修永秀

有些數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式不同，此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前 n 項(xiàng)和都需分段表示.那么在求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n 項(xiàng)和時(shí)，需對數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)進(jìn)行分類討論，主要討論 n 分別為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)的情況.這就給我們解題帶來了很多的麻煩和障礙，同學(xué)們需靈活運(yùn)用分類討論思想來輔助解題.

一、求數(shù)列的通項(xiàng)公式

若數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)不同，則數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式也不同.在求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，需分別研究當(dāng)?n 為1，3，5，…?， 2k-1時(shí)以及?n 為2，4，6，…?， 2k 時(shí)各項(xiàng)之間的規(guī)律，并采用一些手段，如將前后項(xiàng)作差、作商、添加（去掉）一個(gè)常數(shù)、在分子（分母）上減去一個(gè)常數(shù)等，以確定前后項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.最后需將數(shù)列的通項(xiàng)公式，用分段式表示出來.

例1.已知數(shù)列{an}滿足an +1+an = n ，a1=1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 ???.

解：

由遞推關(guān)系 an +1+an = n 可推導(dǎo)出數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列.再分別根據(jù)等差數(shù)列的定義求得數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求得數(shù)列{a2k -1}和{a2k}的通項(xiàng)公式，最后用分段式表示即可.

例2.已知數(shù)列{an}滿足?an +1?an =2n ，a1=1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為????.

解：

將?an +1?an =2n 與?an +2?an +1=2n +1兩項(xiàng)作商，即可確定an +2、an 之間的遞推關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的定義判定數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都成等比數(shù)列.再分別根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{a2k -1}和{a2k}的通項(xiàng)公式.

例3.

解：

由于數(shù)列的遞推關(guān)系式含有（-1）n ，所以需分?n =2k -1和?n =2k 兩種情況進(jìn)行討論.先由[2-（-1）n]??an +[2+（-1）n]?an +1=1+（-1）n ×3n 可推導(dǎo)出遞推關(guān)系?a2k +1-a2k -1=4k -1，求得?a2k -1的表達(dá)式；再根據(jù)?a2k +3a2k -1=4-6k 求得a2k 的表達(dá)式；最后將數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式寫成分段式即可.

例4.已知數(shù)列{an}滿足?an +1+（-1）n ?an =2n -1，?a1=1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為????.

解：

由?an +1+（-1）n ?an =2n -1可推導(dǎo)出遞推關(guān)系a2k +3- a2k -1=0，進(jìn)而求得?a4k -1和?a4k -3的表達(dá)式，再分?n 為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況，由?a2k -a2k -1=4k -3求得?a4k 和?a4k -2的表達(dá)式，即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

例5.

解：

題目中給出的遞推關(guān)系為分段式，可由該遞推關(guān)系式推導(dǎo)出 a2k +1= a2k =（a2k -1+1），進(jìn)而得出數(shù)列{a2k -1-1}為等比數(shù)列，求得{a2k -1}的通項(xiàng)公式，再根據(jù)a2k =a2k -1+1求得a2k 的表達(dá)式.從這幾個(gè)例題中可看出，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，需運(yùn)用分類討論思想，先分 n =2k -1和 n =2k 兩種情況進(jìn)行討論，分別運(yùn)用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，累加法、累乘法、待定系數(shù)法等方法求出數(shù)列{a2k -1}和{a2k}的通項(xiàng)公式；再用分段式表示數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

二、求數(shù)列的和

當(dāng)數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式不同時(shí)，我們需要分 n 為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況來討論數(shù)列的前 n 項(xiàng)和.通常需先根據(jù)所有奇數(shù)項(xiàng)以及偶數(shù)項(xiàng)的規(guī)律確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；然后運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式，錯位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法等求得奇數(shù)項(xiàng)以及偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列的和；最后將所得的結(jié)果相加.

例6.設(shè)?Sn 為數(shù)列{an}的前?n 項(xiàng)和，Sn =（-1）nan - ，n ∈?N+，則S1+ S2+???+ S100= ???.

解：

由an = Sn - Sn -1（n ≥2）可推導(dǎo)出S2k -1=- 和S2k -2=0，即可根據(jù)等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式求得數(shù)列中各奇數(shù)項(xiàng)的和，進(jìn)而求得S1+ S2+???+ S100的值.

例7.已知數(shù)列{an}滿足 a1=1，an + an +1=2n -1，則數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和Sn = ???.

解：

已知遞推關(guān)系式為數(shù)列前后兩項(xiàng)之和，于是分別討論 n =2k -1和 n =2k 時(shí)每兩項(xiàng)的和，再根據(jù)等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)公式進(jìn)行求和即可.

例8.已知 Sn 為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和，且 an， ??，an +1依次成等比數(shù)列.

（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè) bn =〈2（a） ，，（）n為偶數(shù)（n為奇數(shù)），，求數(shù)列{bn bn +1}的前 n 項(xiàng)和 Tn .

解：

解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)列?cn = bn bn +1，得到?c2k -1+ c2k =4k ?2k ，進(jìn)而分別求出?S2n -1和?S2n ，得到?Sn 的表達(dá)式.一般地，若數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式不同，則要求前?n 項(xiàng)和?Sn ，往往需要運(yùn)用分類討論思想，分別求得奇數(shù)項(xiàng)的和?S2k -1和偶數(shù)項(xiàng)的和?S2k .

雖然數(shù)列中奇偶項(xiàng)的通項(xiàng)公式不同問題較為復(fù)雜，但是我們只要抓住解題的關(guān)鍵：（1）要認(rèn)真分析數(shù)列的通項(xiàng)公式或者遞推關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，找到問題的突破口；（2）靈活運(yùn)用分類討論思想，將 n 分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論，就能順利解題.

（作者單位：福建省武平縣第二中學(xué)）