陳秋霞

與三角形有關(guān)的問題比較常見.此類問題的難度一般不大，側(cè)重于考查正余弦定理、勾股定理，以及三角函數(shù)的性質(zhì)和定義.常見的三角形問題有：求三角形中角的三角函數(shù)值、求三角形的邊長、求三角形的面積.下面結(jié)合幾個例題，談一談這三類三角形問題的解法.

一、求三角形中角的三角函數(shù)值

對于一些求三角形中角的大小或三角函數(shù)值問題，通常需先運(yùn)用正余弦定理將三邊之間的關(guān)系化為三角之間的關(guān)系；然后根據(jù)三角函數(shù)的定義或誘導(dǎo)公式來求得三角形中角的大小或三角函數(shù)值.

例1.

解：

由于已知?cosA 的值，要求?sin（2A + B） ，只需利用正弦定理，將已知關(guān)系式中的邊化為角，再通過恒等變形求出?sinB ，即可根據(jù)二倍角公式和兩角和的正弦公式求出sin （2A + B）的值.

二、求三角形的邊長

求三角形的邊長，通常要用到正弦定理、余弦定理、勾股定理.若已知三角形的兩角和其中一個角的對邊長，可以利用正弦定理求解另外一只角的對邊長；若已知三角形的兩邊及其夾角，則可利用余弦定理求三角形的邊長；若已知的三角形為直角三角形，則需利用正弦定理求邊長.但是對于一些較為復(fù)雜題目，往往不能直接套用公式，這時候就需要綜合運(yùn)用正弦定理和余弦定理來建立方程組，通過解方程組求出三角形的邊長.

例2.已知 ∠ABC = ， ?AC =2 ?，2AB =3BC， AD =2BD ，BDsin ∠DBC = ，試求 BD 的長度.

解：

本題較為復(fù)雜，于是先根據(jù)余弦定理求出 AB 的長；然后再用余弦定理建立方程，通過解方程①②③求 BD 的長.

三、求三角形的面積

求三角形的面積，一般要先用正余弦定理求出三角形兩條邊的長以及這兩邊的夾角的正弦值；再利用三角形的面積公式 S△BCD = absinC = bcsinA = acsinB ，即可求出三角形的面積.

例3.已知△ABC 的三個內(nèi)角A， ?B， C 所對的邊分別為 a， b， c，若 B =120° ， sinC = ， c =2，求△ABC 的面積.

解：

總之，解答三角形問題，需根據(jù)解題的需求，選用恰當(dāng)?shù)墓健⒍ɡ磉M(jìn)行三角恒等變換，以使邊角互化，再靈活運(yùn)用三角函數(shù)的公式、定義，以及三角形的性質(zhì)、面積公式來求出問題的答案.

（作者單位：江西省贛州市于都縣第二中學(xué)）