黃琴 史貝貝

【摘? ?要】數(shù)與運算是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容之一。數(shù)概念與數(shù)運算的核心是計數(shù)單位和十進(jìn)制計數(shù)法。其中，計數(shù)單位是數(shù)建構(gòu)的基礎(chǔ)，十進(jìn)制計數(shù)法是計數(shù)的規(guī)則。教學(xué)“小數(shù)意義”時，用計數(shù)單位和十進(jìn)制計數(shù)法統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)，不僅能解釋數(shù)的意義，打通整數(shù)與小數(shù)、分?jǐn)?shù)之間的“隔斷墻”，還能打通數(shù)概念與數(shù)運算的藩籬，讓碎片化的知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，助力學(xué)生類比遷移、互融共通等能力的提升。

【關(guān)鍵詞】核心概念；計數(shù)單位；類比；遷移；一致性

數(shù)與運算是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容之一。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對“數(shù)與運算”的學(xué)習(xí)提出要求：“初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號意識；感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力和推理意識?！睌?shù)概念與數(shù)運算的核心是計數(shù)單位和十進(jìn)制計數(shù)法。其中，計數(shù)單位是數(shù)建構(gòu)的基礎(chǔ)，十進(jìn)制計數(shù)法是計數(shù)的規(guī)則。在“小數(shù)意義”的教學(xué)中，用計數(shù)單位和十進(jìn)制計數(shù)法統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)，可幫助學(xué)生實現(xiàn)數(shù)的認(rèn)識與數(shù)的運算的互融互通、共生共長。

一、探尋認(rèn)知基礎(chǔ)，確定教學(xué)目標(biāo)

學(xué)生對小數(shù)的意義有怎樣的認(rèn)知基礎(chǔ)呢？筆者對某校四年級200名學(xué)生進(jìn)行了前測，請他們畫圖表示1.3、0.23、0.354。前測發(fā)現(xiàn)，能用圖將三個小數(shù)意義表示得清晰準(zhǔn)確的學(xué)生分別占被測學(xué)生總數(shù)的64%、40%和7.5%?？梢?，有了三年級一位小數(shù)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，多數(shù)學(xué)生能夠畫圖表征一位小數(shù)，但表征三位小數(shù)仍存在困難。因此，把學(xué)生原有的對一位小數(shù)的認(rèn)知經(jīng)驗進(jìn)行遷移和擴展，得到更多、更小的計數(shù)單位，并在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)他們理解計數(shù)單位之間的關(guān)系，是教學(xué)的重點所在。

基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，結(jié)合用計數(shù)單位與十進(jìn)制計數(shù)法統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)的教學(xué)思路，確定本課的教學(xué)目標(biāo)有以下三點。

1.從整數(shù)的表征切入，關(guān)聯(lián)小數(shù)的意義，學(xué)習(xí)小數(shù)的表征方式。

2.結(jié)合畫圖，體驗小數(shù)計數(shù)單位的產(chǎn)生過程，在數(shù)位討論中，體驗“十進(jìn)制”擴展的必然性。

3.結(jié)合在數(shù)位順序表上擺方塊圖的活動，溝通整數(shù)與小數(shù)，理解計數(shù)規(guī)則。

二、聚焦意義理解，展開教學(xué)實踐

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體。教師要結(jié)合學(xué)生的原有認(rèn)知展開教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行意義上的自主遷移。本節(jié)課中，學(xué)生要經(jīng)歷畫圖表征的過程，在對比中發(fā)現(xiàn)整數(shù)、小數(shù)的聯(lián)系，厘清十進(jìn)制計數(shù)法中計數(shù)單位產(chǎn)生的原理，體會數(shù)意義上的一致性。教學(xué)時還可以通過鏈接運算，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合計數(shù)單位與十進(jìn)制計數(shù)法，感受數(shù)意義的一致性在計算過程中的體現(xiàn)。

（一）自主遷移，初步理解小數(shù)的意義

1.經(jīng)驗喚醒，說整數(shù)的意義。

師：122這個數(shù)表示什么意義？

生：1個百、2個十、2個一。

生：122個一。

生：12個十、2個一。

師：他們在說意義的時候，有什么相同點？

教師根據(jù)學(xué)生的說法小結(jié)：描述整數(shù)的意義時，要說清楚計數(shù)單位和單位的個數(shù)。

2.自主遷移，說小數(shù)的意義。

師：1.22又表示什么意義呢？你能像說整數(shù)意義一樣說說它的意義嗎？

生：122個0.01。

生：1個1、2個0.1、2個0.01。

教師根據(jù)學(xué)生表述把1、0.1和0.01圈出并板書“計數(shù)單位”和“個數(shù)”。

（二）畫圖表征，體驗小數(shù)計數(shù)單位的產(chǎn)生

1.教師出示學(xué)習(xí)任務(wù)，請學(xué)生畫圖表示1.22的意義。

學(xué)生獨立完成后，教師呈現(xiàn)部分學(xué)生的作品。（如圖1）

2.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流反饋，理解兩位小數(shù)的意義。

（1）明確計數(shù)單位的作用。

師：幾號作品讓人一眼就能看出1.22的意義？

生：①號和③號都能看出1.22表示1個1、2個0.1、2個0.01。

生：②號沒有標(biāo)計數(shù)單位，這幅圖也可以看成122。

師：要表示清楚數(shù)的意義，一定要先確定計數(shù)單位。

（2）借助“方格圖”體會計數(shù)單位0.01是怎么來的。

師：0.01這個計數(shù)單位是怎么來的呢？

生：把1平均分成10份，1份是0.1；把0.1再平均分成10份，1份就是0.01。

生：比如表示1.22，如果用1個正方形表示1，那么把1平均分成十份，每份是1個小長方形，其中2個小長方形就是0.2。把每個小長方形再平均分成10份，每份是1個小正方形，那么2個小正方形就是0.02。1、0.2和0.02合起來就是1.22。

學(xué)生一邊說，教師一邊結(jié)合作品③，用課件展示計數(shù)單位細(xì)分的過程。（如圖2）

3.結(jié)合對比、交流，引導(dǎo)學(xué)生感悟整數(shù)與小數(shù)意義表征的一致性。

教師先引導(dǎo)學(xué)生討論：整數(shù)與小數(shù)在表示數(shù)意義的時候有什么相同點？然后歸納小結(jié)：1.22還可以表示122個0.01或者12個0.1和2個0.01，同樣一個小數(shù)，用不同的計數(shù)單位表示，計數(shù)單位的個數(shù)也會不同。同整數(shù)一樣，小數(shù)也可以用“個數(shù)+計數(shù)單位”來表示。

（三）關(guān)聯(lián)求同，厘清計數(shù)單位產(chǎn)生的原理

1.借助計數(shù)器，推算更小的計數(shù)單位。

教師呈現(xiàn)計數(shù)器，請學(xué)生借助計數(shù)器，說一說0.1、0.01在計數(shù)器上分別在哪里，是怎么來的，并思考，還有更小的計數(shù)單位嗎？

生：十分位上的一顆珠子表示0.1，它可以看作是將個位上的1平均分成10份得來的。

教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)結(jié)合計數(shù)器說0.01（百分位）、0.001（千分位）……的意義。

2.厘清、感知計數(shù)單位產(chǎn)生原理的一致性。

師：小數(shù)的計數(shù)單位也是按照“十進(jìn)制”的規(guī)則產(chǎn)生的嗎？

生：整數(shù)里相鄰兩個計數(shù)單位之間有滿十進(jìn)一、退一作十的關(guān)系，小數(shù)里面也有這樣的關(guān)系。

生：一個計數(shù)器不能有兩套計數(shù)規(guī)則，所以小數(shù)肯定也和整數(shù)一樣，是按“十進(jìn)制”的規(guī)則來計數(shù)的。

教師結(jié)合學(xué)生的描述，利用課件和板書進(jìn)行梳理。（如圖3）

（四）鏈接運算，感受數(shù)意義在計算中的體現(xiàn)

教師出示學(xué)習(xí)任務(wù)，請學(xué)生嘗試獨立計算1.22與7.8的和。學(xué)生嘗試計算后出現(xiàn)了三種答案：9.02、2、8.3。

師：上面三種答案哪種是正確的？第二個加數(shù)中的8應(yīng)該跟第一個加數(shù)中的幾相加？為什么？

生：因為8表示8個0.1，所以第二個加數(shù)中的8應(yīng)該跟第一個加數(shù)中十分位上的2相加。

師：為什么不與百分位上的2相加？

生：因為計數(shù)單位不一樣。

教師用課件演示十分位上的“8”累加的過程。（如圖4）

教師小結(jié)：小數(shù)的加減法計算就是將小數(shù)中相同計數(shù)單位上的數(shù)進(jìn)行加減，小數(shù)加減法同樣滿足滿十進(jìn)一、退一作十的規(guī)則。

三、回顧與反思

當(dāng)前教材中，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的意義在呈現(xiàn)時各具特色，而以“計數(shù)單位”這一核心觀念統(tǒng)領(lǐng)，可以鏈接所有數(shù)的意義教學(xué)，并以此形成運算教學(xué)的支架。在“小數(shù)意義”的教學(xué)實踐中，教師設(shè)計學(xué)習(xí)活動，引導(dǎo)學(xué)生將表征整數(shù)122意義的經(jīng)驗自主遷移至表征小數(shù)1.22的意義上來。學(xué)生在獨立思考、自主探索的過程中發(fā)現(xiàn)，表征整數(shù)與小數(shù)時都是用“數(shù)字+計數(shù)單位”的方式，產(chǎn)生的新的計數(shù)單位都與十進(jìn)制有關(guān)（或者是十倍十倍地擴大，或者是十分之一十分之一地縮?。?。他們的學(xué)習(xí)遷移能力應(yīng)運而生，認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷得到優(yōu)化與完善。

小數(shù)雖然與十進(jìn)分?jǐn)?shù)息息相關(guān)，但其所蘊含的分?jǐn)?shù)意義卻是非常弱的。在理解小數(shù)意義時，十進(jìn)、十分是教學(xué)的重點。從“計數(shù)單位”入手，借助形的直觀性和計數(shù)規(guī)則的一致性，能夠幫助學(xué)生實現(xiàn)對抽象的數(shù)的理解。如本課中，學(xué)生在認(rèn)識小數(shù)1.22時，教師借助兩大直觀模型幫助他們厘清小數(shù)的意義。一是用面積模型表示1.22，通過把正方形“1”平均分成10份，每份是0.1，再把0.1平均分成10份，每份是0.01，直觀感受小數(shù)計數(shù)單位產(chǎn)生的過程。二是在用計數(shù)器模型表示1.22時，通過兩個核心問題“繼續(xù)細(xì)分下去，會產(chǎn)生怎樣的小數(shù)單位？”“為什么還是以‘十進(jìn)制的規(guī)則細(xì)分？”，讓學(xué)生在“不斷累加、不斷細(xì)分”的體驗中，深刻感悟小數(shù)和整數(shù)在計數(shù)規(guī)則上的一致性。

所有數(shù)運算的算理，都離不開數(shù)意義的支撐。在加減法中，無論是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，都是將相同計數(shù)單位的數(shù)進(jìn)行累加或消減。所以在教學(xué)“數(shù)的運算”之前，首先得弄清楚一個數(shù)分別是由怎樣的計數(shù)單位組成的，然后才能做到把兩個或多個相同計數(shù)單位上的數(shù)進(jìn)行相加或相減。計數(shù)單位這個“承重墻”能夠讓學(xué)生真正感受到數(shù)意義與數(shù)運算本身所具有的“一致性”，幫助學(xué)生完善數(shù)概念和數(shù)運算的認(rèn)知體系，促進(jìn)學(xué)生思維的進(jìn)階。

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（1.浙江省湖州市安吉縣教育科學(xué)研究中心

2.浙江省湖州市安吉縣紫梅小學(xué)）