李喜春

數(shù)列不等式問(wèn)題通常較為復(fù)雜，且難度系數(shù)較大，對(duì)同學(xué)們的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力有較高的要求.解答這類問(wèn)題，往往需綜合運(yùn)用數(shù)列、不等式、函數(shù)等知識(shí)，常用的方法有放縮法和數(shù)學(xué)歸納法.本文重點(diǎn)談一談如何通過(guò)巧妙放縮，來(lái)解答數(shù)列不等式問(wèn)題.

一、將數(shù)列放縮成等差數(shù)列

通過(guò)觀察，我們通常能很快確定數(shù)列不等式中數(shù)列的通項(xiàng)公式及其特征，若通過(guò)放大或者縮小，數(shù)列的通項(xiàng)公式可以變?yōu)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式，如 an -an -1=d（d 為常數(shù)），便可利用等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和，從而快速證明不等式.

例1.

證明：

我們根據(jù)目標(biāo)不等式 n（n + 1） 2 < Sn < （n + 1） 2 2 的結(jié) 構(gòu)特征，利用基本不等式放縮代數(shù)式 n（n + 1） ，得到 n（n + 1） < 2n + 1 2 = n + 1 2 ；通 過(guò) 去 項(xiàng) ，放 縮 代 數(shù) 式 n（n + 1） ，得到 n（n + 1） > n ，從而將數(shù)列{an}的通項(xiàng)公 式放縮為 n（n + 1） < 2n + 1 2 = n + 1 2 、 n（n + 1） > n2 = n ， 即可將數(shù)列變成等差數(shù)列.再根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng) 和公式來(lái)證明不等式，即可解題.值得注意的是，在構(gòu) 造等差數(shù)列時(shí)，一般都是從數(shù)列{an} 的第一項(xiàng)開始放 縮.

二、將數(shù)列放縮成等比數(shù)列

有時(shí)通過(guò)放大或者縮小，數(shù)列的通項(xiàng)公式可以變 為等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，如 an an - 1 = q（q為常數(shù)，且不為 0），那么我們就可以利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式對(duì) 數(shù)列進(jìn)行求和，從而快速證明不等式.

例2

解：

為 了 將 數(shù) 列 的 和 與 n 2 - 1 3 、n 2 靠 攏 ，需 將 bn = 2n - 1 2n + 1 - 1 進(jìn)行放縮，得到 bn < 1 2 、bn ≥ 1 2 - 1 3 ? 1 2n ，以運(yùn)用 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得數(shù)列的和.

例3

解：

我們需先利用不等式的性質(zhì)將 ln（ 1 2k + 1） 放縮為 ln（ 1 2k + 1） ≤ 1 2k ，以將數(shù)列的通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列 的通項(xiàng)公式 1 2k ；然后利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn) 行求和.

三、將數(shù)列放縮成遞推數(shù)列

有些數(shù)列的通項(xiàng)公式較為復(fù)雜，從中很難發(fā)現(xiàn)規(guī) 律，此時(shí)可將數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，如添 項(xiàng)、去項(xiàng)、湊系數(shù)等，將其化為遞推關(guān)系式，如 an + 1 = Aan + B 、an + 1 = Aan n + B 、an + 1 an = f （n） 、an + 1 - an = f （n） 等，進(jìn)而構(gòu)造出遞推數(shù)列.再運(yùn)用待定系數(shù)法、取倒數(shù) 法、取對(duì)數(shù)法等求得數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，從而 證明不等式.

例4

證明：

四、將數(shù)列放縮成可裂項(xiàng)求和的數(shù)列

通過(guò)放縮，有些分式數(shù)列的通項(xiàng)公式可裂為兩項(xiàng) 之差的形式，且裂項(xiàng)后數(shù)列的前后項(xiàng)可以相互抵消， 即可運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列的和.常見的裂項(xiàng)形式 有： 1 n（n + k） = 1 k ? è ? ? 1 n - 1 n + k 、 1 n + n + 1 = n + 1 - n 、 方法集錦 42 數(shù)學(xué)篇 1 4n2 - 1 = 1 2 ? è ? ? 1 2n - 1 - 1 2n + 1 .

例5

解：

要 證 明 1 a1 + 1 a2 + ??? + 1 an = 1 + 1 22 + 1 32 + ??? + 1 n2 < 7 4 ，需將數(shù)列的通項(xiàng)公式 1 an = 1 n2 放縮為 1 an = 1 n2 < 1 （n - 1）× n ，以將該式裂項(xiàng)為 1 （n - 1）× n = 1 n - 1 - 1 n ，即 可運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和，證明不等式.最后還需單獨(dú)驗(yàn) 證當(dāng) n = 1 時(shí)的情形是否滿足不等式.雖然 1 n2 < 1 n - 1 - 1 n 對(duì)一切 n ≥ 2 時(shí)都成立，但是我們需從數(shù)列 { } 1 an 的 第三項(xiàng)開始放縮.如果從數(shù)列{ } 1 an 的第二項(xiàng)進(jìn)行放縮， 將 會(huì) 得 到 結(jié) 果 ： 1 a1 + 1 a2 + ??? + 1 an = 1 + 1 22 + 1 32 + ??? + 1 n2 < 1 +（1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + ??? + 1 n - 1 - 1 n）= 2 - 1 n < 2 .而 2 > 7 4 ，導(dǎo)致放縮的結(jié)果過(guò)大，從而無(wú)法證明 不等式.一般地，裂項(xiàng)相消后，保留的項(xiàng)越多，其結(jié)果越 精確.

四、將數(shù)列放縮成可錯(cuò)位相減的數(shù)列

我們知道，若一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成，則可運(yùn)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和， 因此對(duì)于數(shù)列的各項(xiàng)是積式或商式的不等式問(wèn)題，就可以將數(shù)列的通項(xiàng)公式放縮為一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的積或商，利用錯(cuò)位相減法快速求得數(shù)列的和，證明不等式.

例6.

解：

我們將 an = n - 1 2n - 1 an - 1 + an - 1 放縮得到 an - an - 1 > n - 1 2n - 1 （n ≥ 2） ，而 n - 1 2n - 1 為等差數(shù)列 {n - 1} 和等比數(shù)列 { } 1 2n - 1 的通項(xiàng)公式的積，便可利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求 和，快速證明 an > 3 - n + 1 2n - 1 .

總之，運(yùn)用放縮法證明數(shù)列不等式，不僅要根據(jù)數(shù)列和通項(xiàng)公式的特征選擇合適的方法進(jìn)行放縮，還要控制好放縮的“度”.有時(shí)， 同一個(gè)問(wèn)題有多種放縮方式，如何選擇最優(yōu)的放縮方式？這需要同學(xué)們進(jìn)行深入的探究.

（作者單位：貴州省遵義市第四中學(xué)）