教師引導(dǎo)學生將問題轉(zhuǎn)化，討論n 趨于無窮大時，數(shù)列{xn}的極限是否存在，其中xn=(1+1/n)n，引出第二個重要極限。

2.2.3 解決問題

首先，借助可視化軟件呈現(xiàn)隨著n 的增大，本息和的數(shù)值變化情況。讓學生從直觀觀察到理論推導(dǎo)的過程，引導(dǎo)學生開展探究式學習。通過學生搶答或隨機選人等教學活動讓學生總結(jié)出，數(shù)列{xn}是單調(diào)遞增的，且增長速度前快后慢。分析出實例中要還的錢不會無限增大。

然后，利用可視化軟件呈現(xiàn)動點的變化趨勢，通過搶答或隨機選人的教學方式，引導(dǎo)學生總結(jié)出，動點在向一個常數(shù)無限逼近，且動點都在直線y=3 的下方，說明數(shù)列{xn}有上界，從而分析出實例中要還的錢永遠不會超過3萬元。引導(dǎo)學生利用復(fù)習的單調(diào)有界準則，分析并得出數(shù)列{xn}的極限存在，從而提高學生的邏輯推理能力。

當學生以為問題已經(jīng)解決時，教師及時提出，觀察不能代替證明，要具有說服力，必須證明。讓學生在解決問題的過程中感受數(shù)學的抽象性、嚴謹性和應(yīng)用的廣泛性。

2.2.4 核心知識講解

首先，結(jié)合預(yù)習單中視頻的觀看，通過分組討論的教學活動完成數(shù)列{xn}極限存在的證明。具體討論的主題是，總結(jié)預(yù)習單視頻中數(shù)列{xn}極限存在的證明過程，其中單調(diào)性的證明你還有其他方法嗎？目的是讓學生能理解極限存在性的證明思路。

由于學生的基礎(chǔ)知識在目前只能解決第二個重要極限是存在的，還解決不了其極限值就是無理數(shù)e，所以，教師結(jié)合數(shù)學家歐拉的研究介紹該極限值，并將歐拉孜孜不倦、勤奮探索的科學精神融入課程教學，激發(fā)學生的學習動力，幫助學生樹立正確的人生觀和價值觀。

然后，分析第二重要極限的極限結(jié)構(gòu)。教師通過課堂搶答或隨機選人的教學活動，引導(dǎo)學生分析出第二個重要極限是一個什么形式的未定式？在底上出現(xiàn)的無窮小1/n與指數(shù)的無窮大n 形式上有什么聯(lián)系？通過觀察，讓學生總結(jié)出第二個重要極限是1∞型的未定式，無窮小1/n 與無窮大n 互為倒數(shù)。

進一步，教師引導(dǎo)學生思考，當n趨于無窮大時，如果a也是無窮大，那么，數(shù)列(1+1/a)a的極限是多少？教師通過變量代換推導(dǎo)出與數(shù)列{xn}的極限相等，也等于無理數(shù)e。

最后，教師詳細解釋應(yīng)用第二個重要極限如何求1∞型的數(shù)列極限，并通過隨堂練習提高學生對第二個重要極限的應(yīng)用能力。

2.2.5 學以致用

應(yīng)用第二個重要極限解決一般貸款問題。教師將引例由易到難，啟發(fā)學生分析復(fù)雜問題。

基于引例中1 年后要還的本息和不會無限增多，教師讓學生結(jié)合實際思考，是否可以任意貸款，不管貸多少錢，多少年。通過以下問題引導(dǎo)學生進行啟發(fā)式探討，如果貸款額為A0元，年利率為r，1 年結(jié)n 次息，1 年后要還的本息和是多少？如果其他條件不變，問k年后要還的本息和是多少？如果每時每刻都結(jié)息，問k年后要還的本息和是多少？最終問題轉(zhuǎn)化為求趨于無窮大時，數(shù)列A0(1+r/n)nk的極限，通過變量代換a=n/r，利用第二個重要極限可知結(jié)果為A0erk。

教師總結(jié)分析：①k年后連續(xù)復(fù)利的本息和與n無關(guān)，這就說明本息和不會隨著計息次數(shù)的增多而無限增大，但是它和貸款額、利率和時間都是有關(guān)系的。

②當貸款額和利率不變時，利用可視化軟件呈現(xiàn)本息和隨著時間k 的變化趨勢。引導(dǎo)學生觀察發(fā)現(xiàn)，本息和剛開始增長緩慢，但后面本息和呈爆炸式指數(shù)級增長。這就是“利滾利”生成的復(fù)利效應(yīng)，這個模型就是指數(shù)增長模型。該模型還可用于細菌繁殖、人口增長等實際問題。

③通過模型分析可知，切勿隨意貸款。切入課程思政，提醒學生遠離網(wǎng)絡(luò)貸和校園貸。短期貸款好像還的錢不多，但長期積累特別是還不了利息后，要還的錢是指數(shù)級增長，教育學生警惕貸款背后的可怕陷阱，引導(dǎo)學生樹立正確的消費觀。

2.2.6 小結(jié)和討論

教師總結(jié)課堂教學思路，讓學生從宏觀上掌握課程脈絡(luò)，并提示學生短期貸款和長期貸款問題都是銀行復(fù)利問題，再次強調(diào)課程的重、難點。

為培養(yǎng)學生在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學、應(yīng)用數(shù)學并感悟數(shù)學的能力，教師課下通過主題討論的教學形式引導(dǎo)學生結(jié)合生活實際繼續(xù)探討連續(xù)復(fù)利問題。具體討論主題為：觀察復(fù)利公式（1+0.01）365≈37.78，1365=1，（1-0.01）365≈0.00255，從每天進步或退步一點的角度，結(jié)合生活與學習，談?wù)勔陨鲜阶訉δ愕膯l(fā)。

2.3 課后

課堂教學結(jié)束后，教師利用學習通平臺發(fā)布教學活動幫助學生總結(jié)與提高。通過主題討論幫助學生自我總結(jié)課堂內(nèi)容，具體內(nèi)容為，這節(jié)課學到了什么？關(guān)于這節(jié)課學到的極限都知道些什么？怎么應(yīng)用這節(jié)課學到的極限？

為了鞏固課堂效果，教師通過題庫進行在線測試，提高學生利用第二個重要極限的解題能力，強化學生的解題技巧。

課后拓展指數(shù)增長模型，如果r<0，稱之為指數(shù)衰減模型，該模型可用于元素衰變、設(shè)備折舊等問題。討論區(qū)教師引導(dǎo)學生思考問題：已知一種放射性物質(zhì)，其每年的連續(xù)復(fù)合衰變率是100%，求10kg 的該物質(zhì)經(jīng)過一年衰變后還剩多少？[4]

3 教學總結(jié)

本課程采用混合式的教學模式，通過學習通平臺的多元化教學活動，師生充分互動，教師時時有效地掌握學生的學習狀態(tài)，讓學生真正成為學習的主體，從而發(fā)揮混合式教學模式在高等數(shù)學課程中的優(yōu)勢。教師通過有趣、有用的數(shù)學應(yīng)用案例吸引學生的注意力，引導(dǎo)學生分析問題并解決問題，將數(shù)學理論與實際應(yīng)用相結(jié)合，培養(yǎng)了學生知識遷移的建模能力，從而讓學生通過課程學習感受到能力與素質(zhì)提高的成就感。在分析問題中，教師借助可視化軟件輔助教學，通過直觀圖形幫助學生分析問題，將現(xiàn)代信息技術(shù)與數(shù)學教學深度融合。另外，在教學中，教師引入數(shù)學文化，鹽融于水式地開展課程思政，激發(fā)學生的學習動力，并結(jié)合案例提醒學生遠離網(wǎng)絡(luò)貸款，幫助學生樹立正確的價值觀和消費觀，將知識傳授與價值引領(lǐng)相統(tǒng)一。