文|裴云姣

建構(gòu)主義觀點認(rèn)為：學(xué)生的學(xué)習(xí)是基于原有的知識經(jīng)驗生成意義、構(gòu)建理解的過程。因此，當(dāng)學(xué)生遇到分?jǐn)?shù)板塊的內(nèi)容時，自然而然地會想到運(yùn)用整數(shù)知識來進(jìn)行解決。但是由于分?jǐn)?shù)內(nèi)容概念形式眾多、意義表達(dá)寬泛、應(yīng)用聯(lián)系廣泛、概念表達(dá)與運(yùn)算規(guī)律自成體系，學(xué)生很難借鑒整數(shù)的相關(guān)知識；同時由于很多小學(xué)教師本身對分?jǐn)?shù)的相關(guān)知識理解不夠透徹，進(jìn)一步造成了學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，而分?jǐn)?shù)板塊內(nèi)容的學(xué)習(xí)障礙還會持續(xù)影響學(xué)生后續(xù)的小數(shù)、百分?jǐn)?shù)等概念和知識的理解與學(xué)習(xí)。所以，深入學(xué)習(xí)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”），深刻領(lǐng)會新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)的“體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性”就顯得極為重要。

一、新課標(biāo)要求的現(xiàn)有教材分?jǐn)?shù)概念單元體系分析

新課標(biāo)按“內(nèi)容要求、學(xué)業(yè)要求、教學(xué)提示”三個方面呈現(xiàn)課程要求，表1 是分?jǐn)?shù)板塊內(nèi)容新課標(biāo)要求以及在現(xiàn)有教材中的編排特點（以北師大版教材為例）。

表1

從表格中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)的起點能力雖然是平均分，但在初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)后，分?jǐn)?shù)的意義及其內(nèi)涵是今后伴隨學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)相關(guān)知識的重要基礎(chǔ)，無論是分?jǐn)?shù)的大小比較與分?jǐn)?shù)運(yùn)算，還是分?jǐn)?shù)與其他知識的關(guān)聯(lián)應(yīng)用，都需要以分?jǐn)?shù)的意義作為學(xué)習(xí)的起點。

二、新課標(biāo)下分?jǐn)?shù)概念內(nèi)涵的發(fā)展變化

隨著數(shù)學(xué)的運(yùn)用與不斷發(fā)展，人們對分?jǐn)?shù)本質(zhì)的認(rèn)識也越來越深，同時學(xué)生對分?jǐn)?shù)的理解也是一個不斷發(fā)展的過程。學(xué)生在二年級就學(xué)過了物或者圖形的“平均分”，知道了平均分以后的“一份或者幾份”；三年級開始學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識，著重在于分?jǐn)?shù)的符號表示、分?jǐn)?shù)單位（初步認(rèn)識）、大小比較（同分母）；到了五年級進(jìn)一步理解并探索分?jǐn)?shù)的意義、感悟計數(shù)單位、發(fā)展數(shù)感及熟練運(yùn)算。分?jǐn)?shù)定義中最常用的是以“部分與整體”引入，但是最為本質(zhì)的應(yīng)該是“除法”的定義，最能引起數(shù)概念一致性體會的當(dāng)是“度量”（用計數(shù)單位去測量）的定義。

（一）部分與整體的定義（份數(shù)定義）

現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，部分與整體的定義是：把一個或多個物體看作一個整體（或整體“1”），平均分成幾份（m），表示其中的一份或是幾份（n）的數(shù)就叫分?jǐn)?shù)。這個概念的好處是對于真分?jǐn)?shù)的引入形象、直觀、易懂，但是在“假分?jǐn)?shù)”的教學(xué)中會形成認(rèn)知障礙。

（二）除法（商）的定義

商的定義是分?jǐn)?shù)最為本質(zhì)的定義：a、b兩個數(shù)（b≠0）相除的結(jié)果，如果整除就是整數(shù)，不能整除就是分?jǐn)?shù)。在學(xué)生的前期認(rèn)知中，平均分就意味著整數(shù)除法，而且是整除。因此從除法運(yùn)算來引入分?jǐn)?shù)概念，學(xué)生不僅易于接受，而且其他的分?jǐn)?shù)“商不變性質(zhì)”、分?jǐn)?shù)運(yùn)算等就較為容易理解與掌握。

（三）度量的定義

（四）比的定義

從比的定義來看分?jǐn)?shù)：分?jǐn)?shù)是兩個整數(shù)的比（值）。從“比的定義”來看分?jǐn)?shù)，也能勾連起相關(guān)定義的聯(lián)系。比如“份數(shù)定義”中就是“部分與整體之比”；從“商的定義”來看，商本質(zhì)上也是一種比，它可以表示“部分與整體之比”，也可以表示“部分與部分之比”，而且既然可以表示部分與部分之比，那么小于1、等于1、大于1 的分?jǐn)?shù)均有可能出現(xiàn)。

三、分?jǐn)?shù)概念學(xué)習(xí)的相關(guān)障礙及解決策略

隨著學(xué)習(xí)的不斷加深，分?jǐn)?shù)概念的表現(xiàn)形式不斷增多，內(nèi)涵與外延也不斷拓展，教師是否一定要引導(dǎo)學(xué)生從不同定義向嚴(yán)格定義過渡？分?jǐn)?shù)作為一個數(shù)概念，與整數(shù)、小數(shù)作為數(shù)概念的一致性表現(xiàn)在哪里？分?jǐn)?shù)作為一種數(shù)，既表示一個絕對的量，又表示一個相對的量（率），量率意義在概念教學(xué)中應(yīng)如何把握？分?jǐn)?shù)概念教學(xué)中要注意的關(guān)鍵問題又有哪些？

（一）概念教學(xué)要符合階段性、連續(xù)性和整體性相統(tǒng)一

概念教學(xué)過程要符合教師教學(xué)過程與學(xué)生學(xué)習(xí)過程的統(tǒng)一；符合兒童認(rèn)知階段性與連續(xù)性的統(tǒng)一；使數(shù)學(xué)知識和技能的掌握與兒童的思維能力一致。因此，在分?jǐn)?shù)的概念教學(xué)過程中，我們認(rèn)為不必急于由不同定義而向嚴(yán)格定義（比如商的定義、度量定義）去統(tǒng)一，從學(xué)生思維發(fā)展的特點、階段性學(xué)習(xí)的特點來講，我們更應(yīng)該注意幫助學(xué)生在不同時期從不同的角度去理解分?jǐn)?shù)概念，并在后期努力實現(xiàn)不同概念之間的互補(bǔ)與整合。同時我們看到，從三年級到五年級，從“單個物體看作一個整體”到“多個物體看作一個整體”到“分?jǐn)?shù)的相對性”以至到“分?jǐn)?shù)單位”的形成，教材的這一編排特點，使學(xué)生所學(xué)的知識由淺入深、循序漸進(jìn)，每個年級既重點突出，又注意前后聯(lián)系。這樣的編排有利于學(xué)生從分?jǐn)?shù)整體知識結(jié)構(gòu)上去把握知識內(nèi)容，因為這樣的知識結(jié)構(gòu)是螺旋上升且連續(xù)遞進(jìn)而非斷裂的，學(xué)生在學(xué)習(xí)方法的形成上也不會“東一榔頭，西一棒槌”。

（二）深刻理解分?jǐn)?shù)概念基于新課標(biāo)表達(dá)的數(shù)概念的一致性

分?jǐn)?shù)既然是一種數(shù)，它就天然具有數(shù)概念的本質(zhì)屬性。分?jǐn)?shù)與整數(shù)和小數(shù)一樣，都是對數(shù)量或數(shù)量關(guān)系的抽象，它們都可以從計數(shù)單位和計數(shù)單位個數(shù)的角度來認(rèn)識。人們對整數(shù)的認(rèn)識，從“1”開始，先有1，再有2，再有10、100、1000……這是計數(shù)單位累加的過程。對小數(shù)的認(rèn)識也是同樣的道理，先有“1”，才有0.1、0.01、0.001……分?jǐn)?shù)繼承了自然數(shù)、小數(shù)的特點，將“1”不斷細(xì)分，產(chǎn)生新的分?jǐn)?shù)單位，分?jǐn)?shù)單位累加得到分?jǐn)?shù)，5 個就是。當(dāng)然，作為一種新的數(shù)，分?jǐn)?shù)有自己特有的符號化表示、寫法、讀法，概念的內(nèi)涵和外延與整數(shù)、小數(shù)也不盡相同，這也是分?jǐn)?shù)教學(xué)的難點所在，因此我們認(rèn)為，分?jǐn)?shù)概念的教學(xué)應(yīng)該在把握數(shù)概念一致性的前提下，認(rèn)真研究它所具有的特殊性（比如表達(dá)形式不同、分?jǐn)?shù)的連續(xù)性與離散性問題、等值分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位并不相同、每一個分?jǐn)?shù)參與運(yùn)算時，所要細(xì)化的分?jǐn)?shù)單位不盡相同，而且不是十進(jìn)制的、面臨分?jǐn)?shù)“量”“率”一體的問題、分?jǐn)?shù)的相對性問題等等）。

（三）分?jǐn)?shù)概念的“量”“率”屬性教學(xué)應(yīng)該如何把握？

分?jǐn)?shù)概念表達(dá)中無論是“量”（表示物體具體數(shù)量的多少）的意義還是“率”（表示部分是整體、一個量是另一個量的幾分之幾）的意義，都是分?jǐn)?shù)意義的重要內(nèi)涵，都是建構(gòu)分?jǐn)?shù)概念必不可少的環(huán)節(jié)。現(xiàn)行教材的編排以及教師實際的教學(xué)基本上以“率的意義”為重點來認(rèn)識分?jǐn)?shù)的概念，強(qiáng)調(diào)部分占整體的幾分之幾，初學(xué)到的分?jǐn)?shù)都是真分?jǐn)?shù)（三年級的分?jǐn)?shù)概念）；但是，當(dāng)學(xué)生在五年級上學(xué)期認(rèn)識假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)時，解決“每人要分到幾張餅”的問題，卻需要讓學(xué)生以“量”的形式認(rèn)識假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)。學(xué)生對分?jǐn)?shù)表示“率”的意義已經(jīng)習(xí)以為常，對分?jǐn)?shù)后面還能帶上單位表示不能接受。因此五年級的假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念的一個“攔路虎”。許多教師認(rèn)為造成這一困境的原因：一是教材編排中一開始就著重強(qiáng)調(diào)“率”的意義，認(rèn)識分?jǐn)?shù)“量的意義”比重太少；二是分?jǐn)?shù)概念“量”“率”問題本身自相矛盾，造成學(xué)生心中的二元對立，很難調(diào)和。怎么辦？張奠宙教授認(rèn)為：在三年級的分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識中，要先著重于分?jǐn)?shù)“量”的功能，不要急于把學(xué)生引入到分?jǐn)?shù)“率”的理解上。一塊蛋糕、一個蘋果平均分成3 份以后，應(yīng)該說明是平均分成“3 份大小”，因此，分?jǐn)?shù)概念表述為：將一個整體平均分成若干份，表示這樣一份或若干份“大小”的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)。這樣學(xué)生就能夠理解分?jǐn)?shù)是一種“新的數(shù)”，有大小，可比較。這樣的表述易于與整數(shù)、整除聯(lián)系，因為不能整除，所以產(chǎn)生了一個新的數(shù)，我們稱之為分?jǐn)?shù)，寫作，讀作三分之一。在后期則應(yīng)該明確“商的定義”，分?jǐn)?shù)就是兩個自然數(shù)相除（除數(shù)不為0），“份數(shù)定義”只是一個過渡，“比的定義”是“商的定義的延伸”，從這些概念出發(fā)，“率”的意義將會更加明顯。新課標(biāo)則在分?jǐn)?shù)板塊自始至終強(qiáng)調(diào)要感悟“計數(shù)單位”，因此從度量角度出發(fā)，從“計數(shù)單位”及計數(shù)單位個數(shù)累加來統(tǒng)整整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)數(shù)概念的一致性教學(xué)，則是給與了分?jǐn)?shù)概念產(chǎn)生的新的附著點與發(fā)展的生命力。

（四）在分?jǐn)?shù)概念的教學(xué)中要強(qiáng)化可視化模型的作用

在分?jǐn)?shù)概念教學(xué)過程中，可視化模型有助于學(xué)生在頭腦中建立起抽象模型而真正理解分?jǐn)?shù)。

面積模型（紙片、大餅）。現(xiàn)行教材運(yùn)用的比較多的是面積模型，從初步認(rèn)識的折紙到假分?jǐn)?shù)的分大餅。一般來說，面積模型能夠很好地說明均分問題，在反映部分與整體及部分與部分關(guān)系時比較簡潔直觀，這種單一的模型在研究分?jǐn)?shù)本質(zhì)問題以及復(fù)雜分?jǐn)?shù)問題時就顯得力不從心。

長度模型在幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)模型時非常重要。在利用度量方式（分?jǐn)?shù)單位）詮釋分?jǐn)?shù)概念時，它可以是具有度量單位的測量紙條（如圖1）。在解釋復(fù)雜的分?jǐn)?shù)相對性時，它可以是規(guī)范的數(shù)線（如圖2），在數(shù)線上標(biāo)注分?jǐn)?shù)，學(xué)生能夠真正懂得分?jǐn)?shù)是一個“數(shù)”，有大小、可比較；而且在數(shù)線上也能幫助學(xué)生直觀明了地理解分?jǐn)?shù)的連續(xù)與離散性質(zhì)；同時在數(shù)線上更能體會分?jǐn)?shù)的相對性。即整體不同，分?jǐn)?shù)值相同，得到的部分量就不同；整體不同，分?jǐn)?shù)值不同，得到的部分量卻有可能相同。這一模型在現(xiàn)實教學(xué)中運(yùn)用較少、強(qiáng)調(diào)不夠。

圖1

圖2

在集合模型中，要強(qiáng)調(diào)把所有的個體看作一個整體，且所有的個體都是集合的元素，地位均等一致。因此，子集可與全集相比較、子集可與子集相比較，也就能夠出現(xiàn)小于1、等于1、大于1 的分?jǐn)?shù)。同時，集合模型從強(qiáng)化“均分”（分的一樣大小）的分餅到集合模型的個體元素的地位均等，摒棄了集合元素外在的“顏色、大小、形狀”特點而聚焦集合元素的地位均等一致上，這樣就能更加深刻地理解“平均分”。比如：將一個班里所有的學(xué)生看作整體1（一個集合），那集合元素特征就是“具有班里學(xué)生的身份”，這樣“男女、高矮、胖瘦、長發(fā)短發(fā)、戴不戴眼鏡”就不是這個集合元素的特征量，但如果子集是“所有戴眼鏡的學(xué)生”，那“戴眼鏡”就是這個子集元素的特征量。當(dāng)然，小學(xué)生在理解運(yùn)用集合模型時會產(chǎn)生一些困難，但是集合模型能幫助他們在分?jǐn)?shù)、比例以及眾多相關(guān)現(xiàn)實情境之間建立重要聯(lián)系。