摘 要：介紹了教學(xué)團(tuán)隊(duì)在線性代數(shù)課程中開展“問題（Problem）—滲透（Infiltration）—構(gòu)思（Conception）—應(yīng)用（Applicat

-ion）”（PICP）方法的教學(xué)思路和體會(huì)。通過實(shí)踐表明：此方法能助力于學(xué)生對大學(xué)學(xué)習(xí)方法的改進(jìn)和教學(xué)內(nèi)容的消化理解，提升抽象思辯能力和創(chuàng)新意識(shí)，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)課程 教學(xué)方式 PICA方法 應(yīng)用型高校

中圖分類號(hào)：F240 ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004-4914（2023）07-154-04

一、引言

高校經(jīng)管類專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課系列中《線性代數(shù)》是本科一年級(jí)的主干課程之一，也是后續(xù)專業(yè)課程的重要理論基礎(chǔ)。線性代數(shù)課程內(nèi)容抽象程度高，理論體系復(fù)雜，一直是公認(rèn)的教學(xué)難度較大的課程[1]。就一年級(jí)的新生而言，對大學(xué)的生活特點(diǎn)、學(xué)習(xí)方式和人文氛圍原本就存在著亟待適應(yīng)的過程，加之缺乏線性代數(shù)理論知識(shí)背后的物理、幾何等其他應(yīng)用學(xué)科背景，所以想要理解線性代數(shù)課程的基本理論、基本方法和掌握課程的應(yīng)用手段都是不太現(xiàn)實(shí)的。而從教育者方面而言，傳統(tǒng)課堂從出現(xiàn)開始，便一直沿用至今，盡管這些年有了不小的變化，但教學(xué)模式一直未有根本性的轉(zhuǎn)變。一般教科書中的“定義—引理—證明—定理—證明—推論”模式對于大多數(shù)學(xué)生來說是糟糕的體驗(yàn)[2]。在高等教育教學(xué)改革日新月異的當(dāng)下，國內(nèi)應(yīng)用型大學(xué)都在針對本校的辦學(xué)定位和人才培養(yǎng)目標(biāo)，對包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的專業(yè)基礎(chǔ)課程的教學(xué)改革投入了大量精力和資源，但對于教學(xué)效果的影響，卻鮮有顯著成效。目前，傳統(tǒng)的以課堂為主的教學(xué)模式還存在著以下一些突出的問題：第一，傳統(tǒng)教學(xué)模式雖適合于大眾教育，但很難根據(jù)學(xué)生的自身?xiàng)l件與能力、進(jìn)行分類或個(gè)性化培養(yǎng)；第二，傳統(tǒng)教學(xué)模式忽略學(xué)生自主進(jìn)行深層學(xué)習(xí)，注重的是淺層認(rèn)知維度的學(xué)習(xí)，當(dāng)學(xué)生真正進(jìn)行思考、動(dòng)手實(shí)踐的時(shí)候，教師往往不習(xí)慣或無法為學(xué)生進(jìn)行較好的引導(dǎo)與幫助；第三，傳統(tǒng)教學(xué)模式多數(shù)屬于以教師為中心的填鴨式教學(xué)，學(xué)生是被動(dòng)接受知識(shí)。這類的教學(xué)模式易讓學(xué)生獲得了知識(shí)，卻可能失去了獨(dú)立思考的空間以及創(chuàng)造性思維。因此，要實(shí)現(xiàn)教學(xué)質(zhì)量的顯著提升，需要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際，更大程度地去更新現(xiàn)有教學(xué)方法及原始的教學(xué)模式，期待任課教師們都能清晰地認(rèn)識(shí)到教學(xué)方法和教學(xué)手段改革的重要性及迫切性，努力地投入并篤定地參與教學(xué)改革的實(shí)踐和探索，進(jìn)而關(guān)于線性代數(shù)的教學(xué)研究一直是活躍的[3]。

這些年來，我們教學(xué)團(tuán)隊(duì)針對民辦高校的特點(diǎn)以及學(xué)校新生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的實(shí)際，秉承著“以教師為主導(dǎo)、以學(xué)生為主體、以能力為本位”的教學(xué)理念，充分認(rèn)識(shí)到《線性代數(shù)》課程的教學(xué)作為公共基礎(chǔ)課在高校教學(xué)整體范圍的地位和作用，不斷探索和把握本課程的“服務(wù)性”“工具性”和“應(yīng)用性”特色，探究精細(xì)拿捏“夠用為度”的衡量尺度的內(nèi)沿和外延，立足于線性代數(shù)課程教學(xué)方法的探索和實(shí)踐。在課堂教學(xué)過程中教學(xué)團(tuán)隊(duì)不斷嘗試著“問題（Problem）—滲透（Infiltration）—構(gòu)思（Conception）—應(yīng)用（Application）”（PICA）方法的教學(xué)實(shí)踐并獲得了一些成效和教學(xué)感悟。

二、課堂教學(xué)中PICA方法的解釋、實(shí)踐及案例分析

本文所敘述的“PICA”教學(xué)法，即為將問題看作是課堂教學(xué)的動(dòng)力、起點(diǎn)和貫穿教學(xué)過程的主線，通過教學(xué)來生成問題，把教學(xué)過程看成是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程，通過教師的課堂主導(dǎo)和努力促使學(xué)生通過主動(dòng)學(xué)習(xí)而積極嘗試去解決問題，從中構(gòu)建以培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考、主動(dòng)探研、自覺實(shí)踐為基本價(jià)值取向的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法體系[4]。

（一）問題（Problem）導(dǎo)向?yàn)檎n程設(shè)計(jì)的主線

本文所表達(dá)的“問題”，即為線性代數(shù)課程內(nèi)的數(shù)學(xué)問題。線性代數(shù)課程的知識(shí)構(gòu)架大多屬純數(shù)學(xué)理論范疇，而且它基本無法借助實(shí)驗(yàn)手段（指真正意義上的實(shí)驗(yàn)過程）通常只能仰仗學(xué)習(xí)者獨(dú)立思考來完成整個(gè)學(xué)習(xí)過程。學(xué)習(xí)的過程就是學(xué)生不斷認(rèn)知、逐步促使知識(shí)的消化及吸納的過程。而知識(shí)的獲取是人們根據(jù)現(xiàn)有的理論來建構(gòu)科學(xué)知識(shí)，強(qiáng)調(diào)科學(xué)知識(shí)是暫時(shí)的、主觀的、建構(gòu)性的，它會(huì)不斷地被更新和推翻。從認(rèn)知的視角觀察，不同的人對同一個(gè)知識(shí)建構(gòu)的認(rèn)識(shí)通常是不盡相同的，但都必須經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)認(rèn)知窗口”的路徑——發(fā)現(xiàn)問題。從宏觀的角度俯視線性代數(shù)課程全貌，可以毫不夸張地說此課程就是由成千上萬個(gè)大小不一、表現(xiàn)形式各異、深淺程度不同的數(shù)學(xué)問題串聯(lián)或并聯(lián)而成的。有些問題是表象易見的，而有些問題往往會(huì)隱蔽在某些不易察覺的角落，它們?yōu)閷W(xué)生的學(xué)習(xí)過程埋下了困難的伏筆。所以，我們認(rèn)為以問題為導(dǎo)向的教學(xué)是線性代數(shù)課程教學(xué)設(shè)計(jì)的主線和抓手。

1.教師提出問題及引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題是課程教學(xué)的要?jiǎng)?wù)。由于高考指揮棒的驅(qū)使和眾所周知的緣故，高中數(shù)學(xué)的教學(xué)往往更重視及強(qiáng)調(diào)學(xué)生解題能力的造就和提升，教師常常在不自覺中忽略了對課本內(nèi)容基本結(jié)構(gòu)的深層次探究和把握，淡化了學(xué)生對提出問題、分析問題和解決問題等基本能力的培養(yǎng)。而進(jìn)入大學(xué)后，學(xué)生一旦接觸到類似于線性代數(shù)這種理論性強(qiáng)，概念抽象的課程，往往會(huì)感覺不適。這就要求教師們在教學(xué)活動(dòng)中除了責(zé)任心和耐心外，還需結(jié)合學(xué)生的實(shí)際注重教學(xué)方法的應(yīng)變及運(yùn)用。本教學(xué)團(tuán)隊(duì)在集體備課中運(yùn)用了將線性代數(shù)課程各個(gè)章節(jié)實(shí)施課題引入——內(nèi)容展開——理論推導(dǎo)——范例演繹——結(jié)論表述等程序化流程并將教學(xué)環(huán)節(jié)都以“問題”的形式鋪開，在問題的設(shè)計(jì)中注重密切關(guān)注兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是處理好知識(shí)點(diǎn)與問題之間的關(guān)系，盡量將諸多知識(shí)點(diǎn)分解為問題的公開和問題的解決兩個(gè)部分——知識(shí)點(diǎn)始于問題的披露而終于問題的化解。這樣的益處是通過潛移默化的教學(xué)，使學(xué)生們能將知識(shí)點(diǎn)與問題一一對應(yīng)，便于記憶和理解，如圖1。二是在編輯問題時(shí)不僅需緊貼教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)出具有主導(dǎo)性、啟發(fā)的問題——從教師對本章節(jié)教學(xué)構(gòu)思的角度出發(fā)，結(jié)合教材、配合教案、開啟學(xué)智，構(gòu)建充分體現(xiàn)教師在教學(xué)中主導(dǎo)作用的問題，譬如富有“撥云見日”特性的主旨性問題；具有“四兩撥千斤”特征的核心性問題；具有“指點(diǎn)迷津”特質(zhì)的啟發(fā)性問題等；而且更需要通過各種教學(xué)手段誘發(fā)學(xué)生積極思考，發(fā)現(xiàn)并提出自己的問題，即使學(xué)生提出的問題可能比較幼稚甚至是“偽”問題，但這確是我們謀求學(xué)生在教學(xué)中發(fā)揮主體作用的切入口，是激發(fā)學(xué)生參與課堂教學(xué)的良好開端，更是難能可貴的教學(xué)實(shí)效。

2.問題與教學(xué)內(nèi)容的契合關(guān)系。每個(gè)數(shù)學(xué)任課教師都明白，我們的課堂教學(xué)不能僅僅停留在講清單一的基本概念，還需厘清相關(guān)內(nèi)容之間的理論脈絡(luò)，提煉出隱藏在知識(shí)點(diǎn)背后深層次的數(shù)學(xué)思想，這對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高無疑是很有意義的[4]。因此，在問題的設(shè)計(jì)中，我們教學(xué)團(tuán)隊(duì)除了關(guān)注知識(shí)點(diǎn)與問題的聯(lián)系，還精心探究同一章節(jié)內(nèi)眾多知識(shí)點(diǎn)前后的邏輯關(guān)系，通過諸多個(gè)問題的引導(dǎo)，凸顯出知識(shí)群的基本理論脈絡(luò)，進(jìn)而促使單一章節(jié)知識(shí)領(lǐng)域中（知識(shí)）點(diǎn)——（知識(shí)）線——（知識(shí)）面的有機(jī)復(fù)合。這里特別強(qiáng)調(diào)的是，由點(diǎn)到線的形成關(guān)鍵是它們的“邏輯性”，即若干彼此富有邏輯內(nèi)在聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)才可能匯成一個(gè)知識(shí)群（線）。為了表達(dá)得更清晰，現(xiàn)以矩陣A的特征值與特征向量的教學(xué)內(nèi)容為例。

設(shè)A為一個(gè)n階方陣，于是我們用圖2及圖3表述由點(diǎn)到線的知識(shí)點(diǎn)思維邏輯框架圖和相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題導(dǎo)圖：

教學(xué)建議：為使學(xué)生在新教學(xué)模式中能迅速進(jìn)入角色，根據(jù)課程要求和學(xué)生實(shí)際，教師應(yīng)該在課前做足準(zhǔn)備，譬如擬定內(nèi)容對象制作問題、各類問題的表述方式，選編典型問題案例、預(yù)設(shè)學(xué)生的提問及應(yīng)答等等。進(jìn)入課堂教學(xué)后，教師還可進(jìn)一步（例如通過多媒體和網(wǎng)絡(luò)手段）充實(shí)問題案例的背景，使學(xué)生在問題案例的情景中產(chǎn)生感性認(rèn)知。

一般而言，由于基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)功底、抽象思維能力和表達(dá)水平等不同因素的影響，學(xué)生會(huì)不時(shí)地“大膽”拋出一些偽問題，而且往往認(rèn)為自己的結(jié)論是正確的。此時(shí)教師可以憑借教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和專業(yè)敏感捕捉這些極具典型案例意義的素材，指出問題自身的癥結(jié)并加以校正；同時(shí)在避免傷害學(xué)生自尊的前提下，從多視角揭示形成無效問題的專業(yè)知識(shí)背景和事物認(rèn)知背景，使糾錯(cuò)的過程演變成激發(fā)學(xué)生加速提升自身分析能力、感知能力和解決問題能力的孵化器。

（二）數(shù)學(xué)思想的滲透（Infiltration）是課程教學(xué)的硬核

恩格斯曾說過：數(shù)學(xué)上的所謂公理，是數(shù)學(xué)需要用作自己出發(fā)點(diǎn)的少數(shù)思想上的規(guī)定。公理化思想及方法發(fā)展源于亞里斯多德的完全三段論及歐幾里得《幾何原理》的問世[5]。事實(shí)上在基礎(chǔ)教育階段，學(xué)生們都曾接觸過類似于“兩點(diǎn)之間直線距離最短”這樣的數(shù)學(xué)公理，但在大學(xué)的理工類課程里，層出不窮的公理化問題集中涌現(xiàn)在同一門課程里，恐怕只唯《線性代數(shù)》莫屬了。譬如行列式的構(gòu)造、矩陣及矩陣的運(yùn)算、向量組的線性相關(guān)性、二次型標(biāo)準(zhǔn)化問題等等。最典型的當(dāng)屬向量空間系統(tǒng)：當(dāng)人們分別研究了許多具體的空間結(jié)構(gòu)以后，發(fā)現(xiàn)了它們具有基本的共同屬性，于是就用滿足一定條件的公理集合來定義向量空間（俗稱三大條八小條），形成一個(gè)向量空間的公理系統(tǒng)，并在這個(gè)系統(tǒng)上展開空間的理論并推導(dǎo)出一系列定理。我們很容易發(fā)現(xiàn)，這種能反映公理化思想的范例毫不夸張地說在教材中可以隨手拈來。公理化思想和方法能系統(tǒng)地總結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)、清楚地揭示數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，有利于比較各個(gè)數(shù)學(xué)分支的本質(zhì)差異，是現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的基本特點(diǎn)之一。鑒于本課程的這一特點(diǎn)以及新生還陷于探求和熟悉學(xué)習(xí)環(huán)境的特殊時(shí)期，無論是數(shù)學(xué)知識(shí)的特性還是學(xué)習(xí)方法的掌握，他們都會(huì)不太適應(yīng)，故任課教師需尤其給予高度關(guān)注，如何才能使得學(xué)生盡早地適應(yīng)課程知識(shí)構(gòu)造特點(diǎn)，如何通過課堂教學(xué)促使學(xué)生逐漸領(lǐng)會(huì)及感知“公理化”的數(shù)學(xué)思想，是鑒別我們的課堂教學(xué)工作成效的標(biāo)志之一。

教學(xué)建議：教學(xué)實(shí)踐告訴我們，由于《線性代數(shù)》的概念眾多而繁雜，學(xué)生往往會(huì)不知所措。因此，我們有責(zé)任告誡并引導(dǎo)學(xué)生：課程的學(xué)習(xí)不僅僅是搜集信息和概念，也不是一大堆事實(shí)及材料的簡單積累，這些教學(xué)內(nèi)容都有其自身的出發(fā)點(diǎn)和符合一定規(guī)則的邏輯體系[6]。同時(shí)，教師的重要職責(zé)就是幫助他們抽絲剝繭，利用公理化思路以及恰當(dāng)?shù)姆绞椒椒ń⑵鸶鱾€(gè)章節(jié)的教學(xué)內(nèi)容邏輯體系。

（三）學(xué)習(xí)方法構(gòu)思（Conception）的養(yǎng)成是課程教學(xué)的責(zé)任

1.數(shù)學(xué)思想方法的構(gòu)思。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的概況。如果說數(shù)學(xué)思想是長期實(shí)踐而形成的對數(shù)學(xué)的理性認(rèn)識(shí)，是解決數(shù)學(xué)問題的根本要素，那么數(shù)學(xué)方法就是解決數(shù)學(xué)問題的手段和工具。可以這樣認(rèn)為：數(shù)學(xué)思想方法彰顯的是數(shù)學(xué)的靈魂，只有當(dāng)明確和把握了數(shù)學(xué)思想方法，才算正真掌握了數(shù)學(xué)。因限于篇幅，本文只討論數(shù)學(xué)方法構(gòu)思的問題。筆者認(rèn)為線性代數(shù)課程教學(xué)中，除了應(yīng)注意促使學(xué)生了解和領(lǐng)會(huì)分類探究方法、化歸與轉(zhuǎn)化方法等一般性常見的學(xué)習(xí)技巧外，此文特別地結(jié)合線性代數(shù)課程的特點(diǎn)著力推薦用途更為廣泛的“矩陣主導(dǎo)”的方法。

所謂的“矩陣主導(dǎo)”是指以矩陣為重要媒介和計(jì)算工具，介入及參與線性代數(shù)課程其他主要章節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容過程的表現(xiàn)手法及方法。事實(shí)上，在整個(gè)課程學(xué)習(xí)過程中，我們很容易發(fā)現(xiàn)矩陣真可謂無處不在（除了行列式之章節(jié)），這是由于它總體處于課程的核心地位，并形成各章知識(shí)前后聯(lián)系的紐帶，就猶如一條紅線從頭至尾貫穿于課程始終。所以有專家戲稱：抓住了矩陣，就套牢了線性代數(shù)課程的“牛鼻子”。因此，每一位任課教師都需要高度重視矩陣本身的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，以及矩陣在各個(gè)章節(jié)內(nèi)置的特殊作用。矩陣的概念在其它章節(jié)的哪些具體內(nèi)容中發(fā)揮作用，我們可以通過圖4給予部分說明。

2.計(jì)算方法的構(gòu)思。線性代數(shù)課程的教學(xué)除了基本概念外，更多地是涉及有關(guān)計(jì)算方法的問題。由于課程中對應(yīng)的數(shù)學(xué)對象相異，相應(yīng)的計(jì)算方法也不盡相同，這往往會(huì)給學(xué)生帶來一些解題思路上的混淆和學(xué)習(xí)方法上的錯(cuò)位。為了避免上述現(xiàn)象，筆者認(rèn)為任課教師可能需要關(guān)注以下兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。首先，在每類計(jì)算方法引入當(dāng)初，需要“細(xì)嚼慢咽”，扎實(shí)學(xué)生的基本功，力爭在學(xué)生腦海里打下深刻烙印；其次，對龐雜的各種計(jì)算方法進(jìn)行必要的細(xì)分對比，總結(jié)歸納（往往容易忽視這點(diǎn)）。本文利用圖5給予提示。

事實(shí)上，一個(gè)教學(xué)單元內(nèi)容結(jié)束后，有條理地進(jìn)行一次計(jì)算方法的梳理和歸納，對學(xué)生消化知識(shí)，鞏固知識(shí)都是一件事半功倍的工作，尤其在強(qiáng)化學(xué)生對諸多方法的理解、記憶、消化和“構(gòu)思”，能起到很好的作用。

3.證明方法的構(gòu)思。因受到教學(xué)課時(shí)及教學(xué)目標(biāo)的限制及約束，線性代數(shù)課程中的定理證明、證明式習(xí)題等有關(guān)開放性主觀問題的訓(xùn)練也許不會(huì)作為主要教學(xué)內(nèi)容，但不可否認(rèn)的是，數(shù)學(xué)證明不僅是數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)力之一，更是大學(xué)階段學(xué)生理性智力開發(fā)的重要途徑。盡管數(shù)學(xué)的證明過程技巧性極強(qiáng)，涉及的概念和知識(shí)點(diǎn)頗多，而且數(shù)學(xué)問題的證明講解也因難以把握而容易造成學(xué)生悲觀及厭學(xué)情緒的產(chǎn)生，但我們也絕不能放棄。在通常情況下，教師可以設(shè)計(jì)出多種教學(xué)手段和方法處理這個(gè)。本教學(xué)團(tuán)隊(duì)曾使用過如下方法，促進(jìn)學(xué)生的解題構(gòu)思：對數(shù)學(xué)問題給予必要的分析并摒棄錯(cuò)誤的技術(shù)路線——構(gòu)架問題證明的步驟——明示證明過程的細(xì)節(jié)和方法——給予必要的提醒和補(bǔ)充——設(shè)計(jì)類似的問題激勵(lì)學(xué)生進(jìn)行嘗試等等。通過訓(xùn)練帶來了不錯(cuò)的效果，實(shí)踐證明只要工作到位，通常我們還是有信心喚醒學(xué)生的自信和接受挑戰(zhàn)的勇氣的。下面就以一道數(shù)學(xué)證明題的解題過程及圖6呈現(xiàn)我們的教學(xué)設(shè)計(jì)。

數(shù)學(xué)問題：設(shè)η1，η2，L，η3是非齊次線性方程組AX=b的解，而k1，k2，L，ks是滿足等式k1+k2+L+ks=1的一組實(shí)數(shù)，證明：η=k1η1+k2η2+L+ksηs為原線性方程組AX=b的解。

預(yù)備工作：簡稱原方程組AX=b為①；解題目標(biāo)：設(shè)法推出結(jié)果Aη=b；必要提醒：非齊次線性方程組解的線性組合未必還是原方程組的解。

（四）數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用（Application）是課程教學(xué)的目標(biāo)

如何培養(yǎng)和開發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，始終是數(shù)學(xué)教育工作者普遍關(guān)注和潛心探究的一項(xiàng)重要課題，就線性代數(shù)課程而言，學(xué)生能否利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)踐中并解決數(shù)學(xué)問題，即會(huì)不會(huì)應(yīng)用、應(yīng)用得好不好，這既是檢驗(yàn)學(xué)生掌握課程基本知識(shí)及數(shù)學(xué)思想的重要標(biāo)準(zhǔn)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)所追求的根本目標(biāo)。線性代數(shù)課程知識(shí)的應(yīng)用問題主要是通過課堂例題、課間訓(xùn)練和課后習(xí)題來付諸實(shí)施，所以課堂習(xí)題訓(xùn)練及課后作業(yè)演練一直是任課教師高度重視的教學(xué)環(huán)節(jié)。建構(gòu)主義“學(xué)習(xí)環(huán)境”理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)者的知識(shí)儲(chǔ)備往往是借助他人的幫助，通過意義建構(gòu)而逐步獲得，我們團(tuán)隊(duì)在上述環(huán)節(jié)的實(shí)踐中獲得如下體驗(yàn)，教學(xué)活動(dòng)中最好能關(guān)注下面幾個(gè)問題：

1.建構(gòu)學(xué)習(xí)情境。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生投入習(xí)題訓(xùn)練的情境是不能忽視的。比如習(xí)題課堂熱烈的氛圍、爭先恐后展示訓(xùn)練結(jié)果的積極性、對不同解題方法踴躍提出自己主張的勇氣，解題過程的討論和興趣能延伸至課后等等。

2.建構(gòu)協(xié)作精神。學(xué)習(xí)協(xié)作精神的培養(yǎng)和建立既是班風(fēng)的重要組成部分，也是習(xí)題演練課堂提升效率的恒久動(dòng)力。這種精神可以產(chǎn)生于師生之間也可體現(xiàn)在學(xué)生群體之中，比如學(xué)習(xí)進(jìn)程的自我反饋和學(xué)習(xí)成效的評(píng)價(jià)、學(xué)習(xí)資料的收集與分析和假設(shè)的提出與驗(yàn)證等，應(yīng)該貫穿于整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程之中。

3.建構(gòu)交流習(xí)慣。師生之間和學(xué)生之間的學(xué)習(xí)交流事實(shí)上是協(xié)作過程的一種最基本的方式。為了便于開展交流，我們成立了多個(gè)班級(jí)學(xué)習(xí)小組，建立了班級(jí)微信學(xué)習(xí)群，制定了定時(shí)和不定期的學(xué)習(xí)交流制度。尤其是任課教師時(shí)常錄制一些課外補(bǔ)充內(nèi)容及習(xí)題訓(xùn)練短視頻投放到群里交流共享，對推進(jìn)學(xué)習(xí)進(jìn)程和改進(jìn)認(rèn)知狀況起到了很好的作用也深受學(xué)生的認(rèn)同。

三、結(jié)語

近年來，教學(xué)團(tuán)隊(duì)在專業(yè)基礎(chǔ)課《線性代數(shù)》教學(xué)過程中不斷地汲取教訓(xùn)及總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，在摸索中探究出“問題（Problem）—滲透（Infiltration）—構(gòu)思（Conception）—應(yīng)用（Application）”（PICA）方法，收到了一定的成效和感悟，同時(shí)也意識(shí)到日后繼續(xù)改良和提升的方向。上述PICA方法基本適應(yīng)于線性代數(shù)課程的大部分概念和理論的教學(xué)，但也可結(jié)合具體實(shí)際進(jìn)行必要的調(diào)整，比如其中四個(gè)取項(xiàng)的有機(jī)融合、先后次序的置換和選項(xiàng)的取舍等。值得提醒的是在采用本方法時(shí)任課教師需要做足課前的準(zhǔn)備，除了正常的傳統(tǒng)備課，興許還要在教學(xué)案例、數(shù)學(xué)問題、思路導(dǎo)圖等多方面進(jìn)行前期設(shè)計(jì)和研制。當(dāng)然，大學(xué)公共基礎(chǔ)課通常還包括大學(xué)英語、政治思想理論課、大學(xué)語文、大學(xué)應(yīng)用文寫作，體育和藝術(shù)領(lǐng)域的諸多課程，希望本文能從課程教法的角度為上述課程教學(xué)改革提供些許參考或借鑒。我們認(rèn)為無論課程的構(gòu)架和內(nèi)涵如何不同，只要秉承進(jìn)取之心，不斷探索教學(xué)規(guī)律，總能挖掘和開創(chuàng)出符合課程規(guī)律的教學(xué)改革之果。教學(xué)方法和教學(xué)手段的改革是永無止境的，但始終會(huì)遵循眾所皆知的客觀規(guī)律：一份耕耘，一份收獲。

[基金項(xiàng)目：2018年廣西外國語重點(diǎn)課程（高等數(shù)學(xué)）及數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)量經(jīng)濟(jì)教學(xué)團(tuán)隊(duì)建設(shè)校級(jí)項(xiàng)目。]

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（作者單位：廣西外國語學(xué)院 廣西南寧 530222）

[作者簡介：韋玉球，副教授，研究生學(xué)歷，研究方向：數(shù)學(xué)教育及師培。]

（責(zé)編：賈偉）