張躍驁

［摘? 要］ 隨著新課改的不斷深入，課堂的教學(xué)模式、組織形式、學(xué)習(xí)形式都發(fā)生了重大轉(zhuǎn)變，“自主探究、合作交流”已成為新課堂主流. 不過(guò)，在發(fā)生變化的同時(shí)也涌現(xiàn)出了許多新問(wèn)題，如探究過(guò)于膚淺，合作流于形式等，從而因教學(xué)缺乏深度而影響了教學(xué)效果. 文章指出，教學(xué)中要注重知識(shí)的整合和聯(lián)系，關(guān)注教學(xué)技能和策略，強(qiáng)調(diào)自我建構(gòu)和自我創(chuàng)新，以此打造有深度的教學(xué)，實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的可持續(xù)發(fā)展.

［關(guān)鍵詞］ 教學(xué)；品質(zhì)；深度；可持續(xù)發(fā)展

在新課改的影響下，高中數(shù)學(xué)課堂呈現(xiàn)出了一片“繁榮”. 不過(guò)在如火如荼的改革中，各種形式的偽探究、假合作、假交流也充斥著課堂，課堂表面上“熱烈高漲”，但課堂依然停留在機(jī)械記憶和反復(fù)訓(xùn)練的淺層教學(xué)上，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維能力并沒(méi)有明顯提升. 基于此，深度課堂逐漸走進(jìn)了師生的視野，其主要目的是實(shí)現(xiàn)由“低認(rèn)知發(fā)現(xiàn)教學(xué)”向“指導(dǎo)性發(fā)現(xiàn)教學(xué)”轉(zhuǎn)變，由“無(wú)效講解教學(xué)”向“有效講解教學(xué)”發(fā)展，深度課堂關(guān)注知識(shí)建構(gòu)、遷移和評(píng)價(jià)的創(chuàng)造，關(guān)注知識(shí)的整合和聯(lián)系. 在這樣的課堂上學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅能夠深刻地理解知識(shí)，而且能夠靈活應(yīng)用知識(shí)，有助于學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力、形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，落實(shí)終身學(xué)習(xí)目標(biāo).

數(shù)學(xué)思維的發(fā)展是由低層級(jí)到高層級(jí)不斷進(jìn)階的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中進(jìn)階理論應(yīng)運(yùn)而生，為“真學(xué)課堂”注入新的活力，使教與學(xué)的發(fā)展更加自然、和諧. 在進(jìn)階理論的指導(dǎo)下，教師應(yīng)關(guān)注思維進(jìn)階的連續(xù)性和層次性，通過(guò)問(wèn)題的梯度變化實(shí)現(xiàn)從現(xiàn)實(shí)發(fā)展層級(jí)向潛在發(fā)展層級(jí)的升華，以此促進(jìn)學(xué)生高階思維能力的發(fā)展，打造深度課堂，為實(shí)現(xiàn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展架橋鋪路.

筆者以“橢圓的幾何性質(zhì)”一課為例，基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的視角，談幾點(diǎn)對(duì)深度課堂的認(rèn)識(shí)，供借鑒.

教學(xué)實(shí)錄

教學(xué)片段1：借助問(wèn)題，溯本探源

師：學(xué)習(xí)橢圓前，我們用解析法研究了直線和圓，基于以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，談一談你是如何理解解析幾何基本思想的.

生1：它就是用代數(shù)思想方法來(lái)研究幾何問(wèn)題.

生2：其中蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合思想方法，即將圖形問(wèn)題代數(shù)化——將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，然后運(yùn)用代數(shù)思想方法來(lái)計(jì)算、驗(yàn)證，從而得到代數(shù)結(jié)果，反過(guò)來(lái)將代數(shù)結(jié)果幾何化. “兩化”的目的是讓問(wèn)題既直觀又準(zhǔn)確.

師：說(shuō)得真好. 在之前學(xué)習(xí)中，我們依據(jù)曲線定義得到曲線方程，由曲線方程得到曲線的幾何性質(zhì). 現(xiàn)在我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，接下來(lái)我們要學(xué)習(xí)什么呢？

生齊聲答：橢圓的幾何性質(zhì).

師：很好，基于以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，我們可以利用什么來(lái)研究橢圓的幾何性質(zhì)呢？

生齊聲答：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（學(xué)生思考、交流）

設(shè)計(jì)意圖 無(wú)論學(xué)習(xí)平面幾何還是學(xué)習(xí)立體幾何，乃至研究函數(shù)的性質(zhì)，都是從圖形出發(fā)，借助直觀感知先大膽猜測(cè)，然后結(jié)合已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行推理和證明. 在本節(jié)課的教學(xué)中，若先用圖形猜想性質(zhì)，然后用標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行推理驗(yàn)證，則會(huì)在橢圓性質(zhì)的推理上偏離預(yù)設(shè)，有悖于解析幾何的基本思想，不利于知識(shí)生成. 因此，從學(xué)生認(rèn)知的進(jìn)階起點(diǎn)看，“兩化”這樣的設(shè)計(jì)是合理的、科學(xué)的，凸顯教學(xué)立意，為學(xué)生指明了研究對(duì)象和研究方向，有助于課堂生成.

教學(xué)片段2：自主探究，獲得抽象感悟

師：很好！觀察方程中兩變量x，y的取值范圍，其幾何意義是什么？

生5：說(shuō)明橢圓分布在x=±a和y= ±b圍成的矩形內(nèi).

師：是的. 從方程的角度來(lái)思考，如果（x，y）是它的解，那么方程還有其他解嗎？

生6：有. 方程中出現(xiàn)的是x2和y2，除了（x，y）是它的解，（x，－y），（－x，y），（－x，－y）也是它的解.

師：對(duì)的. 這些解與（x，y）有何關(guān)系？反映了橢圓怎樣的幾何特性？

生7：如果（x，y）在橢圓上，那么它關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)（x，－y），關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)（－x，y），關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（－x，－y）也都在橢圓上.

師：由此你知道了什么？

生8：橢圓是關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱的圖形.

師：不過(guò)橢圓的對(duì)稱中心一定是坐標(biāo)原點(diǎn)嗎？對(duì)稱軸一定是x軸、y軸嗎？

生9：不一定，橢圓是可以平移的，平移后它的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心自然也就發(fā)生變化了.

師：想一想這說(shuō)明了什么呢？（學(xué)生陷入沉思）

生10：這說(shuō)明橢圓的對(duì)稱性與坐標(biāo)系沒(méi)有關(guān)系，這是橢圓的本質(zhì)屬性.

設(shè)計(jì)意圖 該環(huán)節(jié)以學(xué)生發(fā)現(xiàn)為主，凸顯學(xué)生的主體價(jià)值. 同時(shí)，為了進(jìn)一步感悟解析幾何的本質(zhì)思想，教師引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度出發(fā)，借助橢圓方程來(lái)研究橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍和橢圓的對(duì)稱性，從而確定研究方向，總結(jié)解析法研究幾何問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn). 在教學(xué)中，教師通過(guò)層層設(shè)置問(wèn)題，帶領(lǐng)學(xué)生先研究x，y這兩個(gè)變量，接下來(lái)從其幾何意義出發(fā)，將其轉(zhuǎn)化為方程的解，繼而發(fā)現(xiàn)圖形的對(duì)稱關(guān)系. 通過(guò)以上探究讓學(xué)生體驗(yàn)由抽象到具體、由繁到簡(jiǎn)的變化過(guò)程，有效地化解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的抽象感，提升學(xué)生思維的活力，為學(xué)生由部分到整體的學(xué)習(xí)進(jìn)階打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 另外，為了避免學(xué)生形成片面的認(rèn)識(shí)，在思維的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，教師又適時(shí)地進(jìn)行追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納出了對(duì)稱性為橢圓的本質(zhì)屬性，與橢圓的位置并無(wú)必然聯(lián)系，以此深化了學(xué)生對(duì)方程的解的理解，實(shí)現(xiàn)了由特殊到一般的轉(zhuǎn)化，使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷完善.

教學(xué)片段3：創(chuàng)設(shè)沖突，逐層深化

師：結(jié)合橢圓圖形及橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍我們知道，對(duì)于橢圓方程的解，x和y都有最大值和最小值，那么這些最大值和最小值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)有什么特點(diǎn)呢？

生11：這些點(diǎn)就是橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).

師：這樣的點(diǎn)一共有幾個(gè)呢？

生12：四個(gè).

師：是的. 通過(guò)解方程的方法能否求出這四個(gè)點(diǎn)呢？

師：我們將這四個(gè)點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn). 現(xiàn)思考這樣一個(gè)問(wèn)題：橢圓的頂點(diǎn)是否一定是橢圓與x軸和y軸的交點(diǎn)呢？（教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生交流、討論）

生14：如同橢圓的對(duì)稱性，橢圓的頂點(diǎn)與坐標(biāo)軸無(wú)關(guān)，而是與橢圓的對(duì)稱軸有關(guān).

師：說(shuō)得很好，能夠聯(lián)想到對(duì)稱性，可見(jiàn)大家對(duì)以上內(nèi)容已經(jīng)有了深刻認(rèn)識(shí). 確實(shí)，頂點(diǎn)與坐標(biāo)軸并無(wú)直接聯(lián)系，其為圖形的固有屬性.

生15：我認(rèn)為當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到左、右頂點(diǎn)時(shí)，距離橢圓中心O最遠(yuǎn)；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到上、下頂點(diǎn)時(shí)，距離橢圓中心O最近.

師：真的嗎？你們是否也是這樣認(rèn)為的呢？（學(xué)生點(diǎn)頭表示贊成）

師：你們能否進(jìn)一步驗(yàn)證這一結(jié)論呢？（教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生推理驗(yàn)證）

經(jīng)歷以上過(guò)程后，教師給出長(zhǎng)軸和短軸的概念也就水到渠成了.

設(shè)計(jì)意圖 對(duì)于頂點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等概念的教學(xué)，若輕描淡寫地直接講解，則難免讓學(xué)生片面地認(rèn)為頂點(diǎn)就是橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，難以體現(xiàn)橢圓圖形的本質(zhì)屬性. 同時(shí)，在教學(xué)中通過(guò)設(shè)疑和驗(yàn)證，讓慣性思維與現(xiàn)實(shí)理解進(jìn)行深度對(duì)話，深化學(xué)生的原認(rèn)知，培養(yǎng)學(xué)生思辨和質(zhì)疑的能力. 在教學(xué)過(guò)程中，教師通過(guò)巧妙設(shè)問(wèn)與學(xué)生深度交流，幫助學(xué)生抓住了“長(zhǎng)與短”的本質(zhì)內(nèi)涵，逐漸引導(dǎo)學(xué)生由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，從而深化了思維深度.

教學(xué)片段4：激發(fā)思維，突破難點(diǎn)

師：前面我們研究橢圓都是基于確定的a，b值，若a，b的值發(fā)生改變，你認(rèn)為橢圓的形狀會(huì)發(fā)生怎樣的改變？（教師引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手嘗試）

生17：a，b兩個(gè)量同時(shí)變化很難觀察，所以研究橢圓形狀時(shí)不妨先確定一個(gè)量，比如不改變a，只改變b，當(dāng)a，b非常接近時(shí)，橢圓近似一個(gè)圓.

師：具體說(shuō)一說(shuō)為什么會(huì)這樣.

師：說(shuō)得非常好，你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)一步準(zhǔn)確表達(dá)嗎？

師：不過(guò)由橢圓的定義可知，參數(shù)b并非橢圓定義涉及的原始量，而是推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)引入的一個(gè)輔助量，我們能否用橢圓的原始量來(lái)刻畫？

師：不錯(cuò)的想法，那么具體如何表達(dá)呢？

生21：直接根據(jù)橢圓定義也能得出這一結(jié)論.

經(jīng)歷以上自主發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，教師再給出離心率及變化范圍，可以輕松地突破這一教學(xué)難點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生理解橢圓的離心率一直是教學(xué)難點(diǎn)，而在本節(jié)課教學(xué)中，通過(guò)猜想、類比、轉(zhuǎn)化等教學(xué)策略激發(fā)了學(xué)生探究的熱情，學(xué)生通過(guò)合作、交流、討論等學(xué)習(xí)活動(dòng)體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)樂(lè)趣. 在教學(xué)中，教師從本源出發(fā)，即以方程結(jié)構(gòu)為知識(shí)發(fā)現(xiàn)的生長(zhǎng)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生先用比值來(lái)刻畫橢圓的圓扁程度，接下來(lái)又回歸定義，引導(dǎo)學(xué)生嘗試用原始量a，c進(jìn)一步刻畫，從而揭示影響橢圓圓扁程度的根源是離心率，最后從不同角度認(rèn)識(shí)離心率的變化范圍. 基于本源和轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)，使學(xué)生的思維生長(zhǎng)更加自然，這彰顯了教學(xué)的智慧.

教學(xué)反思

若想改變表面的浮華，讓教學(xué)更有深度，教師就應(yīng)該放權(quán)給學(xué)生，為學(xué)生提供一個(gè)民主的、平等的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生的不同思維在碰撞中迸發(fā)出耀眼的光芒. 當(dāng)然，為了使課堂交流更有效，教師要精心設(shè)計(jì)，抓住時(shí)機(jī)進(jìn)行引導(dǎo)和誘發(fā)，從而讓學(xué)生的“學(xué)”變得更有價(jià)值. 以上教學(xué)活動(dòng)之所以取得了較好的效果，主要因?yàn)槠淞⒆銓W(xué)生的已有認(rèn)知，基于最近發(fā)展區(qū)搭建了思維支架，通過(guò)層層遞進(jìn)的問(wèn)題激發(fā)學(xué)生的潛能，引導(dǎo)學(xué)生自主完成新知建構(gòu). 同時(shí)，教學(xué)中教師搭建了有效的師生互動(dòng)平臺(tái)，讓不同思維不斷碰撞、融合，激發(fā)了學(xué)生的思維活力，提升了教師的教學(xué)效率. 基于以上教學(xué)流程，筆者認(rèn)為教學(xué)中教師應(yīng)關(guān)注以下幾點(diǎn).

1. 重視知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性

進(jìn)階顧名思義就是思維能力由低層向高層的逐漸演變和提升的過(guò)程，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中既要重視知識(shí)的傳承，又要關(guān)注知識(shí)的發(fā)展. 例如，對(duì)于橢圓的幾何性質(zhì)，表面上看是一個(gè)新內(nèi)容、新挑戰(zhàn)，但深思后不難發(fā)現(xiàn)其與直線、圓等舊知有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，是學(xué)生原有認(rèn)知基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的傳承和發(fā)展. 在教學(xué)中，教師有必要借助問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知，幫助學(xué)生確定研究方向和研究方法，為更好地傳承和發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 另外，學(xué)生習(xí)慣憑借“形的直觀”來(lái)研究圖形的幾何性質(zhì)，而對(duì)于橢圓性質(zhì)的研究需要打破這一局限，故教師通過(guò)巧妙設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生由研究方程的解的特性，逐漸過(guò)渡到研究曲線上點(diǎn)的特性，從而借助“數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)”完成了新知建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了思維進(jìn)階，為接下來(lái)拋物線、雙曲線的研究做好了鋪墊，讓學(xué)生的理性思維得以持續(xù)發(fā)展.

2. 關(guān)注教學(xué)中的策略性

若教學(xué)只關(guān)注知識(shí)的理解和掌握，而忽視策略性知識(shí)的探究，將會(huì)限制教與學(xué)的可持續(xù)發(fā)展. 例如，在教學(xué)橢圓幾何性質(zhì)中，將目光聚焦在知識(shí)的傳授上，教師完全可以通過(guò)“講授”的方式直接將內(nèi)容灌輸給學(xué)生，但這樣的方式如何引導(dǎo)學(xué)生將碎片化的知識(shí)聯(lián)系在一起呢？如何讓學(xué)生理解解析幾何法的價(jià)值呢？如何讓學(xué)生自主完成雙曲線、拋物線以及一般曲線的探究呢？只有引導(dǎo)學(xué)生重視策略性知識(shí)的探究，才能讓學(xué)生真正理解“學(xué)什么”“為何學(xué)”“如何學(xué)”，全面掌握數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容和方法，為學(xué)生學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的提升奠基.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性，通過(guò)知識(shí)進(jìn)階逐漸完善學(xué)生的認(rèn)知體系. 同時(shí)，教學(xué)中教師要關(guān)注策略性知識(shí)的研究，通過(guò)思維、經(jīng)驗(yàn)的進(jìn)階，培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)的能力.