容苗

【摘要】教師有意識地使課堂教學內(nèi)容結(jié)合尺規(guī)作圖來滲透數(shù)學思想，從而使學生掌握數(shù)學畫圖能力并運用到幾何、函數(shù)的問題解決中，提升自身的數(shù)學綜合能力。

【關(guān)鍵詞】新課程標準；尺規(guī)作圖；初中數(shù)學；能力培養(yǎng)

尺規(guī)作圖是初中數(shù)學的重要教學內(nèi)容之一，對于提高學生的數(shù)學能力有著難以取代的作用，《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》也提高了尺規(guī)作圖的教學價值。尺規(guī)作圖是數(shù)學學習進階發(fā)展的基礎(chǔ)技能，把握好尺規(guī)作圖在教學學習中的應(yīng)用能力，并與圖形的運動變換相聯(lián)系并靈活運用，使學生的數(shù)學核心素養(yǎng)得到有效提升。

一、尺規(guī)作圖能有效促進學生建模能力提升

建模能力是數(shù)學的核心素養(yǎng)之一，由于初中數(shù)學的抽象性強，導致學生掌握數(shù)學建模能力是很困難的。因此，在教學過程中教師要盡力激活學生自身已有的知識，拓寬學生思維的廣度，使其主動地將知識聯(lián)系起來，融會貫通。不提倡老師直接把模型給學生，而是老師要把這個模型的建模方法教授給學生，講解清楚其中的思維。學生再根據(jù)自己的理解自主動手解題，教師再適當引導學生，讓學生真正地理解和掌握其中的建模思維方法。

九年級一節(jié)復習課的課堂練習題：如圖1，平行四邊形ABCD中，∠B=50°，對角線AC⊥CD交于點C，點P在CD上，且DP=2PC，現(xiàn)將平行四邊形ABCD繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為α（0°＜α＜180°），使點D正好落在△ACD邊上，那么α的度數(shù)是多少度？

筆者幫助學生回憶起了八年級曾經(jīng)學過的軌跡的作圖方法，聯(lián)系到尺規(guī)作圖。學生抓住了題目的本質(zhì)，把線段的旋轉(zhuǎn)歸結(jié)成已知等腰三角形一腰長，求作另一條腰，進而聯(lián)想到尺規(guī)作圖中取定長可用圓規(guī)，最后以P為圓心，以PD為半徑作圓（圖2），此時學生能夠主動地、有創(chuàng)造性地進行思維的關(guān)聯(lián)與知識的融合，積累學習經(jīng)驗，建構(gòu)新的知識。因而在初中高年級的教學中，教師要有意識地對幾何、函數(shù)與尺規(guī)作圖相關(guān)聯(lián)，讓學生從已有的尺規(guī)作圖知識與所學的幾何、函數(shù)知識進行有效的交互與體驗，建構(gòu)出尺規(guī)作圖與幾何、函數(shù)相關(guān)聯(lián)的新知識體系。

二、尺規(guī)作圖能有效促進學生整體思維能力的發(fā)展

尺規(guī)作圖考查學生綜合運用知識的能力和整體思維能力，在小學的基礎(chǔ)上，學生在初中階段也要掌握一些的基本的尺規(guī)作圖能力，再深入理解一些幾何圖形的定義、性質(zhì)、判定等，并熟練運用，利用幾何的一些特殊性質(zhì)，結(jié)合尺規(guī)作圖，作出相應(yīng)的幾何圖形，用幾何推理解釋每個操作步驟，學生只有理解了這些知識的應(yīng)用，才能在遇到問題時融會貫通、靈活運用，從而充分發(fā)揮尺規(guī)作圖對學生幾何思維的促進作用，提升學生的綜合思維能力。

如圖3，已知P是⊙O外一點，用兩種不同的方法過點P作⊙O的一條切線。要求：①用直尺和圓規(guī)作圖；②保留作圖的痕跡。此問題看似簡單，但學生課堂反饋的結(jié)果是尺規(guī)作圖完成很差。因此，教師應(yīng)在教學過程中引導學生積累基本的作圖知識和圖形的性質(zhì)，學生再就畫圖要求進行分析，很容易作出圖形。只要知道直徑所對的圓周角為直角及切線的性質(zhì)即可完成（如圖4）。因此，學生只有將自己掌握課本上的相關(guān)知識，經(jīng)過進一步的理解和消化，加深學生對尺規(guī)作圖的理解，在應(yīng)用中不斷鞏固和深化，轉(zhuǎn)化成自己的知識和能力，把各種尺規(guī)作圖的基本圖形構(gòu)成一個整體，注重數(shù)學知識與生活經(jīng)驗的聯(lián)系，感受數(shù)學的整體性，才能提升自己數(shù)學的整體思維能力。

三、尺規(guī)作圖能有效促進學生的分類討論能力的提升

在幾何問題中，往往學生就是因為不能利用尺規(guī)作圖做出圖形或者做出所有可能的圖形，分類不完全而陷入到思維的瓶頸中無法完整地完成題目。數(shù)學分類思想，既是一種重要的數(shù)學思想，又是一種數(shù)學邏輯方法，就是能把復雜的問題簡單化的方法與思想，而在幾何題目中，特別是圖形運動問題中，能把問題簡單化的方法就是尺規(guī)作圖。

分類思想貫穿著整個初中數(shù)學的各個內(nèi)容，因而老師在課堂教學中有意識地使課堂教學內(nèi)容結(jié)合尺規(guī)作圖來滲透分類思想，如：∣a-2∣＝3在數(shù)軸上表示的點可以用圓規(guī)直觀的表示為以2為圓心3為半徑的圓與數(shù)軸的交點5與-1，讓學生感受到尺規(guī)作圖能直觀幫助我們解出復雜問題。

如：已知在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=（1/2）x+4的圖像分別與x軸、y軸相交于點A、B。直線經(jīng)過點B且與x軸平行。

（1）求△AOB的面積；

（2）若點C在直線上l，且△AOB是等腰三角形，求點C的坐標；

（3）直線l上是否存在點D，使得△AOB是直角三角形？若存在，請直接寫出直線AD的表達式；否則，請說明理由。

圖像答案如圖5、圖6所示：

四、尺規(guī)作圖能有效促學生理性思辨能力的發(fā)展

在這個高度信息化的時代，尺規(guī)作圖的教學價值遠遠不只是讓學生學會作圖，而是有著很高的理性思維價值。教師在課堂教學中，可利用好尺規(guī)作圖，發(fā)展學生的思辨性。

如：七年級第二學期《14.4（1）全等三角形的判定》：“兩邊及其夾角相等（S.A.S）”證明兩個三角形全等方法的教學。

拓展遷移：①兩邊及其一邊的對角相等（S.S.A）可否證明兩個三角形全等？（讓學生思考、猜測、作圖驗證。）②教師使用電子白板演示：用尺規(guī)作圖構(gòu)建反例，論證S.S.A在條件不充足的情況下不能證明兩個三角形全等。

在這道題的探究中，學生經(jīng)歷了全等三角形S.A.S的證明方法后，再讓學生自己思考，猜測、作圖驗證，隨后教師進行演示，直觀而且清晰，更具有說服力。充分體現(xiàn)了尺規(guī)作圖的價值，有效地提高了學生的思辨能力。課堂教學中，教師應(yīng)抓住幾何證明中的問題，讓學生思考并利用尺規(guī)作圖，經(jīng)歷“猜測—驗證—否定—再猜測—再驗證”的思維過程，體會尺規(guī)作圖蘊含巨大的思辨性。

五、尺規(guī)作圖能有效促進學生邏輯推理能力的提升

尺規(guī)作圖在促進學生的數(shù)學邏輯推理方面有很大的作用，因此，在數(shù)學課堂上，教師要把在尺規(guī)作圖的過程中所蘊含的數(shù)學思維、方法進行有針對性地歸納，讓其形成結(jié)構(gòu)性和系統(tǒng)性，從而更好地培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。

如：兩條互相平行的直線i，m，點A、點B分別在直線i，m上運動，利用尺規(guī)作圖畫出等邊△ABC，探究點C的運動規(guī)律。在數(shù)學課堂教學過程中，當老師利用尺規(guī)作圖先在直線m上確定B1，B2，B3三個點的位置，然后再確定C1，C2，C3三個點的位置，再根據(jù)點C1，C2，C3的位置，學生通過幾何直觀去判斷點C的運動規(guī)律，發(fā)現(xiàn)C1，C2，C3的位置在同一條直線上。學生可以通過幾何推理來驗證上述的猜想，首先將等邊三角形△AB2C2忽略，將問題轉(zhuǎn)化為是由△AB1C1旋轉(zhuǎn)得到△AB3C3的問題，連接C1C3，易證明△AB1B3≌△AC1C3與∠AB3B1=∠AC3C1，進而可以證明直線C1C3與直線m的夾角是60°。同理，若忽略等邊三角形AB3C3的存在，也可以證明直線C1C2與直線m的夾角是60°。所以點C1，C2，C3共線，點C的運動軌跡即為直線C1C3（如圖7）。

六、尺規(guī)作圖能有效促進學生發(fā)散思維能力的提升

在數(shù)學課堂教學中，發(fā)散思維能力的訓練尤為關(guān)鍵。而運用尺規(guī)解題時，所運用的知識通常是綜合性的，這就要求教師在課堂教學中，要學會用問題解惑、解惑問題、問題多樣等形式的問題為載體，在運用尺規(guī)作圖解決問題的過程中培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力。

如：用尺規(guī)作圖作∠O的角平分線。方法1：以O(shè)為圓心，任意長度為半徑畫圓弧，交角兩邊于A、B兩點，再分別以A、B為圓心，大于AB/2長度為半徑畫圓弧，兩圓弧交于C點，作射線OC即為角平分線（如圖8）。當學生完成第一種方法畫圖后，此時教師從不同的思維角度來引導學生再進一步分析、思考，從而再得出兩種尺規(guī)作圖方法，方法2：利用圓規(guī)在角兩邊上分別截取線段OA、OB和OM、ON，且使得OA=OB，OM=ON，連接AN、BM，相交于點C，作射線OC即為角平分線（如圖9）。方法3：以頂點O為圓心，任意長度為半徑畫圓弧，分別交角兩邊于A、B兩點，再分別過A、B作角兩條邊OA和OB的垂線，兩條垂線相交于點C，作射線OC即為角平分線（如圖10）。通過對這一道題目的探究，學生關(guān)于利用尺規(guī)作多種圖形、幾何相關(guān)性質(zhì)的理解更加透徹，運用更加自如，學生的數(shù)學發(fā)散思維也得到提升。

總之，尺規(guī)作圖在數(shù)學教學中能開闊學生的思維，其重要性不言而喻，只要老師能夠在日常教學中對學生尺規(guī)作圖的能力善加培養(yǎng)，使尺規(guī)作圖教學充分發(fā)揮它的有效性，將會對學生數(shù)學能力的全面提升有著不可估量的幫助。

【參考文獻】

[1]李娜婷.芻議模型教學對初中幾何教學效果提升的作用[J].考試周刊，2020（51）.

[2]黃勇.初中數(shù)學幾何教學中的模型運用[J].天津教育，2019（08）.

[3]楊艷艷.初中數(shù)學解決問題能力的培養(yǎng)[J].兒童大世界（教學研究），2019（3）.