何欣怡 馬茜 楊丹丹 張茂郁

一種基于局部傳播路徑的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵節(jié)點識別方法

何欣怡，馬茜，楊丹丹，張茂郁

（天津商業(yè)大學(xué)，天津? 300134）

摘? 要：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點識別是研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、功能、性質(zhì)的重要基礎(chǔ)，在市場營銷、謠言控制、交通規(guī)劃等不同領(lǐng)域都有很強的應(yīng)用價值。節(jié)點的關(guān)鍵性等價于節(jié)點的影響力，因此，關(guān)鍵節(jié)點識別問題可看作節(jié)點影響力評估問題。文章提出了一種基于局部傳播路徑的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵節(jié)點識別方法，該方法僅需計算目標(biāo)節(jié)點兩步之內(nèi)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，還綜合考慮了傳播概率對節(jié)點影響力評估的影響。與常見的度中心性、介數(shù)中心性、接近中心性、Kshell中心性相比，該算法識別結(jié)果更準(zhǔn)確，在不同傳播概率下表現(xiàn)更穩(wěn)定。

關(guān)鍵詞：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；關(guān)鍵節(jié)點識別；影響力；傳播路徑

中圖分類號：TP399；O157.5? 文獻標(biāo)識碼：A? ? 文章編號：2096-4706（2023）02-0008-04

A Method for Identifying Key Nodes in Complex Networks Based on Local Propagation Paths

HE Xinyi， MA Qian， YANG Dandan， ZHANG Maoyu

（Tianjin University of Commerce， Tianjin? 300134， China）

Abstract： The identification of key nodes in complex networks is an important basis for studying the structure， function and nature of complex networks. It has strong application value in marketing， rumor control， traffic planning and other fields. The criticality of nodes is equivalent to the influence of nodes. Therefore， the problem of identifying key nodes can be regarded as the problem of evaluating the influence of nodes. This paper proposes a key node identification method for complex networks based on local propagation paths. This method only needs to calculate the topology structure of the target node in two steps， and it also comprehensively considers the effect of propagation probability on the evaluation of node influence. Compared with the common methods such as degree centrality， betweenness centrality， closeness centrality and kshell centrality， this method is more accurate and stable under different propagation probabilities.

Keywords： complex network; key node identification; influence; propagation path

0? 引? 言

關(guān)鍵節(jié)點識別是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)科學(xué)關(guān)注的熱點和前沿性問題，具有重要的理論意義和應(yīng)用價值。計算機病毒在網(wǎng)絡(luò)中的擴散、某種言論觀點在社交網(wǎng)絡(luò)上的傳播、傳染病在人群中的蔓延、國家或城市之間的商品、資金、技術(shù)、人員、信息、車輛等的流動都可以看成是服從某種規(guī)律的網(wǎng)絡(luò)傳播行為。這其中，關(guān)鍵節(jié)點在觀點、信息、車輛、人群等的傳播或流動中扮演著重要的角色，往往起著推波助瀾或逆轉(zhuǎn)風(fēng)向的關(guān)鍵作用，識別這些節(jié)點可以幫助促進傳播或抑制蔓延[1，2]。同時，網(wǎng)絡(luò)功能的正常運轉(zhuǎn)也極大依賴著這些重要節(jié)點。研究表明，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中只要5%～10%的重要節(jié)點同時失效，整個網(wǎng)絡(luò)就會無法正常運轉(zhuǎn)[3]。識別這些關(guān)鍵節(jié)點并采取相應(yīng)的保護措施，可以提高整個網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)健性和安全性。例如，識別交通網(wǎng)絡(luò)中的重要樞紐，可以優(yōu)化交通路線，方便乘客換乘，預(yù)防交通擁堵[4]。在電力網(wǎng)絡(luò)中對關(guān)鍵節(jié)點進行優(yōu)化，可以優(yōu)化調(diào)度，預(yù)防大規(guī)模停電[5]。關(guān)鍵節(jié)點識別的一般思路是根據(jù)某一指標(biāo)對節(jié)點的影響力進行量化，并根據(jù)量化值對節(jié)點影響力進行排序，關(guān)鍵節(jié)點識別問題可看作是節(jié)點影響力度量問題。節(jié)點影響力主要是通過信息、行為等的傳播體現(xiàn)的。因此，節(jié)點的影響力可表示為節(jié)點的傳播能力，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵節(jié)點識別問題可看作對節(jié)點的影響力或傳播能力的評估問題[6]。

本文提出一種基于局部傳播路徑的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵節(jié)點識別方法。本方法在獨立級聯(lián)模型的基礎(chǔ)上，首先遍歷搜索從目標(biāo)節(jié)點出發(fā)2步之內(nèi)能到達的所有節(jié)點，這些節(jié)點被稱為受影響節(jié)點，然后搜索從目標(biāo)節(jié)點出發(fā)到達受影響節(jié)點的所有路徑。基于每條傳播路徑計算激活概率，并基于此計算目標(biāo)節(jié)點對該受影響節(jié)點的所有2步之內(nèi)的傳播路徑的激活概率之和。將目標(biāo)節(jié)點對所有受影響節(jié)點的激活概率之和作為目標(biāo)節(jié)點的影響力。本方法除了考慮目標(biāo)節(jié)點的局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)外，還綜合考慮了傳播概率對節(jié)點影響力評估的影響。通過在不同數(shù)據(jù)集上進行實驗可以發(fā)現(xiàn)，該方法可以在不同的傳播概率下更準(zhǔn)確地識別關(guān)鍵節(jié)點。

1? 相關(guān)工作

關(guān)鍵節(jié)點識別的前提是對節(jié)點的影響力進行評估，節(jié)點的影響力評估是指采用一定的標(biāo)準(zhǔn)對節(jié)點影響力的大小進行衡量、排序的問題。目前，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點影響力評估方法大部分都是基于網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進行的。該類方法多數(shù)較為簡單，實用性強，且網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)，尤其是局部網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)較易獲得，因此受到大量的關(guān)注。在這類方法中，節(jié)點的影響力可理解為該節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中與其他節(jié)點相連使其具有的重要性。因此，節(jié)點的影響力也常被稱作節(jié)點的中心性（Centrality）[7-9]。

目前，較為常見的中心性方法包括基于局部網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的評價方法——度中心性（Degree Centrality）。此方法將目標(biāo)節(jié)點的鄰居數(shù)量作為影響力評估指標(biāo)，簡單直觀，時間復(fù)雜度低，但在多數(shù)情況下，該方法衡量節(jié)點影響力的結(jié)果不夠準(zhǔn)確，因為其考慮的信息太過局限。基于全局網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的評估方法考慮了節(jié)點在整個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中位置的重要性，包括介數(shù)中心性（Betweenness Centrality， BC）、接近中心性（Closeness Centrality， CC）等。介數(shù)中心性、接近中心性均假設(shè)節(jié)點影響力沿最短路徑向全網(wǎng)傳播。與基于局部網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的評價方法相比，基于全局網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的方法的評估結(jié)果更為準(zhǔn)確。但因網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)一般較為復(fù)雜，規(guī)模龐大，該類方法的時間復(fù)雜度很高。而且現(xiàn)實中的很多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)很難完整獲取，因此，該類方法有較大的局限性。Kitsak等人[10]認(rèn)為節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中的位置決定了節(jié)點的影響力，越接近網(wǎng)絡(luò)核心其影響力越大，并據(jù)此提出了k殼中心性（Kshell Centrality， KS）評價方法。該方法時間復(fù)雜度較低，但賦予很多節(jié)點相同的評估值，導(dǎo)致它們的影響力難以區(qū)分。此外，基于特征向量的評價方法也是評估節(jié)點影響力的重要方法，代表性的算法為谷歌的PageRank算法。基于特征向量的評價方法雖然可取得較好的評價效果，但它們只適用于有向、連通的網(wǎng)絡(luò)，應(yīng)用范圍有限，且也面臨著網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)難以完整獲取的問題。近年來，很多工作致力于研究不同指標(biāo)的適用范圍，及在動態(tài)網(wǎng)絡(luò)中的影響力評估問題[11-14]。

2? 本文涉及的基礎(chǔ)知識

2.1? 網(wǎng)絡(luò)表示

一般用圖的形式來表示復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。一個具體的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可抽象為圖G=（V， E），其中V表示網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點集合，節(jié)點的數(shù)目用n表示，E表示邊集合，邊的數(shù)目用m表示。為方便處理和計算，圖G可表示成鄰接矩陣A={auv}∈{0，1}n×n的形式。auv=1則表示節(jié)點u和節(jié)點v之間有邊直接相連，auv=0則表示無邊直接相連。

2.2? 獨立級聯(lián)模型

在關(guān)鍵節(jié)點識別的工作中一般會根據(jù)傳播模型對目標(biāo)節(jié)點的影響力傳播過程進行模擬，即假設(shè)節(jié)點影響力的傳播遵從某種模型。本文以獨立級聯(lián)模型（Independent Cascade Model， ICM）進行相關(guān)工作并進行實驗。該模型是一種信息傳播模型，原理簡單，且使用廣泛。根據(jù)ICM模型，網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點只有兩種狀態(tài)——激活（active）和非激活（inactive）。某一時刻網(wǎng)絡(luò)中的每一個節(jié)點須處于這兩種狀態(tài)中的一種[15]。用戶收到某信息并會將該信息傳播給予它直接相連的鄰居節(jié)點，則稱該節(jié)點處于激活狀態(tài)；相反，用戶沒有收到該信息或者收到該信息但并不會傳播給予它相連的鄰居節(jié)點，則稱該節(jié)點處于未激活狀態(tài)。ICM在離散時間點t點的動態(tài)傳播過程如下：

（1）在t=0時，網(wǎng)絡(luò)中大部分節(jié)點處于非激活狀態(tài)，只有少量節(jié)點處于激活狀態(tài)，這些處于激活狀態(tài)的節(jié)點被稱為種子節(jié)點。種子節(jié)點一般為提前指定的。

（2）在t≥1的任何時刻，每一個在t-1時刻被激活的節(jié)點u都有且僅有一次機會去嘗試激活它處于非激活狀態(tài)的所有鄰居節(jié)點v，激活成功的概率為puv。

（3）當(dāng)多個節(jié)點u1， u2， u3嘗試激活它們共同的處于未激活狀態(tài)的鄰居節(jié)點v時，它們嘗試激活的順序是隨機的，且嘗試激活的行為是互相獨立不受影響的。

（4）以上過程不斷重復(fù)，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中不再有新的節(jié)點被激活時，本次傳播終止。此時，網(wǎng)絡(luò)中處于激活狀態(tài)的節(jié)點的數(shù)量就是本次傳播中種子節(jié)點的影響力。

由于每次根據(jù)ICM模型進行模擬產(chǎn)生的傳播結(jié)果可能不同，因此在實際應(yīng)用中通常要進行1 000次以上的大量模擬來降低不確定性。一般取多次模擬出的處于激活狀態(tài)的節(jié)點數(shù)目的平均值作為初始種子節(jié)點的最終影響力。在關(guān)鍵節(jié)點影響力識別問題中，通常依次把每一個節(jié)點作為種子節(jié)點，把根據(jù)ICM模型進行大量模擬得出的結(jié)果作為其真實影響力值。

2.3? 評價指標(biāo)

關(guān)鍵節(jié)點識別問題等價于節(jié)點影響力評估問題。目前評價各種影響力評估方法好壞的主要思路是：按照某種評估方法計算網(wǎng)絡(luò)中每一個節(jié)點的影響力評估值，將所有節(jié)點按照評估值大小降序排列。同時依次將網(wǎng)絡(luò)中的每一個節(jié)點作為種子節(jié)點根據(jù)傳播模型進行多次模擬求平均，這個值被看作是節(jié)點的真實影響力值，將所有節(jié)點的真實影響力值降序排列。通過計算這兩個序列的一致性來評價該評估方法的優(yōu)劣，這兩個序列越一致，則說明該方法越有效。Kendall's Tau（τ）系數(shù)常被用來衡量上述兩個排序列表的一致性，該系數(shù)的相關(guān)定義如下：

考慮兩個序列x和y。對任意一對觀測值（xi， yi）和（xj， yj），計算（xi-xj）（ yi-yj），如果大于0則稱這對觀測值是一致的，如果小于0則稱這對觀測值是不一致的；如果等于0則稱這對觀測值既不是一致的也不是不一致的。具體的計算公式為：

（1）

Nc和Nd分別表示一致的和不一致的觀測對數(shù)量。τ值越接近1，則兩個序列越一致，說明該評估方法準(zhǔn)確性越高。

2.4? 常用評估方法

度中心性（Degree Centrality， DC）。指與該節(jié)點直接相連的鄰居節(jié)點的個數(shù)。度中心性屬于基于局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的方法，計算非常簡單，用來分析節(jié)點的直接影響力。

介數(shù)中心性（Betweenness Centrality， BC）。指網(wǎng)絡(luò)中通過該節(jié)點的最短路徑的數(shù)目與所有節(jié)點對之間最短路徑數(shù)目的比值，屬于全局影響力方法，計算復(fù)雜度較高。

接近中心性（Closeness Centraity， CC）。指的是目標(biāo)節(jié)點到網(wǎng)絡(luò)中所有其他節(jié)點的最短距離和，屬于全局影響力方法，計算復(fù)雜度高，但評估效果較好。

中心性Kshell中心性（Kshell Centrality， KS）。具體計算方法如下：首先將網(wǎng)絡(luò)中所有DC=1的節(jié)點及與它們相連的邊去掉，這些節(jié)點的KS值為1，重復(fù)這個過程直到網(wǎng)絡(luò)中沒有度值為1的節(jié)點存在；然后采用同樣的方式去掉網(wǎng)絡(luò)中度值為2的節(jié)點及與它們相連的邊，這些節(jié)點的KS值為2。重復(fù)上述過程直到網(wǎng)絡(luò)中的所有節(jié)點均被移除，此時，網(wǎng)絡(luò)中的每個節(jié)點都有一個KS值。

3? 基于局部傳播路徑的關(guān)鍵節(jié)點識別方法

DC只統(tǒng)計目標(biāo)節(jié)點的鄰居數(shù)目，考慮的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)過少導(dǎo)致其效果不好。而BC、CC評估效果有改善但需要在整個網(wǎng)絡(luò)上進行最短路徑的計算，盡管有很多優(yōu)化算法，但在大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)中計算復(fù)雜度依然很高，且完整的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)難以獲取。KS方法計算復(fù)雜度介于DC和BC、CC之間，但對節(jié)點影響力的區(qū)分度不好，即很多節(jié)點的KS值相同?；诖?，本文提出了一種基于局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和傳播路徑的節(jié)點影響力評估方法——局部傳播路徑法（Local Propagation Paths， LPP）。該方法將目標(biāo)節(jié)點對兩步之內(nèi)能到達的所有節(jié)點的所有兩步之內(nèi)的傳播路徑的激活概率之和作為目標(biāo)節(jié)點的影響力，因為僅考慮了兩步之內(nèi)的節(jié)點，所以計算復(fù)雜度不高；又因為考慮的范圍比DC要大，且包含傳播概率等信息，評估會更加準(zhǔn)確。該方法的具體計算方法如下：

對于網(wǎng)絡(luò)中的每一個節(jié)點v∈V，計算節(jié)點v對兩步之內(nèi)能到達的所有節(jié)點w的影響力之和，計算方法如下：

（2）

其中，PATHvw={path1， path2， …， pathk， …， pathL}，PATHvw表示節(jié)點v到節(jié)點w所有路徑（共有L條）的集合，pathk表示節(jié)點v到節(jié)點w的第k條具體路徑：

（3）

其中， 指節(jié)點Vi和節(jié)點Vi+1之間的傳播概率。因為LPP只考慮了目標(biāo)節(jié)點對兩步之內(nèi)節(jié)點的影響力，所以1≤n≤2。

圖1展示了利用LPP評估方法識別關(guān)鍵節(jié)點的流程。對網(wǎng)絡(luò)中的每一個節(jié)點，根據(jù)式（2）、式（3）計算節(jié)點的LPP值。然后將所有節(jié)點按LPP值由大到小的順序排序，得到序列R。在序列R中，位置越靠前代表影響力越大，然后根據(jù)需要選擇前K個節(jié)點作為關(guān)鍵節(jié)點。

4? 實驗結(jié)果

為了評估LPP評估方法的表現(xiàn)，本文在四個真實復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上進行了實驗，分別為空手道俱樂部網(wǎng)絡(luò)Karate、爵士音樂家網(wǎng)絡(luò)Jazz、郵件往來網(wǎng)絡(luò)Email、MSN博客空間博主之間的交流關(guān)系網(wǎng)Blog。這四個數(shù)據(jù)集均為網(wǎng)絡(luò)公開數(shù)據(jù)集，網(wǎng)絡(luò)基本情況如表1所示，其中，n表示網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)量，m表示網(wǎng)絡(luò)邊的數(shù)量（四個網(wǎng)絡(luò)均為無向網(wǎng)絡(luò)），k表示網(wǎng)絡(luò)節(jié)點平均度。實驗的硬件環(huán)境為：3.2 GHz的Intel（R）Core（TM）i5-3470 CPU，3.89 GB的內(nèi)存。軟件環(huán)境為MATLAB R2013a。

網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的真實影響力采用ICM模型模擬獲得，模型中的傳播概率p取0.01～0.1之間。對每一個傳播概率，依次將每個節(jié)點作為初始激活的種子節(jié)點進行模擬傳播，傳播終止時網(wǎng)絡(luò)中處于激活狀態(tài)的節(jié)點的數(shù)量作為該種子節(jié)點的影響力。為了結(jié)果準(zhǔn)確，本文對每個節(jié)點模擬10 000次取平均值作為該節(jié)點的真實影響力。將節(jié)點按其模擬出的真實影響力由大到小的順序排列，得到真實影響力排序序列。本文將LPP的評估效果與DC、BC、CC、KS對比。對每一種方法，計算網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點在該方法下的評估值，按評估值由高到低的順序排序得到該方法的排序序列。然后計算真實影響力序列與該方法的排序序列的一致性τ。實驗結(jié)果如圖2所示，橫軸代表傳播概率p，縱軸代表肯達爾系數(shù)τ。τ值越大，表明該方法準(zhǔn)確性越高。

如圖2所示，在這四個數(shù)據(jù)集中，在絕大多數(shù)傳播概率下，LPP均能取得最大的τ值，說明LPP在大多數(shù)傳播概率下評估效果最好。在Jazz網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)傳播概率較大時LPP表現(xiàn)稍遜于DC，但差距并不明顯。從圖2中還可以看出，DC、KS、BC等的評估效果隨傳播概率的變化而產(chǎn)生較大波動，例如在Email和Blog數(shù)據(jù)集中，DC、BC等的評估效果隨傳播概率增大而明顯變差。LPP也有波動但幅度較小，說明該方法較為健壯?？傮w看來，BC和KS效果最差，和它們?yōu)楹芏喙?jié)點賦予相同的評估值導(dǎo)致這些節(jié)點的影響力無法區(qū)分有很大關(guān)系。

除了比較各評估方法的評估效果外，本文還比較了各方法的運行時間。因Karate和Jazz網(wǎng)絡(luò)規(guī)模小，運行時間差距不明顯，本文只比較了各方法在Email和Blog中的運行時間，結(jié)果如表2所示?；诰W(wǎng)絡(luò)局部結(jié)構(gòu)的評估方法DC、LPP的運行時間比BC、CC等基于全局網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的方法的運行時間短。在網(wǎng)絡(luò)規(guī)模較大時DC、LPP的優(yōu)勢將更明顯。

5? 結(jié)? 論

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點識別問題等價于節(jié)點影響力評估問題。本文分析了常見節(jié)點影響力評估方法DC、CC、KS等存在的問題，提出了一種基于局部傳播路徑的度量方法LPP。該方法結(jié)合了DC、CC的優(yōu)點，基于局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進行計算使其能在大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)上運行，考慮了兩步之內(nèi)的節(jié)點的個數(shù)及它們之間的傳播概率，使得結(jié)果更加準(zhǔn)確。在四個真實復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的實驗證明LPP方法在準(zhǔn)確性、健壯性、運行時間方面均有優(yōu)勢。

在未來的工作中，本文將嘗試在評估方法中加入更多的現(xiàn)實信息，例如考慮網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性、社區(qū)結(jié)構(gòu)等因素，使得節(jié)點影響力評估結(jié)果更加準(zhǔn)確、貼近現(xiàn)實。

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作者簡介：何欣怡（2001—），女，漢族，貴州六盤水人，本科在讀，研究方向：數(shù)據(jù)挖掘；通訊作者：馬茜（1989—），女，漢族，山東威海人，講師，博士，研究方向：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。

收稿日期：2022-09-12

基金項目：天津市大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目（202210069069）；天津市教委科研計劃項目（2021SK141）